等高模型

,等高模型,Part,1.,长方形,如图：在一个大长方形中有五个小长方形，已知其中四个长方形的面积分别是4平方厘米、8平方厘米、9平方厘米和10平方厘米，求剩下的小长方形的面积。,例题,1,如图：在一个大长方形中有五个小长方形，已知其中四个长方形的面积分别是4平方厘米、8平方厘米、9平方厘米和10平方厘米，求剩下的小长方形的面积。,例题,1,4cm,2,10cm,2,8cm,2,9cm,2,A,B,C,D,E,F,G,解：给各个顶点上标注字母，如右图。,因为长方形,AEKI,与长方形,IKHD,的一边重合，,S,长方形,IKHD,=2S,长方形,AEKI,所以：,HK=2EK,所以：,S,长方,KFCH,=2S,长方形,EBFK,=2,10=20,（,cm,2,）,S,长方形,OFCG,=20-9=11cm,2,H,I,K,O,如图：已知一个大长方形中的三个小长方形的面积分别是5 平方厘米、7 平方厘米和10 平方厘米，求剩下的小长方形的面积。,练习,1,如图：已知一个大长方形中的三个小长方形的面积分别是5 平方厘米、7 平方厘米和10 平方厘米，求剩下的小长方形的面积。,练习,1,5cm,2,7cm,2,10cm,2,A,B,C,D,E,F,H,I,K,解：给各个顶点上标注字母，如右图。,因为长方形,AEKI,与长方形,IKHD,的一边重合,所以,S,长方形,IKHD,=2S,长方形,AEKI,HK=2EK,即：,S,长方形,KFCH,=2S,长方形,EBFK,=2,7=14,（,cm,2,）,Part,2.,三角形,等高三角形,三角形高不变，底越大，则三角形面积越大,等高三角形,高不变，底变为原来的,2,倍,2cm,2cm,2cm,4cm,S=2,2,2,=2,（平方厘米）,S=4,2,2,=4,（平方厘米）,两个三角形高相等,面积的倍数关系,=,底的倍数关系,平行线间三角形,一组平行线间，同底的三角形面积相等,h,a,S=a,h,2,一组平行线间的三角形等高。,如图：已知ABC 的面积是20 平方厘米，AB,D,的边BD 的长为3 厘米，A,D,C 的边CD 的长是2 厘米，求ABD 的面积。,例题,2,如图：已知ABC 的面积是20 平方厘米，AB,D,的边BD 的长为3 厘米，A,D,C 的边CD 的长是2 厘米，求ABD 的面积。,例题,2,解：因为,BC,、,BD,在同一条直线上，顶点重合,所以,A,D,C、AB,D,等高,3,2=1.5 BD=1.5 DC,因为ABC 的面积是20 平方厘米,所以ABD 的面积：,20,（,1.5+1,）,1.5=12,（平方厘米）,如图：已知在ABC 中，BD 的长是3 厘米，CD 的长是6 厘米，且ABD 的面积是9 平方厘米，求ACD 的面积。,练习,2,如图：已知在ABC 中，BD 的长是3 厘米，CD 的长是6 厘米，且ABD 的面积是9 平方厘米，求ACD 的面积。,练习,2,解：因为,BD,、,CD,在同一条直线上，,ABD、ACD,顶点重合，,所以,ABD、ACD等高。,6,3=2 DC=2BD,所以,S,ACD,=2S,ABD,=2,9=18,（平方厘米）,如图：ABC 的面积是12 平方厘米，其中AE= 3AB，BD= 2BC，则BDE 的面积是多少平方厘米？,例题,3,如图：ABC 的面积是12 平方厘米，其中AE= 3AB，BD= 2BC，则BDE 的面积是多少平方厘米？,例题,3,解：连接,AD,因为,ACD,、,ABC,等底，BD= 2BC,BC=CD,，所以,S,ABC,=S,ACD,=12,（,cm,2,）,因为,BDE、,ABD,等高，且AE= 3AB,BE=2AB,，所以,S,BDE,=2S,ABD,=2,(12+12)=48,（,cm,2,）,如图：已知ABC 的面积是60 平方厘米，点D 是边BC 的中点，AD= 3AE，求ABE 的面积。,练习,3,解：,S,ABE,=1,（份）,因为,AE,、,AD,在一条直线上，AB,D,、 AB,E,的顶点重合,所以,E,B,D,、AB,E,等高，AD= 3AE,DE=2AE,，所以,S,E,B,D,=2S,AB,E,=1,2=2,（份）,因为,BD,、,BC,在一条直线上，,AB,D,、,ABC 的顶点重合，所以AB,D,、A,D,C等高,又因为D 是边BC 的中点，,BD=DC,所以,S,ABD,:S,A,DC,=1+2=3,（份）,1+2+3=6,（份）,所以ABE 的面积：,60,6=10,（,cm,2,）,练习,3,如图：已知ABC 的面积是120 平方厘米， 点D 是边BC 的中点，AD= 3AE，BE= 2BF。AEF 的面积是多少平方厘米？,例题,4,如图：已知ABC 的面积是120 平方厘米， 点D 是边BC 的中点，AD= 3AE，BE= 2BF。AEF 的面积是多少平方厘米？,例题,4,解：,S,AEF,=1,（份）,AB,F,、,AFE,等高，,BE= 2BF,BF=EF,，所以,S,AFE,=S,AB,F,=,1,（份）,BED,、AB,E,等高，,AD= 3AE,DE=2AE,，所以,S,E,BD,=2S,AB,E,=,2,(1+1)=4,（份）,AB,D,、A,D,C等高，,D 是边BC 的中点,BD=DC,， 所以,S,ABD,=S,A,DC,=1+1+4=6,（份）,1+1+4+6=12,（份）,120,12=10,（,cm,2,）,AEF 的面积是,10,平方厘米。,如图：在ABC 中，点D、E、F 分别是BC、AC、DE 的中点，ABC 的面积是1000 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？,练习,4,如图：在ABC 中，点D、E、F 分别是BC、AC、DE 的中点，ABC 的面积是1000 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？,练习,4,解：,S,ADF,=1,（份）,A,DF,、A,EF,等高，点,F,是边,ED,的中点,DF=EF,，所以,S,AD,F,=S,A,EF,=1,（份）,A,CD,、,C,DE,等高，点,E,是边,A,C 的中点,AE=EC,，所以,S,C,D,E,=S,A,E,D,=1+1=2,（份）,AB,D,、A,CD,等高，点D 是边BC 的中点,BD=CD,，所以,S,ABD,=S,A,DC,=1+1+2=4,（份）,1+1+2+4=8,（份）,1000,8=125,（,cm,2,）,如图：已知在AEF 中， 点C 是边AE 的中点，点B、D 是边AF 的三等分点，EDF 的面积是50 平方厘米，求ABC 的面积。,例题,5,如图：已知在AEF 中， 点C 是边AE 的中点，点B、D 是边AF 的三等分点，EDF 的面积是50 平方厘米，求ABC 的面积。,例题,5,解：,S,ACB,=1,（份）,A,BC,、,B,DC,等高，因为点B、D 是边AF 的三等分点，,AB=BD=DF,。所以,S,D,BC,=S,A,B,C,=1,（份）,A,D,C,、,E,DC,等高，,点C 是边AE 的中点,AC=CE,，,S,E,DC,=S,A,D,C,=1+1=2,（份）,A,DE,、,DEF,等高，,2AD=DF,。,S,DEF,=S,A,DE,2=,（,1+1+2,）,2=2,（份）,50,2=25,（平方厘米）,ABC 的面积为,25,平方厘米。,如图：已知在AEF 中，点D 是边AF 的中点，点C 是边AE 的中点，点B 是边AD 的中点，ABC 的面积是2 平方厘米，求AEF 的面积。,练习,5,如图：已知在AEF 中，点D 是边AF 的中点，点C 是边AE 的中点，点B 是边AD 的中点，ABC 的面积是2 平方厘米，求AEF 的面积。,练习,5,解：,1+1+2+4=8,（份）,8,2=16,（,平方厘米,）,Part,3.,综合题目,如图：已知长方形ABCD 的面积是30 平方厘米，CDE 的面积是10 平方厘米，对角线AC 的长是9 厘米，求AE 的长。,例题,6,如图：已知长方形ABCD 的面积是30 平方厘米，CDE 的面积是10 平方厘米，对角线AC 的长是9 厘米，求AE 的长。,例题,6,解：由一半模型可得：,S,ACD,=30,2=15,（,平方厘米）,S,AED,=15-10=5,（,平方厘米）,AED,、CDE等高,S,CDE,=2S,ACD,CE=2AE,所以,AE=9,(1+2)=3,（厘米）,如图：已知长方形ABCD 的面积是20 平方厘米，ADE 的面积是2 平方厘米，边BC 的长是4 厘米，求EC 的长。,练习,6,如图：已知长方形ABCD 的面积是20 平方厘米，ADE 的面积是2 平方厘米，边BC 的长是4 厘米，求EC 的长。,练习,6,解：因为,长方形ABCD 的面积是20 平方厘,米，,边BC 的长是4 厘米,所以,CD=20,4=5,（厘米）,由一半模型可得：,S,ACD,=20,2=10,（平方厘米）,S,AEC,=10-2=8,（平方厘米）,AED,、,ACE,等高,S,ACE,=4,S,A,DE,所以,CE=4DE,所以,DE=5,(4+1)=1,（厘米）,所以,EC=5-1=4,（厘米）,总结,三角形底相等，面积的倍数关系等于高的倍数关系,三角形高相等，面积的倍数关系等于底的倍数关系,一组平行线间，等底的三角形面积相等,借助辅助线构造等高模型,谢谢,!,