随机过程随机过程的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 随机过程的基本概念,马春光,machunguang,哈尔滨工程大学,2,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.1,随机过程的定义,在客观世界中，有许多随机现象表现为带随机性的变化过程，它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用,一族无穷多个随机变量,来描绘，这,就是随机过程,.,随机过程是概率论的继续和发展,.,被认为是,概率论的“动力学”部分,.,它的研究对象是,随时间演变的随机现象,.,事物变化的过程,不能用一个（或几个）时间,t,的确定的函数来加以描述,.,对事物变化的全过程,进行一次观察,得到的结果,是一个时间,t,的函数,，但对同一事物的变化过程独立地重复,进行多次观察所得的结果是不同的,，而且每次观察之前不能预知试验结果,.,2.1,随机过程的定义,例,2.1.1,当,t,(,t,0,),固定时，,电话交换站在,0,t,时间内收到的呼叫次数,是随机变量，记为,X,(,t,),. X,(,t,),服从参数为,t,的,Poisson,分布,，其中,是单位时间内平均收到的呼叫次数,且,0.,如果,t,从,0,变到,+,，,t,时刻前收到的呼叫次数需用一族随机变量,X,(,t,),t,0,+,来,表示,，则该随机现象就是一个随机过程,.,对电话交换站做一次实验，便可得到一个“,呼叫次数,时间函数”,(,即呼叫次数关于时间,t,的函数,x,(,t,).,2.1,随机过程的定义,这个“,呼叫次数,时间函数”,是不可能预先确定的,，只有通过测量才能得到,.,由于呼叫的随机性，,在相同条件下，每次测量都产生不同的“,呼叫次数,时间函数”,.,2.1,随机过程的定义,例,2.1.2,电子元件或器件由于内部微观粒子（电子）的随机热噪声引起的端电压称为,热噪声电压,，它,在任一确定时刻的值是随机变量,，记为,V,(,t,).,如果,t,从,0,变到,+,，,t,时刻的热噪声电压需要用一族随机变量,V,(,t,),t,0,+,来表示,，则该随机变量就是一个随机过程,.,对某种装置做一次试验，便可得到一个“,电压,时间函数,”,v,(,t,),.,这个“电压,时间函数,”,是不可能预先确知,的，只有通过测量才能得到,.,如果,在相同的条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同,的,.,所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而,是该试验样本空间上的函数,；其次形成一族，因而它还取决于另一个变量，即,还是另一参数集上的函数,.,所以，,随机过程就是一族二元函数,.,定义,2.1.1,设,(,F,P,),是一个概率空间，,T,是一个实的参数集，,定义在,和,T,上的二元函数,X,(,t,),，如果对于任意固定的,t,T,，,X,(,t,),是,(,F,P,),上的随机变量，则称,X,(,t,),t,T,为该概率空间上的,随机过程,（,Stochastic Process,）,，简记为,X,(,t,),t,T,.,2.1,随机过程的定义,2.1,随机过程的定义,X,(,t,),t,T,：,固定,t,=,t,0,T,，,X,(,t,0,),是一个随机变量,（第,i,次试验值为,x,i,(,t,0,),）,.,对随机过程做一次试验，即,固定样本点,，,得到一个参数,t,的普通函数,x,(,t,) .,定义,2.1.2,设,X,(,t,),t,T,是随机过程，,则当,t,固定时，,X,(,t,),是一个随机变量,称之为,X,(,t,),t,T,在,t,时刻的,状态,.,随机变量,X,(,t,)(,t,固定，,t,T,),所有可能的取值构成的集合,称为随机过程的,状态空间,，记为,S,.,定义,2.1.3,设,X,(,t,),t,T,是随机过程，,则当,固定时，,X,(,t,),是定义在上,T,不具有随机性的普通函数,，记为,x,(,t,),称为随机过程的一个,样本函数,.,其图像成为随机过程的一条,样本曲线,（轨道或实现）,.,2.1,随机过程的定义,例,2.1.3,设,X,(,t,),=Vcos,t,t,+,其中,为常数，,V,服从区间,0,1,上的均匀分布，即,(1),画出,X,(,t,) ,t,+,的几条样本曲线；,(2),求,时随机变量,X,(,t,),的概率密度函数,;,(3),求 时,X,(,t,),的分布函数,2.1,随机过程的定义,解,(1),取 则,;,取,V,=0,则,x,(,t,)=0;,取,V,=1,，则,x,(,t,),=cos,t.,这些都是,t,的确定函数，即随机过程的样本函数,.,2.1,随机过程的定义,(2),当,t,=0,时，,X,(0)=,V,，故,X,(0),的概率密度函数就是,V,的概率密度函数，即当 时， ，故 的概,率密度函数为,2.1,随机过程的定义,当 时,，故 的概率密度函数为,当 时， ，故 的概率密度函数为,2.1,随机过程的定义,(3),当 时， ，不论,V,取何值,均有 ，因此 ，从而,的分布函数为,2.1,随机过程的定义,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.2,随机过程的分类和举例,随机过程可以,根据参数集,T,和状态空间,S,是离散集还是连续集,分为四大类,.,1,、离散参数、离散状态的随机过程,这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定,t,T,，,X,(,t,),是离散型随机变量即其取值也是离散的。,例,2.2.1,（,贝努利过程,）考虑抛掷一颗骰子的试验，设,X,n,是第,n,(,n,1),次抛掷的点数,对于,n=,1,2,的不同值，,X,n,是不同的随机变量,因而,X,n, n,1,构成一随机过程，称为贝努利过程,其参数集,T=,1,2,，状态空间,S=,1,2,3,4,5,6.,例,2.2.2,设有一质点在,x,轴上作,随机游动,，在,t,=0,时质点处于,x,轴的原点,O,，在,t=,1,2,时质点可以在,x,轴上正向或反向移动一个单位，作正向移动一个单位的概率为,p,，作反向移动一个单位的概率为,q=,1-,p,，在,t=n,时，质点所处的位置为,X,n,，则,X,n,n=,1,2,为一随机过程，其参数集,T=,0,1,2,，状态空间,S=,-2,-1,0,1,2,。,2.2,随机过程的分类和举例,2,、离散参数、连续状态的随机过程,这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的,t,T,，,X,(,t,),是连续性随机变量。,例,2.2.3,设,X,n,，,n=,-2,-1,0,1,2,是相互独立同服从标准正态分布的随机变量，则,X,n,，,n=,-2,-1,0,1,2,为一随机过程，其参数集,T=,-2,-1,0,1,2,，状态空间,S,=(,+,),2.2,随机过程的分类和举例,3,、连续参数、离散状态的随机过程,这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的,t,T,，,X,(,t,),是离散型随机变量。,例,2.2.4,（,Possion,过程,）,设,X,(,t,),表示在期间,0,t,内到达服务点的顾客数，对于,t,0,+,的不同值，,X,(,t,),是不同随机变量，因而,X,(,t,),，,t,0,构成一随机过程，其参数集,T=,0,+,，状态空间,S=,0,1,2,.,2.2,随机过程的分类和举例,4,、连续参数、连续状态的随机过程,这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的,t,T,，,X,(,t,),是连续型随机变量。,例,2.2.5,设,X,(,t,),=Acos,(,t+,),t,0,是常数,服从区间,-,上的均匀分布，则,X,(,t,),t,+,是一随机过程，其参数集,T,= (,+,),，状态空间,S=,-A,A,.,2.2,随机过程的分类和举例,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.3,随机过程的有限维分布函数族,定义,2.3.1,设,X,(,t,),t,T,是一个随机过程，对于任意固定的,t,T,X,(,t,),是随机变量，称,F,(,t;x,)=,P,(,X,(,t,),x,),x,R,t,T,为随机过程,X,(,t,),t,T,的,一维分布函数,；对于任意固定的,t,1,t,2,T,，,X,(,t,1,),X,(,t,2,),是两个随机变量，称,F,(,t,1,t,2,;x,1,x,2,)=,P,(,X,(,t,1,),x,1,X,(,t,2,),x,2,),x,1,x,2,R,t,1,t,2,T,为随机过程的,二维分布函数,；,一般地，对于任意固定的,t,1,t,2,t,n,T,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),是,n,个随机变量，称,F,(,t,1,t,2,t,n,; x,1,x,2,x,n,)=,P,(,X,(,t,1,),x,1,X,(,t,2,),x,2, X,(,t,n,),x,n,),x,i,R,t,i,T,i=1,2,n,为随机过程,X,(,t,),t,T,的,n,维分布函数,.,2.3,随机过程的有限维分布函数族,定义,2.3.2,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程，其一维分布函数，二维分布函数，,，,n,维分布函数，,，的全体,F,=,F,(,t,1,t,2,t,n,;x,1,x,2,x,n,),x,i,R,t,i,T, i=,1,2,n, n,N,称为随机过程,X,(,t,),t,T,的,有限维分布函数族,.,容易看出，随机过程的有限维分布函数族具有,对称性,和,相容性,.,2.3,随机过程的有限维分布函数族,1,、对称性,设,i,1,i,2,i,n,是,1,2,n,的任一排列，则,事实上，,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2,、相容性,设,mn,则,事实上，,2.3,随机过程的有限维分布函数族,定义,2.3.3,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程，对于任意固定的,t,1,t,2,t,n,T ,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),是,n,个随机变量，称,u,i,R, t,i,T, i=1,2,n, j=,为随机过程,X,(,t,),t,T,的,n,维特征函数,.,2.3,随机过程的有限维分布函数族,称,为随机过程,X,(,t,),t,T,的,有限维特征函数族,.,例,2.3.1,设,X,(,t,)=,A+Bt, t,0,其中,A,和,B,是相互独立的随机变量，分别服从正态分布,N,(0,1),，试求随机过程,X,(,t,),t,0,的一维和二维分布,.,2.3,随机过程的有限维分布函数族,解,先求一维分布,.,是正态随机变量，因为,E,X,(,t,),=EA+tEB=,0,D,X,(,t,),=DA+t,2,DB=,1,+t,2,所以,X,(,t,),服从正态分布,N,(0,1+,t,2,),从而,X,(,t,),t,0,的一维分布为,X,(,t,),N,(0,1+,t,2,),t,0,再求二维分布， ，从而,2.3,随机过程的有限维分布函数族,又,A, B,相互独立同服从正态分布，故,(,A,B,),服从二维正态分布，从而,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),也服从二维正态分布,.,E,X,(,t,1,),=,0,，,E,X,(,t,2,),=,0,D,X,(,t,1,)=1+,t,1,2,D,X,(,t,2,)=1+,t,2,2,cov,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,)=,E,X,(,t,1,),X,(,t,2,)-,E,X,(,t,1,),E,X,(,t,2,) =,E,(,A+Bt,1,)(,A+Bt,2,) =1+,t,1,t,2,故,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),的均值向量为,0,=(0,0),，协方差矩阵为,2.3,随机过程的有限维分布函数族,所以随机过程,X,(,t,),t,0,的二维分布为,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),N,(0,B,),t,1,t,2,0,2.3,随机过程的有限维分布函数族,例,2.3.2,令,X,(,t,),=Acost,t,+,其中,A,是随机变量，其分布律为,P(,A=i,)=, i=,1,2,3,试求,(1),随机过程,X,(,t,),t,+,的一维分布函数,(2),随机变量,X,(,t,),t,+,的二维分布函数,2.3,随机过程的有限维分布函数族,解,(1),先求,.,由于 ，因此的可能取值为 ，并且,2.3,随机过程的有限维分布函数族,于是再求,.,由于 因此 只能取,0,值，于是,2.3,随机过程的有限维分布函数族,(2),因为,2.3,随机过程的有限维分布函数族,所以,2.3,随机过程的有限维分布函数族,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.4,随机过程的数字特征,1,、随机过程的均值函数,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程， 是一个随机变量，如果,E,X,(,t,),存在，记为,m,X,(,t,),，则称,m,X,(,t,),t,T,为,X,(,t,),t,T,的,均值函数,.,如果,X,(,t,),t,T,的一维分布函数为,F,(,t;x,),，那么,t,T,随机过程的均值函数,m,X,(,t,),在,t,时刻的值，表示,随机过程在,t,时刻所处状态取值的理论平均值,，当,t,T,时，,m,X,(,t,),在几何上表示一条固定的曲线,.,2,、随机过程的方差函数,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程， 是一随机变量，如果,D,X,(,t,),存在，记为,D,X,(,t,),，则称,D,X,(,t,),，,t,T,为,X,(,t,),t,T,的,方差函数,.,显然,D,X,(,t,)=,D,X,(,t,)=,E,X,(,t,),- m,x,(,t,),2,t,T,随机过程的方差函数,D,X,(,t,),在,t,时刻的值，表示,随机过程在,t,时刻所处状态取值离开均值的偏差程度,，当,t,T,时，,D,X,(,t,),是一个普通的函数,.,2.4,随机过程的数字特征,3,、,随机过程的协方差函数,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程,X,(,s,),X,(,t,),是两个随机变量，如果,cov,(,X,(,s,),X,(,t,),存在，记为,C,x,(,s,t,),则称,C,x,(,s,t,),s,t,T,为,X,(,t,),t,T,的,协方差函数,.,显然,C,x,(,s,t,)=,cov,(,X,(,s,),X,(,t,)=,E,(,X,(,s,)-,m,x,(,s,)(,X,(,t,)-,m,x,(,t,),=,E,X,(,s,),X,(,t,)-,m,x,(,s,),m,x,(,t,) ,t,T,2.4,随机过程的数字特征,随机过程的,协方差函数,C,x,(,s,t,),在,s,t,T,时刻的绝对值表示随机过程在时刻,s,t,所处状态的线性联系的密切程度,，若,C,x,(,s,t,),的绝对值较大，则在两个时刻,s,t,的状态,X,(,s,),X,(,t,),线性联系较密切；若,C,x,(,s,t,),的绝对值较小，则在两个时刻,s,t,的状态,X,(,s,),X,(,t,),线性联系不密切,.,4,、随机过程的相关函数,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程， ，,X,(,s,),X,(,t,),是两个随机变量，如果,E,X,(,s,),X,(,t,),存在，记为,R,x,(,s,t,),则称,R,x,(,s,t,),s,t,T,为,X,(,t,),t,T,的,相关函数,.,2.4,随机过程的数字特征,5,、随机过程的均方值函数,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程， 是一随机变量，如果,E,X,(,t,),2,存在，记为,x,(,t,),，则称,x,(,t,),t,T,为,X,(,t,),t,T,的,均方值函数,.,2.4,随机过程的数字特征,6,、随机过程数字特征的关系,随机过程,X,(,t,),t,T,的,协方差函数、相关函数和均值函数的关系,为,C,x,(,s,t,)=,R,x,(,s,t,)-,m,x,(,s,),m,x,(,t,),，,s,t,T,在协方差函数的定义式中，取,s=t,，,则随机过程的,方差函数和协方差函数的关系,为,D,X,(,t,)=,C,x,(,t,t,),t,T,类似地，,均方值函数和相关函数的关系,为,x,(,t,)=,R,x,(,t,t,),t,T,2.4,随机过程的数字特征,从上述关系可以看出，,均值函数和相关函数是随机过程的两个本质数字特征,，其它的数字特征可以通过本质的数字特征获得,.,随机过程的均值函数称为,随机过程的一阶矩,，均方值函数称为,随机过程的二阶矩,.,显然，相关函数、协方差函数、方差函数也是随机过程的一种二阶矩。,2.4,随机过程的数字特征,例,2.4.1,设,X,(,t,),=Acos,t+Bsin,t,t,+,其中,A,B,是相互独立，且都服从正态分布,N,(0,2,),的随机变量，,是实常数,.,试求,X,(,t,), ,t,+,的均值函数和相关函数,.,解,m,X,(,t,) =,E,X,(,t,) =,E,Acos,t+Bsin,t, = (,EA,),cos,t+,(,EB,),sin,t =,0,R,X,(,s,t,) =,E,X,(,s,),X,(,t,) =,E,(,Acos,s+Bsin,s,)(,Acos,t+Bsin,t,),= (,EA,2,),cos,s cos,t+,(,EAB,)(,sin,s cos,t+cos,s sin,t,)+,(,EB,2,),sin,s sin,t,=,2,cos,(,t-s,),2.4,随机过程的数字特征,EA,2,= (,EA,),2,+,DA=,2,EAB = EA EB =,0,cos,s cos,t+sin,s sin,t,=,cos,(,t-s,),例,2.4.2,设,X,(,t,),=acos,(,t+,), ,t,+,其中,a,和,是,常数，,是服从,0,2,上均匀分布的随机变量，求,X,(,t,),t,+,的数字特征,.,解,由于,的概率密度函数为,2.4,随机过程的数字特征,于是,2.4,随机过程的数字特征,2.4,随机过程的数字特征,例,2.4.3,设,X,(,t,),=A+Bt,t,+,其中,A,B,是相互独立的随机变量，且均值为,0,，方差为,1,，求,X,(,t,), ,t,+,的数字特征,.,解,m,X,(,t,) =,E,X,(,t,) =,E,A+Bt, =,EA+tEB,=0, ,t,+,R,X,(,s,t,) =,E,(,A+Bs,)(,A+Bt,) =,EA,2,+,(,s+t,),EAB+stEB,2,=,1,+st,t,+,C,X,(,s,t,) =,R,x,(,s,t,)-,m,x,(,s,),m,x,(,t,)=1+,st,t,+,D,X,(,t,) =,C,X,(,t,t,) =1,+t,2,t,+,X,(,t,) =,R,X,(,t,t,) = 1,+t,2,t,+,2.4,随机过程的数字特征,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,1,、二维随机过程的联合分布函数,定义,2.5.1,设,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,是两个随机过程，称,X,(,t,),Y,(,t,),，,t,T,为,二维随机过程,.,定义,2.5.2,对于任意,m,1,n,1,t,1,t,2,t,m,T,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,m,),),是,m+n,维随机变量，称为,二维随机过程,X,(,t,),Y,(,t,),，,t,T,的,m+n,为分布函数,.,二维随机过程,X,(,t,),Y,(,t,),，,t,T,作为一个整体，具有,m+n,（任意）维分布函数,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,都是随机过程，分别也有,m,（任意）维分布函数,和,n,（任意）维分布函数,，将他们分别记为,F,X,(,t,1,t,2,t,m,;x,1,x,2,x,m,),2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,定义,2.5.3,称,F,X,(,t,1,t,2,t,m,;x,1,x,2,x,m,),分别为二维随机过程,X,(,t,),Y,(,t,),，,t,T,关于,X,(,t,),t,T,和关于,Y,(,t,),t,T,的,m,维边缘分布函数和,n,维边缘分布函数,.,如果对于任意,m,1,n,1,t,1,t,2,t,m,T,， 有那么称,随机过程,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,相互独立,.,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2,、二维随机过程的数字特征,定义,2.5.4,设,X,(,t,),Y,(,t,),t,T,是二维随机过程，,X,(,s,),Y,(,t,),是两个随机变量，如果,E,X,(,s,),Y,(,t,),存在，记为,R,XY,(,s,t,),则称,R,XY,(,s,t,),s,t,T,为,X,(,t,),Y,(,t,),t,T,的,互相关函数,.,如果,cov,(,X,(,s,),X,(,t,),存在，记为,C,XY,(,s,t,),则称,C,XY,(,s,t,),s,t,T,为,X,(,t,),Y,(,t,),，,t,T,的,互协方差函数,.,显然,C,XY,(,s,t,) =,R,XY,(,s,t,)-,m,X,(,s,),m,Y,(,t,) ,s,t,T,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,定义,2.5.5,设,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,是两个随机过程，如果,C,XY,(,s,t,)= 0,或,R,XY,(,s,t,)=,m,X,(,s,),m,Y,(,t,),，,s,t,T,则称,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,不相关,.,定理,2.5.1,设,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,相互独立，则,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,不相关,.,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.6,复随机过程,定义,2.6.1,设,X,(,t,),t,T,和,Y,(,t,),t,T,是定义在同一概率空间上的两个是随机过程，令,Z,(,t,)=,X,(,t,)+,jY,(,t,),t,T,则称,Z,(,t,),，,t,T,为,复随机过程,.,定义,2.6.2,设,Z,(,t,),，,t,T,为复随机过程,.,称,m,Z,(,t,)=,E,Z,(,t,),t,T,为,Z,(,t,),，,t,T,的,均值函数,.,称,t,T,为,Z,(,t,),，,t,T,的,方差函数,.,称,C,Z,(,s,t,),=cov,(,Z,(,s,),Z,(,t,),=,s,t,T,为,Z,(,t,),，,t,T,的,协方差函数,.,称,s,t,T,为,Z,(,t,),，,t,T,的,相关函数,称 ，,t,T,为,Z,(,t,),，,t,T,的,均方值函数,.,显然，复随机过程的数字特征之间有下列关系和结论：,m,Z,(,t,)=,m,X,(,t,)+,jm,Y,(,t,),，,t,T D,Z,(,t,),= D,X,(,t,),+ D,Y,(,t,),，,t,T D,Z,(,t,),=,C,Z,(,t,t,),，,t,T,C,Z,(,s,t,)=,R,Z,(,s,t,)-, s,t,T,Z,(,t,)=,R,Z,(,t,t,),t,T,2.6,复随机过程,定义,2.6.3,设,Z,1,(,t,),，,t,T,和,Z,2,(,t,),，,t,T,是两个复随机过程，称,s,t,T,为,Z,1,(,t,),，,t,T,和,Z,2,(,t,),，,t,T,的,互协方差函数,，称,s,t,T,为,Z,1,(,t,),，,t,T,和,Z,2,(,t,),，,t,T,的,互相关函数,.,2.6,复随机过程,例,2.6.1,设, ,t,+,，,其中,0,是正常数，,n,为固定的正整数，,X,1,X,2,X,n,1,2,n,是相互独立的实随机变量，且 ，,k,U,0,2,，,k=,1,2,n,.,求,Z,(,t,),t,+,的均值函数和相关函数,.,2.6,复随机过程,解,2.6,复随机过程,又于是,2.6,复随机过程,第,2,章 随机过程的基本概念,2.1,随机过程的定义,2.2,随机过程的分类和举例,2.3,随机过程的有限维分布函数族,2.4,随机过程的数字特征,2.5,两个随机过程的联合分布和数字特征,2.6,复随机过程,2.7,几类重要的随机过程,2.7,几类重要的随机过程,1,、二阶矩过程,定义,2.7.1,如果随机过程,X,(,t,),t,T,的一、二阶矩存在（有限），则称,X,(,t,),t,T,是,二阶矩过程,.,从二阶矩过程的,均值函数,和,相关函数,出发讨论随机过程的性质，而允许不涉及它的有限维分布，这种理论称为,随机过程的相关理论,.,由二阶矩过程的定义，,二阶矩过程的均值函数和相关函数总是存在的,，进而它的其它数字特征也都存在,.,定理,2.7.1,设,X,(,t,),t,T,是二阶矩过程，则相关函数,R,X,(,s,t,),具有下列性质：,(1),共轭对称性,：,(2),非负定性,：即对于任意,n,1,任意,t,1,t,2,t,n,T,和任意的复数 有,2.7,几类重要的随机过程,2,、正态过程,定义,2.7.2,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程，如果对于任意,n,1,和任意,t,1,t,2,t,n,T, (,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),是,n,维正态随机变量，则称,X,(,t,),t,T,为,正态过程,或,高斯过程,.,显然，,正态过程是二阶矩过程,，它的,有限维分布由它的均值函数和协方差函数完全确定,.,2.7,几类重要的随机过程,例,2.7.1,设,X,(,t,),=Acos,t+Bsin,t,t,+,，其中,A,B,相互独立，且都服从正态分布,N,(0,2,),的随机变量，,是实常数,.,试证明,X,(,t,), ,t,+,是正态过程，并求它的有限维分布,.,2.7,几类重要的随机过程,证明,由于,A,B,相互独立，且都服从正态分布,N,(0,2,),，因此,(,A,B,),N,(0,2,E,),（,E,是二阶单位矩阵,）,.,对于任意,n,1,和任意,t,1,t,2,t,n,T,，由于,X,(,t,1,),=Acos,t,1,+Bsin,t,1,X,(,t,2,),=Acos,t,2,+Bsin,t,2,X,(,t,n,),=Acos,t,n,+Bsin,t,n,即,2.7,几类重要的随机过程,因而，,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),是,二维正态随机变量,(,A,B,),的,线性变换,，,所以，,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),是,n,为正态随机变量,，故,X,(,t,),t,T,是,正态过程,.,由于,X,(,t,),t,T,是正态过程，且,E,X,(,t,)=0,，因而,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),N,(0,B,),t,1,t,2,t,n,T,.,其中,2.7,几类重要的随机过程,3,、正交增量过程,定义,2.7.3,设,X,(,t,),t,T,是一二阶矩过程，如果对于任意的,t,1,t,2,t,3,t,4,T,，,有,则称,X,(,t,),t,T,为一,正交增量过程,.,对于正交增量过程，若,T,取为有限区间,a,b,，则对于任意的,a,s,t,b,，有,特别地，当,X,(,a,)=0,时，有,2.7,几类重要的随机过程,定理,2.7.2,设,X,(,t,),t,a,b,是正交增量过程，且,X,(,a,)=0,则,(1)(2),X,(,t,),是单调不减函数,.,2.7,几类重要的随机过程,4,、独立增量过程,定义,2.7.4,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程，如果对于任意的,n,3,和任意,t,1,t,2, t,n,T,，,X,(,t,2,),-,X,(,t,1,),X,(,t,3,),-,X,(,t,2,), ,X,(,t,n,),-,X,(,t,n-,1,),是相互独立的随机变量，则称,X,(,t,),t,T,是,独立增量过程,.,如果对于任意,s,t,T,，,X,(,t,),-,X,(,s,),分布仅依赖于,t,-,s,，,而与,s,t,本身取值无关，则称,X,(,t,),t,T,为,平稳增量过程,.,如果,X,(,t,),t,T,既是平稳增量过程，又是独立增量过程，则称,X,(,t,),t,T,为,平稳的独立增量过程,.,定理,2.7.3,独立增量过程的有限维分布函数由,其一维分布函数,和,增量分布函数,确定,.,2.7,几类重要的随机过程,5,、,Wiener,过程,定义,2.7.5,称实随机过程,W,(,t,),t,0,是参数为,的,Wiener,过程，如果,(1),W,(0)=0,；,(2) ,W,(,t,), t,0,是平稳的独立增量过程；,(3),定理,2.7.4,设,W,(,t,),t,0,是参数为,2,的,Wiener,过程，则,(1)(2),定理,2.7.5,Wiener,过程是正态过程,.,2.7,几类重要的随机过程,6,、平稳过程,平稳过程是一类,统计特性不随时间推移而变化,的随机过程,.,定义,4.1.1,设,X,(,t,),t,T,是一随机过程，如果对于任意的,n,1,和任意的,t,1,t,2,t,n,T,以及,t,1,+,t,2,+,t,n,+,T,的任意实数,，,n,维随机变量,(,X,(,t,1,),X,(,t,2,),X,(,t,n,),和,(,X,(,t,1,+,),X,(,t,2,+,),X,(,t,n,+,),有相同的联合分布函数,，即,F,(,t,1,t,2,t,n,;,x,1,x,2,x,n,) =,F,(,t,1,+,t,2,+,t,n,+,;,x,1,x,2,x,n,),t,i,T,，,x,i,R,，,i,=1, 2, ,n,则称,X,(,t,),t,T,是,严,(,强、狭义,),平稳过程,，或称,X,(,t,),t,T,具有,严平稳性,.,严平稳过程的,有限维分布不随时间的推移而发生改变,，所有,一维分布函数与时间,t,无关,，所有,二维分布函数仅是时间间隔的函数,，而与两个时刻本身无关,.,2.7,几类重要的随机过程,定义,4.1.2,设,X,(,t,),t,T,是二阶矩过程，如果,(1),（,m,X,为常数）,(2),或,则称,X,(,t,),t,T,为,宽平稳过程,，简称,平稳过程,.,严平稳过程不一定是宽平稳过程,，因为严平稳过程只涉及有限维分布，而并不要求一、二阶矩存在,.,但对二阶矩过程，严平稳过程一定是宽平稳过程,.,宽平稳过程也不一定是严平稳过程,，因为宽平稳过程的定义只要,均值函数与时间无关,，,相关函数仅依赖于时间间隔,，而与时间缺点无关，推导不出有限维分布不随时间的推移而发生改变，甚至一、二维分布,.,2.7,几类重要的随机过程,随机过程的定义,定义在,和,T,上的二元函数,X,(,t,),（,一族随机变量,）,当,t,固定时，是随机变量；当,固定时，是普通函数,随机过程的分类,根据参数集,T,和状态空间,S,是离散还是连续集合，分为四类,随机过程的有限维分布（特征）函数族、数字特征,分布函数族，特征函数族,均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数，均方值函数,两个随机过程的联合分布和数字特征,二维随机过程的,m,+,n,维分布函数，边缘分布,互相关函数，互协方差函数,两个随机过程相互独立（不相关）,复随机过程,几类重要的随机过程,二阶矩过程，正态过程，正交增量过程，独立增量过程，,Wiener,过程，平稳过程,小结,The End,machunguang,