第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理,常见的连续型随机变量的概率分布,t-,分布,连续型随机变量的概率分布,2,分布,正态分布,F-,分布,正 态 分 布,正态分布的重要性,1.,由,C.F.,高斯,(Carl Friedrich Gauss,，,17771855),作为描述误差相对频数分布的模型而提出,2.,描述连续型随机变量的最重要的分布,3.,可用于近似离散型随机变量的分布,例如,:,二项分布,4.,统计推断的基础,x,(,x,),概率密度函数,(x,) =,随机变量,的密度函数,=,方差,=,均值,=3.14159; e = 2.71828,x,=,随机变量的取值,(-,x,),正态分布函数的性质,图形是关于,x=,对称的钟形曲线，且峰值在,x=,处，,也是分布的中位数和众数,正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值,的标准差,来确定。,决定正态分布曲线的位置，,决定曲线的平缓程度，即胖瘦。,当,X,的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交,正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于,1,和,对,正态曲线的影响,x,f,(,x,),C,A,B,=1/2,1,2,=1,正态分布的概率,概率是曲线下的,面积,!,a,b,x,(x,),正态分布曲线下面的面积,变量取值在区间,-,，,+,之间的概率：,变量取值在区间,-2,，,+2,之间的概率：,变量取值在区间,-3,，,+3,之间的概率,：,+,x,(x,),68.27%,95.45%,99.73%,-,+,2,+,3,-,2,-,3,标准正态分布的重要性,一般的正态分布取决于均值,和标准差,计算概率时,，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的,若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,Z,分数（标准正态变量）,标准正态分布,1.,标准正态分布的概率密度函数,3.,随机变量具有均值为,0,，标准差为,1,的正态分布,2.,标准正态分布的分布函数,一般正态分布的表示,标准正态分布的表示,标准正态分布,x,m,s,一般正态分布,2,=1,Z,标准正态分布, ,x,m,s,一般正态分布,1,标准化的例子,P,(5,X,6.2),X,=5,=10,一般正态分布,6.2,=1,Z,标准正态分布,0,0.12,.0478,标准正态分布曲线下面的面积,变量取值在区间,-1,，,+1,之间的概率：,变量取值在区间,-2,，,+2,之间的概率：,变量取值在区间,-3,，,+3,之间的概率：,0,+1,Z,(x,),68.27%,95.45%,99.73%,-1,+2,+3,-2,-3,标准正态分布与一般正态分布,+,x,(x,),68.27%,95.45%,99.73%,-,+2,+3,-2,-,3,0,+1,Z,(x,),68.27%,95.45%,99.73%,-1,+2,+3,-2,-3,标准正态分布表的使用,将一个一般的转换为标准正态分布,计算概率时,，查标准正态概率分布表,对于负的,x,，可由,(-,x,),x,得到,对于标准正态分布，即,N,(0,1),，有,P,(,a,b,),b, ,a,P,(|,| ,a,) 2,a, 1,对于一般正态分布，即,N,(, ),，有,标准化的例子,P,(2.9,7.1),一般正态分布,.1664,.0832,.0832,标准正态分布,正态分布,（实例）,【,例,】,设,N,(0,，,1),，求以下概率：,(1),P,(,2),；,(3),P,(-1,3),；,(4),P,(|,|,2),解,：,(1),P,(,2)=1-,P,(,2,)=1-0.9973=0.0227,(3),P,(-1,3)=,P,(,3)-,P,(,-1),=,(3)-,(-1)=,(3) 1-,(1),= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354,(4),P,(|,|,2) =,P,(-2,|,2)=,(2)-,(-2),=,(2)- 1-,(2)=2,(2)- 1=0.9545,正态分布,（实例）,【,例,】,设,N,(5,，,3,2,),，求以下概率,(1),P,(,10),；,(2),P,(2,=30,）时，样本均值的抽样分布近似服从均值为,，方差为,2,/,n,的正态分布,一个任意分布的总体,x,中心极限定理,(,central limit theorem,),x,的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值,正态分布,样本均值,正态分布,样本均值,非正态分布,= 50,=10,X,总体分布,n,= 4,抽样分布,X,n,=16,当总体服从正态分布,N, (,2,),时，来自该总体的所有容量为,n,的样本的均值,X,也服从正态分布，,X,的数学期望为,，方差为,2,/,n,。即,X,N,(,2,/,n,),T,统计量的分布,设,X,1,，,X,2,，,，,X,n,是来自正态总体,N,(,2,),的一个样本，那么,为统计量,它服从自由度为,(,n,-1),的,t,分布,X,t,分布与正态分布的比较,t-,分布,正态,分布,t,不同自由度的,t,分布,标准正态分布,t,(,df,= 13),t,(,df,= 5),Z,统计量的标准误,(standard error),样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差,标准误衡量的是统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的一个重要尺度。,以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为,它反映的是统计量 围绕 的分散程度或者说反映了抽样均值 与 的平均误差水平。,4.,标准误表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无数多种样本，每一个样本的数据都是对总体的数据的估计。标准误代表的就是当前的样本对总体数据的估计，标准误代表的就是样本均数与总体均数的相对误差。标准误更大的是受到样本容量的影响。样本容量越大，标准误越小，那么,抽样误差,就越小，就表明所抽取的样本能够较好地代表总体。,估计的标准误,(standard error of estimation,),当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误差，由于在实际应用中，总体的,总是未知的，所计算的标准误差实际上都是估计标准误差，因此估计标准误差就简称为标准误差。,以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差,未知时，可用样本标准差,s,代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为,例,1,，随机抽取某大学的学生,100,名，平均体重,根据过去材料知道大学生体重的标准差为,10kg,，求抽样误差为多少？,解：已知,n=100,30,=10,。,例,2,，某学院,1000,名学生，其平均身高是,168cm,，标准差为,22.5cm,，现从学生中随机抽,100,名，求其样本平均数大于,1.70m,的概率,解,=168cm,=22.5 ,n=100,X=170cm,p(x,170)=,=,答：样本平均数大于,1.70m,的概率为,18.41%,思考题和练习题,一、思考题,1.,正态分布有哪些特点？什么是标准正态分布？,2.,解释中心极限定理的含义？,3.,解释样本统计量的概率分布（抽样分布）,4.,什么是统计量的标准误差？它有什么用途？,二、练习题,1.,已知随机变量,满足正态分布,N,，求,P(,61)=?,和,P,2,.,已知,Z,满足标准正态分布,N(0,1),，求以下各,a,值情况下，,P =a,中的 值。,（,1,）当,a=0.1,（,2,）当,a=0.05,（,3,）当,a=0.01,