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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,二重积分的概念与性质,第十章,解法,:,一、引例,1.,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体,:,底：,顶,:,侧面：,求其体积,.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,xOy,面上的闭区域,D,连续曲面,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,类似定积分解决问题的思想,:,1)“,大化小”,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“,常代变”,在每个,3)“,近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,用 曲线网分,D,为,n,个区域,任意,4)“,取极限”,令,则曲顶柱体的体积为：,2.,平面薄片的质量,有一个平面薄片,在,xOy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数,仍可用,其,面密,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决,.,1)“,大化小”,相应把薄片也分为小块,.,用 曲线网分,D,为,n,个小区域,任意,2)“,常代变”,中任取一点,3)“,近似和”,4)“,取极限”,则第,k,小块的质量,两个问题的,共性,：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,二、二重积分的定义及可积性,定义,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的有界函数,在,D,上的,二重积分,.,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,如果 在,D,上可积,元素,d,也常记作,二重积分记作,这时,分,区域,D,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,二重积分存在定理,:,若函数,定理,2,(,证明略,),定理,1,在,D,上,可积,.,限个点或有限条光滑曲线外都连续,积,.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,例如,在,D,:,上,二重积分存在,;,在,D,上,二重积分不存在,.,三、二重积分的性质,(,k,为常数,),为,D,的面积,则,特别,由于,则,5.,若在,D,上,6.,设,D,的面积为,则有,7.,(,二重积分的中值定理,),证,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域,D,上,为,D,的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,由性质,6,可知,例,1,其中,解,它在与,x,轴的交点,(1,0),处与直线,从而,而域,D,位于直线的上方,故在,D,上,比较下列积分的大小,:,积分域,D,的边界为圆周,例,2,估计下列积分之值,解,由于,积分性质,5,即,: 1.96,I, 2,D,D,的面积为,例,3,判断积分,的正负号,.,解,则,原式,=,猜想结果为负,但不好估计,.,舍去此项,分积分域为,8.,设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性,时,仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,有类似结果,.,在第一象限部分,则有,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,记作,例,4,解,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,求两个底圆半径为,R,的直交圆柱面所围的体积,.,设两个直圆柱方程为,内容小结,1.,二重积分的定义,2.,二重积分的性质,(,与定积分性质相似,),3.,曲顶柱体体积的计算,二次积分法,被积函数相同,且非负,思考与练习,解,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系,:,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0 ,y,1,则,的大小顺序为,( ),因,0 ,y,1,故,故在,D,上有,提示,:,3,计算,解,4,证明,:,其中,D,为,解,又,D,的面积为,1 ,故,结论成立,.,利用题中,x , y,位置的对称性,有,补充题,1.,的,值,其中,D,为,解,被积函数,D,的面积,的,最大值,的最小值,估计,2.,判断,的,正负,.,解,当,时，,故,又当,时，,于是,
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