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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,矩阵的特征值和特征向量,设,A,是一个,n,阶方阵,对任一,n,维列向量,A,将,n,维列向量,变换成另一个,n,维列向量,1,例,矩阵,A,3,维向量,1,的,2,倍,.,2,为,A,的特征值,1,为,A,的,的结果,对应于,2,的特征向量,设,左乘非零向量,1,等于,2,定义,3.1,注意,1,）,2 ),(,一,),特征值和特征向量的概念,如果存在,0,是一个,数，,使得,则称,0,是,对应于特征值,0,的,成立，,A,一定是方阵,.,非零,向量,是矩阵,A,的,矩阵,A,的,特征值,特征向量,.,设,A,为,n,阶方阵,谈到矩阵,A,的特征值时，,矩阵的特征向量,一定是非零向量,.,3,是矩阵,A,的特征值,是矩阵,A,的,对任意,n,维向量,例,任意,n,维 向量,非零,对应于,k,的特征向量,.,4,(,二,),的求法,特征值与特征向量,5,即,即,此齐次线性方程组,有非零解,.,称为,A,的,特征矩阵,.,6,求矩阵,A,的特征值,3),对每一个特征值,0,求出其全部 解向量,2),求出,的全部解,它们就是矩阵,A,的,写出齐次线性方程组,即得到,的所有特征向量。,非零的,和特征向量的步骤如下：,1,）计算,全部特征值,.,对应于特征值,0,矩阵,A,的,称为,A,的特征多项式,称为,A,的特征方程,7,解,1,=,2,2,=,1,矩阵的两个特征值为,1,=2:,即,2,=1:,为对应于,1,的,为对应于,2,的,A,的特征多项式,例,求矩阵,的特征值和特征向量,.,全部特征向量,.,全部特征向量,.,即,即,8,解,是,A,的特征值,.,1,=,0,:,是对应于,0,的,例,2,=,4,:,是对应于,4,的,全部特征向量,.,全部特征向量,.,求矩阵,A,的特征值和特征向量,其基础解系为,其基础解系为,9,3,=,-1,:,是对应于,-1,的全部特征向量,是,A,的特征值,.,其基础解系为,10,解,(,二重,),是,A,的特征值,.,1,=,0,:,是对应于,0,的,(c0),例,全部特征向量,求矩阵,A,的特征值和特征向量,其基础解系为,11,1,=,2,：,对应于,2,的全部特征向量为,1,=,0,2,=,2,(,二重,),是,A,的特征值,.,(,d,0),其基础解系为,12,设,证,也是,矩阵,A,的,(,三,),特征值与特征向量,非零向量,为,A,的对应于,则,k,也是,常数,k,0,的特征向量,矩阵,A,的,的特征向量,.,对应于,的特征向量,.,又,的性质,由,是矩阵,A,的特征值,对应于,13,设,为矩阵,A,的特征值，,证,非零向量,1,2,也是,矩阵,A,的,矩阵,A,的,则当,时,又,也是,矩阵,A,的,对应于,的特征向量,.,对应于,的特征向量,.,定理,对应于,的特征向量,都是,14,定理,3.2,证,A,与,A,T,故,A,与,A,T,有相同的,有相同的特征多项式,与它的转置矩阵,A,T,n,阶矩阵,A,特征值,.,有相同的特征值,.,A,的特征值,是方程,的解,.,A,T,的特征值,是方程,的解,.,15,n,阶矩阵,A,可逆,证,A,的任一特征值,0,不是,A,的特征值,.,定理,3.3,A,可逆,0,不满足方程,n,阶矩阵,A,可逆,A,的任一特征值,的充要条件是,A,的任一特征值,不为,0,16,0,是,A,的特征值,0,不是,A,的特征值,A,的任一特征值,例,A,的任一特征值,证明：,则,A,-1,存在，,是,A,-1,的特征值,.,证,是,A,的对应于,的,是,A,-1,的特征值,是对应的特征向量,.,设,设,特征向量，,则,即,17,定理,3.4,对应于不同特征值的,1,2,m,互不相同的,特征值，,分别是,的,特征向量，,则,是,A,的,m,个,对应于,一定线性无关,.,设,A,是,n,阶矩阵,1,2,m,线性无关,.,特征向量,18,定理,3.5,1,2,m,互不相同的特征值，,是,A,的,m,个,设,A,是,n,阶矩阵,1,有特征向量：,线性无关,.,且这 个向量,2,有特征向量：,线性无关,.,且这 个向量,m,有特征向量,线性无关,.,且这 个向量,线性无关,.,则,19,例如,A,的特征值：,对应于,2,有特征向量,线性无关,.,对应于,4,有特征向量,线性无关,.,则,线性无关,.,20,定理,3.6,n,阶矩阵,的所有特征值,的和为,A,的所有特征值,的积为,称为矩阵,A,的,迹,.,21,例,证,是对应的特征向量,2,=0,(,1),=0,=0,或,1,试证幂等矩阵,则称,A,是,幂等矩阵,.,的特征值,则,设,是,A,的,任,一特征值,只能是,0,或,1.,如果矩阵,A,满足,22,证明,:,特征向量分别是,课堂练习,用反证法,假设,则有特征值,证,是对应于不同特征值的特征向量,矛盾,.,则,对应的,不是,A,的特征向量,.,是,A,的特征向量,线性无关,.,不是,A,的特征向量,.,设,1,2,是矩阵,A,的,两个,不同,特征值,已知,使,23,P135 1(3),3,P136 8,24,
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