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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章,空间向量与立体几何,第一节,空间向量及其运算,课时,1,空间向量及其线性运算,教材必备知识精练,知识点,1,空间向量的有关概念,1.,下列关于空间向量的说法中正确的是,(,),A,.,两个有公共终点的向量一定是共线向量,B,.,空间中任意两个单位向量必相等,C,.,若向量,满足,|,|,|,则,D,.,长度为,0,的向量是零向量,答案,1. D,A,中,两个有公共终点的向量的方向不一定相同或相反,; B,中,单位向量的模都相等而方向不确定,;C,中,向量不能比较大小,.,故选,D.,知识点,1,空间向量的有关概念,2. 2022,广东深圳南山外国语学校高二上期中,下列说法正确的是,(,),A.,任一空间向量与它的相反向量都不相等,B.,将空间中所有单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆,C.,模为,3,的空间向量大于模为,1,的空间向量,D.,不相等的两个空间向量的模可能相等,答案,2. D,A,零向量的相反向量是它本身,.,B,将空间中所有单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个球,.,C,向量不能比较大小,.,D,任一非零向量与其相反向量不相等,但是它们的模相等,.,知识点,1,空间向量的有关概念,3. (,多选,)2022,广东佛山里水高级中学高二上质检,在平行六面体,ABCD-ABCD,中,与向量,相等的向量有,(,),A.,B.,C.,D.,答案,3. BC,画图易知,在平行六面体,ABCD-ABCD,中,与向量,相等的向量有,3,个,分别是,.,故选,BC,.,知识点,2,空间向量的加、减运算,4. 2022,河北石家庄六中高二上期中,已知,A,B,C,D,为空间中的四个点,则,-,=(,),A.,B.,C.,D.,答案,4. D,-,+(,-,)=,.,知识点,2,空间向量的加、减运算,5. (,多选,)2022,福建三明尤溪一中高二上段考,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AC,1,的中点为,O,则下列互为相反向量的是,(,),A,.,与,B,.,-,与,-,C,.,-,与,-,D,.,与,答案,5. ACD,B,中是一对相等向量,.,知识点,2,空间向量的加、减运算,6. 2022,北京市中关村中学高二上期中,如图,四面体,A-BCD,的所有棱长都为,2,点,E,F,分别为棱,AB,AD,的中点,则,|,|=,;|,-,|=,.,答案,2,解析,因为,所以,|,|=|,|=2,.,取,BD,的中点,M,则,所以,|,-,|=,|,-,|=|,|=2sin 60=,.,知识点,2,空间向量的加、减运算,7.,如图所示,在正六棱柱,ABCDEF-A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,F,1,中,:,(1),化简,-,-,并在图中标出化简结果的向量,;,(2),化简,-,并在图中标出化简结果的向量,.,答案,7.,解析,(1),-,-,+0=,.,如图所示,.,(2),-,=0+,.,如图所示,.,知识点,3,空间向量的数乘运算,8.,如图,在三棱锥,A-BCD,中,E,是棱,CD,的中点,且,则,=(,),A.,-,B,.,-,C,.-,5,+3,+3,D,.,答案,8. D,连接,AE,因为,E,是棱,CD,的中点,所以,(,-,)=,(,)+,.,知识点,3,空间向量的数乘运算,9.,已知点,G,是正方形,ABCD,的中心,点,P,为正方形,ABCD,所在平面外一点,则,=(,),A,.,4,B,.,3,C,.,2,D,.,答案,9. A,方法一,=4,+(,)+(,),.,又四边形,ABCD,是正方形,G,是它的中心,所以,=0,故,=4,.,方法二,因为四边形,ABCD,是正方形,G,是它的中心,所以,G,为,AC,的中点,也为,BD,的中点,所以,=(,)+(,)=2,+2,=4,.,知识点,3,空间向量的数乘运算,10. 2022,山东师范大学附属中学高二上期中,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,点,P,满足,则,PA,1,=,.,答案,10.,解析,设点,O,O,分别是该正方体上、下底面的中心,如图所示,则,故点,O,与点,P,为同一点,所以,PA,1,=,OA,1,=,.,知识点,3,空间向量的数乘运算,11.,如图所示,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,设,=,a,=,b,=,c,M,N,P,分别是,AA,1,BC,C,1,D,1,的中点,试用,a,b,c,表示以下向量,则,(1),=,;,(2),=,.,答案,11. (1),a,+,b,+,c,;(2),a,+,b,+,c,解析,(1),因为,P,是,C,1,D,1,的中点,所以,=,a,+,=,a,+,c,+,=,a,+,b,+,c,.,(2),因为,M,是,AA,1,的中点,N,是,BC,的中点,所以,=,-,a,+(,a,+,b,+,c,)=,a,+,b,+,c,=,a,+,c,所以,=(,a,+,b,+,c,)+(,a,+,c,)=,a,+,b,+,c,.,知识点,4,空间向量的共线与共面问题,12. 2022,福建福州一中高二上期中,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,则下列各组向量中,与,共面的是,(,),A.,B.,C.,D.,答案,12. C,如图,易知,.,因为,共面,所以,共面,故选,C,.,知识点,4,空间向量的共线与共面问题,13. 2022,山东烟台高二上期中,已知,a,b,为非零向量,且,a,=3,m,-,2,n,-,4,p,b,=(,x,+1),m,+8,n,+2,y,p,且向量,m,n,p,不共面,若,a,b,则,x,+,y,=(,),A.,-,13B.,-,5C.8D.13,答案,13. B,因为,a,b,且,a,0,所以存在实数,使得,b,=,a,即,(,x,+1),m,+8,n,+2,y,p,=3,m,-,2,n,-,4,p,即,(,x,+1,-,3,),m,+(8+2,),n,+(2,y,+4,),p,=,0,.,又,m,n,p,不共面,所以,解得,所以,x,+,y,=,-,5,.,知识点,4,空间向量的共线与共面问题,14. (,多选,),若空间向量,a,b,c,不共面,则,(,),A.,b,+,c,b,-,c,a,共面,B.,b,+,c,b,-,c,2,b,共面,C.,b,+,c,a,a,+,b,+,c,共面,D.,a,+,c,a,-,2,c,c,共面,答案,14. BCD,因为,2,b,=(,b,+,c,)+(,b,-,c,),所以,b,+,c,b,-,c,2,b,共面,故,B,正确,.,因为,a,+,b,+,c,=(,b,+,c,)+,a,所以,b,+,c,a,a,+,b,+,c,共面,故,C,正确,.,因为,a,+,c,=(,a,-,2,c,)+3,c,所以,a,+,c,a,-,2,c,c,共面,故,D,正确,.,对于,A,若,b,+,c,b,-,c,a,共面,则存在实数,使得,a,=,(,b,+,c,)+,(,b,-,c,)=(,+,),b,+(,-,),c,所以,a,b,c,共面,与,a,b,c,不共面矛盾,所以,b,+,c,b,-,c,a,不共面,故,A,错误,.,故选,BCD,.,知识点,4,空间向量的共线与共面问题,15. 2022,山东高二上联考,如图,四棱锥,P-ABCD,的底面,ABCD,是矩形,且,PA,底面,ABCD,E,F,分别是棱,AB,PC,的中点,.,求证,:,共面,.,答案,15.,证明,设,CD,的中点为,G,连接,EG,FG,则,所以,(,-,)=,所以,共面,.,知识点,4,空间向量的共线与共面问题,16.,如图,已知空间四边形,ABCD,E,H,分别是边,AB,AD,的中点,F,G,分别是边,CB,CD,上的点,且,.,用向量法求证,:,四边形,EFGH,是梯形,.,答案,16.,证明,连接,BD,因为,E,H,分别是边,AB,AD,的中点,所以,EH,BD,所以,(,-,)=,(,-,)=,(,-,)=,所以,且,|,|=,|,|,.,又,F,不在,EH,上,所以四边形,EFGH,是梯形,.,学科关键能力构建,1. (,多选,)2022,重庆名校联盟高二上联考,已知,M,A,B,C,四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使,共面的是,(,),A.,(,O,为空间中任意一点,),B.,+2,C.,+2,+3,(,O,为空间中任意一点,),D.,=3,-,2,答案,1. BD,因为,且,1,所以点,M,不在平面,ABC,内,向量,不共面,故,A,错误,;,由空间向量共面定理,知,B,D,正确,;,因为,+2,+3,且,1+2+31,所以点,M,不在平面,ABC,内,向量,不共面,故,C,错误,.,故选,BD,.,【方法总结】,解决向量共面问题的策略,(1),点,P,在平面,ABC,内,=,m,+,n,或,=,x,+,y,+,z,(,x,+,y,+,z,=1,O,为空间中任意一点,),.,(2),证明三个向量共面,(,或四点共面,),需利用空间向量共面定理,将其中一个向量用另外两个向量表示,.,2. 2022,湖北武汉市育才高中高二上月考,光岳楼,又称,“,余木楼,”“,鼓楼,”“,东昌楼,”,位于山东省聊城市,始建于公元,1374,年,.,它的墩台为砖石砌成的正四棱台,如图所示,正四棱台的上、下底面的棱长之比为,则,=,.,答案,2.,解析,延长,EA,FB,GC,HD,相交于点,O,则,所以,.,又,所以,.,3. 2022,山东潍坊四中高二上月考,如图,O,为,ABC,所在平面外一点,M,为,BC,的中点,若,=,与,同时成立,则实数,的值为,.,答案,3.,解析,因为,-,-,=,-,(,)=,-,所以,=,.,4. 2022,江西上饶横峰中学高二月考,如图,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,E,F,G,分别是棱,AA,1,BC,C,1,D,1,的中点,.,设,M,是该正方体表面上的一点,若,=,x,+,y,(,x,y,R),则所有点,M,形成的图形的周长是,.,答案,4. 3,解析,因为,=,x,+,y,(,x,y,R),所以点,M,在平面,EFG,上,.,如图,分别取,A,1,D,1,AB,CC,1,的中点,N,H,P,则所有点,M,形成的图形是正六边形,EHFPGN.,因为,EN,=,所以该正六边形的周长为,6,EN,=3,.,5.,如图,已知,M,N,分别为四面体,A-BCD,的面,BCD,与面,ACD,的重心,G,为,AM,上一点,且,GM,GA,=13,.,(1),用向量,表示,;,(2),求证,:,B,G,N,三点共线,.,答案,5.,解析,(1),=,(,),=,(,),=,(,-,-,),=,(,),.,(2),设,=,a,=,b,=,c,则,=,-,a,+,(,a,+,b,+,c,)=,-,a,+,b,+,c,(,)=,-,a,+,b,+,c,=,所以,.,又,BN,BG,=,B,所以,B,G,N,三点共线,.,6. 2022,黑龙江佳木斯高三调研,如图,H,在四棱锥,P-ABCD,的棱,PC,上,且,PH,=,HC,点,G,在,AH,上,AG,=,mAH,四边形,ABCD,为平行四边形,.,若,G,B,P,D,四点共面,求实数,m,的值,.,答案,6.,解析,因为,PH,=,HC,所以,.,又点,G,在,AH,上,AG,=,mAH,所以,=,m,=,m,(,)=,m,(,)=,m,(,)=,m,(,)=,因为,B,G,P,D,四点共面,且,不共面,所以,=1,解得,m,=,.,第一节,空间向量及其运算,课时,2,空间向量的数量积运算,教材必备知识精练,知识点,1,空间向量的数量积及其运算律,1.,已知,a,=3,p,-,2,q,b,=,p,+,q,p,和,q,是相互垂直的空间单位向量,则,a,b,=(,),A.1B.2C.3D.4,答案,1. A,因为,p,q,且,|,p,|=|,q,|=1,所以,a,b,=(3,p,-,2,q,)(,p,+,q,)=3,p,2,+,p,q,-,2,q,2,=3+0,-,2=1,.,知识点,1,空间向量的数量积及其运算律,2. 2022,湖南长沙市周南中学高二上月考,已知,|,a,|=4,向量,e,为单位向量,=,则向量,a,在向量,e,上的投影向量为,(,),A.2,e,B.,-,2,e,C.,-,e,D.,e,答案,2. B,由题意得向量,a,在向量,e,上的投影向量为,|,a,|cos,=4cos,e,=,-,2,e,.,知识点,1,空间向量的数量积及其运算律,3. 2022,广东深圳市华侨城中学高二上开学考试,已知空间向量,a,b,c,满足,a,+,b,+,c,=,0,|,a,|=1,|,b,|=2,|,c,|=,则向量,a,与,b,的夹角为,(,),A.30B.45C.60D.90,答案,3. C,设向量,a,与,b,的夹角为,.,由,a,+,b,+,c,=,0,得,a,+,b,=,-,c,等式两边同时平方,得,a,2,+2,a,b,+,b,2,=,c,2,即,1+212cos,+4=7,解得,cos,=,.,因为,0,180,所以,=60,.,知识点,1,空间向量的数量积及其运算律,4. (,多选,)2022,湖北武汉十四中高二上月考,已知空间四边形,ABCD,的四条边和两条对角线的长都为,a,且,E,F,G,分别是,AB,AD,DC,的中点,则下列选项中运算结果为,-a,2,的是,(,),A.2,B.2,C.2,D.2,答案,4. AC,如图所示,2,=2|,|,|cos 120=2,a,a,cos 120=,-a,2,故,A,正确,;2,=2|,|,|cos 60=2,a,a,cos 60=,a,2,故,B,错误,;2,=2|,|,|cos 180=2,a,cos 180=,-a,2,故,C,正确,;2,=2|,|,|cos 120=2,a,cos 120=,-,故,D,错误,.,故选,AC,.,知识点,1,空间向量的数量积及其运算律,5.,已知空间向量,a,b,c,则下列结论中正确的是,(,填序号,),.,a,b,=,a,c,(,a,0),b,=,c,;,a,b,=0,a,=,0,或,b,=,0,;,(,a,b,),c,=(,b,c,),a,;,a,(,b,)=,(,a,b,);,若,a,b,0,则,a,b,的夹角为钝角,.,答案,5. ,解析,在空间中,任取与,a,(,a,0,),垂直的两个向量作为,b,c,都有,a,b,=,a,c,=0,所以,不正确,;,只要,a,b,a,=,0,b,=,0,中有一个成立,就有,a,b,=0,所以,不正确,;,a,b,为实数,设为,p,b,c,为实数,设为,q,而,p,c,=,q,a,不一定成立,所以,不正确,;,根据空间向量数量积的运算律可知,正确,;,当,a,b,反向共线时,a,b,的夹角为,此时,a,b,0,也成立,故,不正确,.,知识点,2,空间向量数量积的应用,6.,已知两异面直线的一个方向向量分别为,a,b,且,|,a,|=|,b,|=1,a,b,=,-,则两异面直线的夹角为,(,),A.30B.60C.120D.150,答案,6. B,设向量,a,b,的夹角为,则,cos,=,=,-,所以,=120,则两异面直线的夹角为,180,-,120=60,.,知识点,2,空间向量数量积的应用,7. 2022,广东深圳市华侨城中学高二上开学考试,如图所示,在四面体,A-BCD,中,ABC,为等边三角形,AB,=1,CD,=,ACD,=60,AB,CD,则,BD,=(,),A.,B.,C.,D.,答案,7. D,方法一,由题意,得,.,因为,ABC,为等边三角形,所以,AC,=,AB,=1,.,因为,AB,CD,所以,=0,所以,=(,),2,=,+2,+2,+2,=1+1+,+211cos 120+21,cos 120+20=,所以,|,|=,.,方法二,由题意得,AC,=,AB,=1,则,AD,2,=,AC,2,+,CD,2,-,2,AC,CD,cos,ACD,=,所以,AD,2,+,CD,2,=,AC,2,即,AD,CD.,因为,CD,AB,AB,AD,=,A,所以,CD,平面,ABD,所以,CD,BD,又,BC,=1,所以,BD,=,.,知识点,2,空间向量数量积的应用,8. 2022,北京一零一中学高二上期中,已知,A,B,C,D,是空间不共面的四点,且满足,=0,=0,点,M,为,BC,的中点,则,AMD,是,(,),A.,钝角三角形,B.,锐角三角形,C.,直角三角形,D.,以上三种情况都有可能,答案,8. C,因为点,M,为,BC,的中点,所以,(,),所以,(,),=0,所以,AM,AD,所以,AMD,为直角三角形,.,知识点,2,空间向量数量积的应用,9. 2022,山东烟台莱州一中高二上月考,如图,边长为,1,的正方形,ABCD,所在的平面与正方形,ABEF,所在的平面互相垂直,则异面直线,AC,与,BF,所成的角为,.,答案,9. 60,解析,方法一,因为,=(,)(,)=,-,=,-,1,|,|=,|,|=,所以,|cos|=,所以异面直线,AC,与,BF,所成的角为,60,.,方法二,因为,|,|=,所以,(|,|,2,+|,|,2,-,|,|,2,-,|,|,2,)=,(1+1,-,1,-,3)=,-,1,又,|,|=,|,|=,所以,|cos|=,即异面直线,AC,与,BF,所成的角为,60,.,知识点,2,空间向量数量积的应用,答案,【二级结论】,对角线向量定理,若,AC,BD,为异面直线,则,.,记忆方法,:,(,其中,“,内,”“,外,”,指对应位置的字母,),.,知识点,2,空间向量数量积的应用,10. 2022,湖南长沙市周南中学高二上月考,如图,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,底面是边长为,的正三角形,且侧棱,AA,1,底面,ABC.,试利用空间向量的方法解决下列问题,:,(1),设侧棱长为,1,求证,:,AB,1,BC,1,;,(2),设异面直线,AB,1,与,BC,1,的夹角为,求侧棱长,.,答案,10.,解析,(1),.,因为,BB,1,平面,ABC,所以,=0,=0,.,又,ABC,为正三角形,所以,=,-,=-,.,因为,=(,)(,)=,=|,|,|cos+,=,-,1+1=0,所以,AB,1,BC,1,.,知识点,2,空间向量数量积的应用,答案,(2),结合,(1),知,=|,|,|cos+,-,1,.,又,|,|=,=|,|,所以,|cos|=|,|=|,|=,所以,|,|=2,即侧棱长为,2,.,学科关键能力构建,1. 2022,广东珠海二中高二上期中,如图,四个棱长为,1,的正方体拼成一个正四棱柱,AB,是一条侧棱,P,i,(,i,=1,2,8),是上底面上其余的八个点,则集合,y,|,y,=,i,=1,2,3,8,中的元素个数为,(,),A.1B.2C.4D.8,答案,1. A,方法一,由题图可知,则,(,)=,.,因为,AB,BP,i,所以,=0,所以,=1+0=1,故集合,y,|,y,=,i,=1,2,3,8,中的元素个数为,1,.,方法二,因为,在,上的投影向量为,AB,=1,所以,=1,所以集合,y,|,y,=,i,=1,2,3,8,中的元素个数为,1,.,2. 2022,湖北武汉十四中高二上月考,已知非零空间向量,a,b,c,若,p,=,则,|,p,|,的取值范围为,(,),A.0,1B.1,2,C.0,3D.1,3,答案,2. C,因为,|,p,|,2,=(,),2,=3+2(,)3+23=9,所以,0|,p,|3,.,3. 2022,福建省福州高级中学高二月考,已知,MN,是棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的内切球的一条直径,则,=(,),A.,-,1B.1C.,-,2D.2,答案,3. D,不妨设该正方体内切球的球心为,O,由题意得球,O,的半径为,1,|,|=,.,方法一,=(,)(,)=|,|,2,+,(,)+,=3+0,-,1=2,.,方法二,=(,),2,-,(,),2,=,-,(,),2,=2,.,【二级结论】,极化恒等式,:,a,b,=(,),2,-,(,),2,.,4. 2022,广东深圳红岭中学高二上期中,已知空间向量,a,b,满足,|,a,|=|,b,|=1,且,a,b,的夹角为,点,O,A,B,满足,=2,a,+,b,=3,a,-,b,则,OAB,的面积为,(,),A.,B.,C.,D.,答案,4. B,由题意得,|,|=,|,|=,则,cos=,所以,sin,AOB,=,所以,OAB,的面积,S,=,|,|sin,AOB,=,故选,B,.,5. (,多选,)2022,河北省级联测高二上联考,如图,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB,=,AD,=1,AA,1,=,BAA,1,=,DAA,1,=45,BAD,=60,则,(,),A.,(,),B.(,-,),2,=3,C.,(,-,)=0,D.|,|=3,答案,5. CD,在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,又,所以,(,),故,A,错误,;,-,-,因为,AB,=,AD,=1,BAD,=60,所以,BD,=1,即,=1,又,|,|=1,所以,(,-,),2,=,故,B,错误,;,由题知,1cos 45=1,所以,(,-,)=(,)(,-,)=(,)(,-,)+,(,-,)=,-,-,=0,故,C,正确,;,=(,),2,=,+2,+2,+2,=1+1+2+211cos 60+2+2=9,所以,|,|=3,故,D,正确,.,故选,CD,.,6.,已知点,P,是棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,内部的一动点,且,|,|=2,则,的值最小时,与,的夹角的大小为,.,答案,6. 90,解析,取,C,1,D,1,的中点,M,则,=(,),2,-,(,),2,=,-,(,),2,=,-,1,.,因为,|,|=2,所以点,P,在以点,A,为球心,2,为半径的球面上,(,在正方体内部的部分,),所以,=,AM-,2=3,-,2=1,则,的值最小时,=0,所以,所以,与,的夹角为,90,.,7.,如图所示,在平行四边形,ABCD,中,AB,=,AC,=1,ACD,=90,沿着它的对角线,AC,将,ACD,折起,使,AB,与,CD,成,60,角,求此时,B,D,两点间的距离,.,答案,7.,解析,在平行四边形,ABCD,中,因为,ACD,=90,所以,=0,=0,.,在空间四边形,ABCD,中,因为,AB,与,CD,成,60,角,所以,=60,或,=120,.,又,所以,+2,+2,+2,=3+211cos,所以当,=60,时,=4,此时,B,D,两点间的距离为,2;,当,=120,时,=2,此时,B,D,两点间的距离为,.,8.,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,C,1,D,1,D,1,D,的中点,正方体的棱长为,1,.,(1),求,的余弦值,;,(2),求证,:,BD,1,EF.,答案,8.,解析,(1),-,.,因为,=0,=0,=0,所以,=(,-,)(,)=,.,又,|,|=|,|=,所以,cos=,.,(2),-,=,-,(,),所以,=(,-,),-,(,)=,-,(,-,)=0,所以,所以,BD,1,EF.,第二节,空间向量基本定理,教材必备知识精练,知识点,1,空间向量基本定理及其相关概念,1. 2022,人大附中高二上期中,已知,O,A,B,C,为空间的四个点,若,是空间的一个基底,则下列命题不正确的是,(,),A.,O,A,B,C,四点不共线,B.,O,A,B,C,四点共面,但不共线,C.,O,A,B,C,四点不共面,D.,O,A,B,C,四点中任意三点不共线,答案,1. B,因为,为空间的一个基底,所以,不共面,即,O,A,B,C,四点中任意三点不共线,且四点不共面,故命题,B,错误,.,知识点,1,空间向量基本定理及其相关概念,2. (,多选,)2022,山东枣庄高二上期中,已知,a,b,c,是不共面的三个向量,则下列能构成空间的一个基底的是,(,),A.,a,+,b,a,-,2,b,c,B.,a,-,b,a,+3,b,2,a,C.,a,2,b,b,-,c,D.,a,+,c,a,-,c,c,答案,2. AC,A,B,C,D,知识点,1,空间向量基本定理及其相关概念,3. 2022,辽宁省实验中学高二上期中,已知向量,a,b,c,构成空间的一个基底,a,b,c,若,d,=3,a,+4,b,+,c,且,d,=,x,(,a,+2,b,)+,y,(,b,+3,c,)+,z,(,c,+,a,),则,x,=,.,答案,3. 2,解析,d,=,x,(,a,+2,b,)+,y,(,b,+3,c,)+,z,(,c,+,a,)=(,x,+,z,),a,+(2,x,+,y,),b,+(3,y,+,z,),c,=3,a,+4,b,+,c,所以,解得,.,知识点,2,用基底表示空间向量,4. 2022,河南濮阳高二上联考,如图,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,M,为,A,1,C,1,的中点,若,=,a,=,b,=,c,则下列向量与,相等的是,(,),A.,-,a,-,b,+,c,B.,a,+,b,-,c,C.,-,a,+,b,+,c,D.,a,+,b,+,c,答案,4. D,(,-,)=,a,+,c,+,b,.,故选,D,.,知识点,2,用基底表示空间向量,5.,如图,四棱锥,P-OABC,的底面为一平行四边形,设,=,a,=,b,=,c,E,F,分别是,PC,和,PB,的中点,试用,a,b,c,表示,.,答案,5.,解析,(,)=,(,-,)=,(,-,-,)=,-,a,-,b,+,c,.,=,-,=,-,a,+,(,)=,-,a,+,(,-,)=,-,a,-,b,+,c,.,(,)=,-,a,+,c,+,(,-,c,+,b,)=,-,a,+,b,+,c,.,a,.,知识点,2,用基底表示空间向量,答案,【方法总结】,用基底表示向量的步骤,(1),定基底,:,根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,.,(2),找目标,:,用确定的基底,(,或已知基底,),表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的线性运算进行变形、化简,最后求出结果,.,(3),下结论,:,利用空间的一个基底,a,b,c,可以表示出空间中所有向量,表示要彻底,结果中的向量只能含有,a,b,c,不能含有其他形式的向量,.,知识点,3,利用空间向量基本定理解决几何问题,6.,在四面体,O-ABC,中,点,M,在,OA,上,且,OM,=2,MA,N,为,BC,的中点,若,则使,G,M,N,三点共线的,x,的值为,(,),A.1B.2C.,D.,答案,6. A,由题意,得,(,),.,若,G,M,N,三点共线,则存在实数,使得,=,+(1,-,),(,)+,得,解得,.,故选,A,.,知识点,3,利用空间向量基本定理解决几何问题,7.,已知在平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB,=2,AA,1,=3,AD,=1,且,DAB,=,BAA,1,=,DAA,1,=,.,(1),求,B,1,D,的长,;,(2),求,与,夹角的余弦值,.,知识点,3,利用空间向量基本定理解决几何问题,答案,7.,解析,(1),是三个不共面的向量,它们构成空间的一个基底,.,由题可知,-,-,则,|,|,2,=(,-,-,),2,=,-,2,-,2,+2,=1,2,+2,2,+3,2,-,2(12+13,-,23),=15,即,|,|=,故,B,1,D,的长为,.,(2),由题知,-,则,|,|=,=(,-,)(,-,-,)=,-,-,=13,-,12,+2,2,-,3,2,=,-,所以,cos=,=,-,.,学科关键能力构建,1. (,多选,)2022,浙江绍兴一中高二上期中,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,E,在,A,1,D,1,上,且,=2,点,F,在,A,1,C,上,且,则下列说法正确的是,(,),A.,E,F,B,三点共线,B.,A,1,C,B,1,D,1,C.,A,1,E,F,三点共线,D.,EF,A,1,B,答案,1. AB,设,=,a,=,b,=,c,则,a,b,c,是空间的一个基底,.,A,B,因为,B,1,D,1,平面,A,1,C,1,C,A,1,C,平面,A,1,C,1,C,所以,A,1,C,B,1,D,1,.,C,显然,A,1,E,F,三点不共线,.,D,由,A,知,EF,与,A,1,B,相交,.,2.,在棱长为,1,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,P,为正方体内一动点,(,包括表面,),若,=,x,+,y,+,z,且,0,x,y,z,1,则点,P,所有可能的位置所构成的几何体的体积是,(,),A.1B.,C.,D.,答案,2. D,根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理,知满足,0,x,y,1,的点,P,在三棱柱,ACD-A,1,C,1,D,1,内,满足,0,y,z,1,的点,P,在三棱柱,AA,1,D,1,-BB,1,C,1,内,故同时满足,0,x,y,1,和,0,y,z,1,的点,P,在这两个三棱柱的公共部分,(,如图,),即三棱锥,A-A,1,C,1,D,1,内,其体积是,111=,.,3.,如图,直三棱柱,ABC-ABC,中,AC,=,BC,=,AA,ACB,=90,D,E,分别为,AB,BB,的中点,.,(1),求证,:,CE,AD,;,(2),求异面直线,CE,与,AC,所成角的余弦值,.,答案,3.,解析,(1),设,=,a,=,b,=,c,则,a,b,c,构成空间的一个基底,.,易得,|,a,|=|,b,|=|,c,|,且,a,b,=,b,c,=,c,a,=0,.,因为,=,b,+,c,=,-,c,+,b,-,a,所以,=,-,c,2,+,b,2,=0,所以,CE,AD.,(2),因为,=,-,a,+,c,=,b,+,c,所以,|,|=,|,a,|,|,|=,|,a,|,=(,-,a,+,c,)(,b,+,c,)=,c,2,=,|,a,|,2,所以,cos=,即异面直线,CE,与,AC,所成角的余弦值为,.,4. 2022,湖南长沙市周南中学高二上月考,已知,e,1,e,2,e,3,为空间的一个基底,且,=2,e,1,-,e,2,+3,e,3,=,e,1,+2,e,2,-,e,3,=,-,3,e,1,+,e,2,+2,e,3,=,e,1,+,e,2,-,e,3,.,(1),能否作为空间的一个基底,?,若能,试用这一基底表示,;,若不能,请说明理由,.,(2),判断,P,A,B,C,四点是否共面,.,答案,4.,解析,(1),假设,共面,则存在实数,m,n,使,=,m,+,n,即,e,1,+2,e,2,-,e,3,=,m,(,-,3,e,1,+,e,2,+2,e,3,)+,n,(,e,1,+,e,2,-,e,3,),所以,方程组无解,所以,不共面,因此,可以作为空间的一个基底,.,令,=,a,=,b,=,c,答案,由,得,所以,=2,e,1,-,e,2,+3,e,3,=2(3,a,-,b,-,5,c,),-,(,a,-,c,)+3(4,a,-,b,-,7,c,)=17,a,-,5,b,-,30,c,=17,-,5,-,30,.,(2),假设,P,A,B,C,四点共面,则存在实数,x,y,z,使,=,x,+,y,+,z,且,x,+,y,+,z,=1,.,由,(1),知,=17,-,5,-,30,但,17,-,5,-,30=,-,181,故,P,A,B,C,四点不共面,.,5.,如图,在三棱锥,P-ABC,中,点,G,为,ABC,的重心,点,M,在,PG,上,且,PM,=3,MG,过点,M,任意作一个平面分别交线段,PA,PB,PC,于点,D,E,F,若,=,m,=,n,=,t,求证,:,为定值,并求出该定值,.,答案,5.,解析,连接,AG,并延长交,BC,于点,H,由题意,可令,为空间的一个基底,.,(,)=,(,)=,(,-,)+,(,-,)=,.,连接,DM.,因为点,D,E,F,M,共面,所以存在实数,使得,=,+,即,-,=,(,-,)+,(,-,),所以,=(1,-,),+,+,=(1,-,),m,+,n,+,t,.,由空间向量基本定理,知,=(1,-,),m,=,n,=,t,所以,=4(1,-,)+4,+4,=4,为定值,.,第三节空间向量,及其运算的坐标表示,教材必备知识精练,知识点,1,空间直角坐标系,1. 2022,重庆市合川实验中学高二下开学考试,在如图所示的长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,D,1,(0,2,2),B,(3,0,0),则点,C,1,的坐标为,(,),A.(3,3,2) B.(3,2,2),C.(3,2,3) D.(2,2,3),答案,1. B,因为点,D,1,(0,2,2),B,(3,0,0),所以,AB,=3,AD,=2,AA,1,=2,所以点,C,1,的坐标为,(3,2,2),.,知识点,1,空间直角坐标系,2. 2022,河南濮阳范县一中高二上月考,设点,A,(4,2,-,1),O,(0,0,0),M,(1,-,1,2),若,则点,B,的坐标为,(,),A.(,-,1,3,-,3)B.(1,-,3,3),C.(5,1,1)D.(,-,5,-,1,-,1),答案,2. C,设点,B,的坐标为,(,x,y,z,),则,=(,x-,4,y-,2,z,+1),.,因为,=(1,-,1,2),所以,解得,即,B,(5,1,1),.,知识点,1,空间直角坐标系,3. 2022,上海闵行中学高二上期中,在空间直角坐标系,Oxyz,中,点,M,(,-,1,0,2),N,(3,2,-,4),则,MN,的中点,Q,在平面,Oxy,内的射影的坐标是,.,答案,3. (1,1,0),解析,因为,M,(,-,1,0,2),N,( 3,2,-,4),所以,Q,(1,1,-,1),所以点,Q,在平面,Oxy,内的射影的坐标是,(1,1,0),.,知识点,1,空间直角坐标系,4. 2022,湖北荆州高二上期中,在空间直角坐标系,Oxyz,中,已知点,P,(5,1,a,),与,Q,(5,b,4),.,若点,P,Q,关于坐标平面,Oxy,对称,则,a,+,b,=,;,若点,P,Q,关于,x,轴对称,则,a,+,b,=,.,答案,4.,-,3,-,5,解析,若点,P,Q,关于坐标平面,Oxy,对称,则,b,=1,a,=,-,4,所以,a,+,b,=,-,3,.,若点,P,Q,关于,x,轴对称,则,b,=,-,1,a,=,-,4,所以,a,+,b,=,-,5,.,【方法总结】,点,M,(,a,b,c,),是空间直角坐标系,Oxyz,中的一点,则有如下结论,:,(1),点,M,关于平面,Oxy,对称的点的坐标为,(,a,b,-c,),点,M,关于平面,Oxz,对称的点的坐标为,(,a,-b,c,),点,M,关于平面,Oyz,对称的点的坐标为,(,-a,b,c,),.,(2),点,M,关于,x,轴对称的点的坐标为,(,a,-b,-c,),点,M,关于,y,轴对称的点的坐标为,(,-a,b,-c,),点,M,关于,z,轴对称的点的坐标为,(,-a,-b,c,),.,(3),点,M,关于原点对称的点的坐标为,(,-a,-b,-c,),.,知识点,1,空间直角坐标系,5. 2022,河北高二上省级联测,如图,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,ABC,=90,AB,=1,BB,1,=,BC,=2,B,1,在平面,ABC,内的射影,H,为,BC,的中点,以,H,为坐标原点,的方向为,x,轴的正方向,的方向为,z,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,Hxyz,则点,B,的坐标为,点,B,1,的坐标为,点,A,1,的坐标为,.,答案,5. (,-,0,0),(0,0,3),(0,1,3),解析,因为点,B,在,x,轴上,且,BH,=,BC,=,所以点,B,的坐标为,(,-,0,0),.,因为点,B,1,在,z,轴上,且,B,1,H,=,=3,所以点,B,1,的坐标为,(0,0,3),.,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,ABC,= 90,所以,AB,A,1,B,1,y,轴,且,AB,=,A,1,B,1,=1,所以点,A,1,的坐标为,(0,1,3),.,【方法总结】,求空间中一点,M,的坐标的方法,观察点,M,若处于特殊位置,例如在,x,轴上时,只需求得其横坐标,x,0,则,M,(,x,0,0,0),.,若不在特殊位置,则先作,MM,垂直于平面,Oxy,垂足为,M,求,M,的横坐标,x,0,、纵坐标,y,0,即点,M,的横坐标为,x,0,、纵坐标为,y,0,再求点,M,在,z,轴上射影的竖坐标,z,0,即点,M,的竖坐标为,z,0,于是得到点,M,的坐标为,(,x,0,y,0,z,0,),.,知识点,2,空间向量线性运算的坐标表示,6.,已知,a,=(1,0,1),b,=(,-,2,-,1,1),c,=(3,1,0),则,a,-,b,+2,c,=(,),A.(-9,-3,0)B.(0,2,-1),C.(9,3,0)D.(9,0,0),答案,6. C,a,-,b,+2,c,=(1,0,1),-,(,-,2,-,1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0),.,知识点,2,空间向量线性运算的坐标表示,7. 2022,福建南安一中高二上月考,已知向量,a,=(,-,2,1,3),a,+,b,=(1,2,-,2),则,b,=(,),A.(-3,-1,5)B.(-1,3,1),C.(3,1,-5)D.(1,-3,-1),答案,7. C,b,=,a,+,b,-,a,=(1,2,-,2),-,(,-,2,1,3)=(3,1,-,5),.,知识点,2,空间向量线性运算的坐标表示,8.,若,A,(,m,+1,n-,1,3),B,(2,m,n,m-,2,n,),C,(,m,+3,n-,3,9),三点共线,则,m,+,n,的值为,(,),A.0B.-1C.1D.-2,答案,8. A,易得,=(,m-,1,1,m-,2,n-,3),=(2,-,2,6),.,由题意,得,所以,所以,m,=0,n,=0,所以,m,+,n,=0,.,知识点,2,空间向量线性运算的坐标表示,9. (,多选,)2022,河南濮阳范县一中高二上月考,已知在空间直角坐标系中,点,A,(,-,3,-,1,4),坐标原点为,O,且,与非零向量,=(,x,y,z,),的方向相反,则,(,),A.,x,+,y,+,z,=0B.,x,=3,y,C.,x,+,z,=0D.4,y,+,z,=0,答案,9. ABD,由题意,得,=,=(,-,3,-,4,),其中,0,则,x,=,-,3,
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