资源描述
单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,定义,第五节 线性子空间,非空子集构成子空间的条件,向量组生成的子空间,一、定义,定义,13,数域,P,上线性空间,V,的一个非空子,集合,W,称为,V,的一个,线性子空间,(,或简称子空间,),如果,W,对于,V,中所定义的加法和数量乘法两种运,算也构成数域,P,上的线性空间,.,二、非空子集构成子空间的条件,下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足,什么条件才能成为子空间,.,设,W,是,V,的子集合,.,因为,V,是线性空间,.,所,以对于原有的运算，,W,中的向量满足线性空间定,义中的,中的规则,1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8),是显然的,.,为了使,W,自身构成一线性空间，主要,的条件是要求,W,对于,V,中原来运算的封闭性，以,及规则,3),与,4),成立,.,即,1.,W,对数量乘法运算封闭,，即若,W,k,P,则,k,W .,2.,W,对加法运算封闭,，即若,W,W,，,则,+,W,.,3.,0,W,.,4.,若,W,则,-,W,.,不难看出,3, 4,两个条件是多余的，它们已经包,含在条件,1,中，作为,k,= 0,与,-1,这两个特殊情形,.,因此，我们得到,定理,3,如果线性空间,V,的非空子集合,W,对,于,V,的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么,W,就是一个子空间,.,既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面,我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可,以应用到线性子空间上,.,因为在线性子空间中不可,能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量,.,所以，,任何一个线性子空间的维数不能超过整个空,间的维数,.,下面来看几个例子,.,例,1,在线性空间中，由单个的零向量所组成,的子集合是一个线性子空间，它叫做,零子空间,.,例,2,线性空间,V,本身也是,V,的一个子空间,.,在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两,个子空间有时候叫做,平凡子空间,，而其它的线性,子空间叫做,非平凡子空间,.,例,3,在全体实函数组成的空间中，所有的实,系数多项式组成一个子空间,.,例,4,P,x,n,是线性空间,P,x,的子空间,.,例,5,在线性空间,P,n,中，齐次线性方程组,的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐,次线性方程组的,解空间,.,解空间的基就是方程组,的基础解系，它的维数等于,n,-,r,其中,r,为系数矩,阵的秩,.,例,6,判断下列子集是否为给定线性空间的子,空间，并说明其几何意义,.,例,7,证明集合,W,= (0 ,x,2,x,3, ,x,n,) |,x,2,x,3, ,x,n, R,是,R,n,的子空间，并求它的一组基，确定它的维,.,三、向量组生成的子空间,1.,定义,定义,14,设,1,2, ,r,是,线性空间,V,中,一组,向量，这组向量所有可能的线性组合,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因,而是,V,的一个子空间，这个子空间叫做由,1,2, ,r,生成的子空间，记为,L,(,1,2, ,r,) .,2.,性质,定理,4,1),两个向量组生成相同子空间的充,分必要条件是这两个向量组等价,.,2),L,(,1,2, ,r,),的维数等于向量组,1,2, ,r,的秩,.,证明,1),设,1,2, ,r,与,1,2, ,s,是两个向量组,.,如果,L,(,1,2, ,r,) =,L,(,1,2, ,s,) ,那么每个向量,i,(,i,= 1 , 2, ,r,),作为,L,(,1,2, ,s,),中的向量都可以被,1,2, ,s,线性表出,;,同样每个向量,j,(,j,= 1 , 2, ,s,),作为,L,(,1,2, ,r,),中的向量也都可以被,1,2, ,r,线性表,出，因而这两个向量组等价,.,如果这两个向量组等价，那么凡是可以被,1,2, ,r,线性表出的向量都可以被,1,2, ,s,线性表出，反过来也一样，因而,L,(,1,2, ,r,) =,L,(,1,2, ,s,) .,2),设向量组,1,2, ,r,的秩是,s,而,1,2, ,s,(,s,r,),是它的一个极大线性无关组,.,因,为,1,2, ,r,与,1,2, ,s,等价，所以,L,(,1,2, ,r,) =,L,(,1,2, ,s,).,由,1,2, ,s,就是,L,(,1,2, ,r,),的一组基，,因而,L,(,1,2, ,r,),的维数就是,s,.,证毕,定理,5,设,W,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的,一个,m,维子空间，,1,2, ,m,是,W,的一组基,那么这组向量必定可扩充为整个空间的基,.,也就,是说在,V,中必定可以找到,n,-,m,个向量,m +,1,m +,2,n,，使得,1,2, ,n,是,V,的基,.,证明,对维数差,n,-,m,作归纳法，当,n,-,m,= 0,时，定理显然成立，因为,1,2, ,m,已经是,V,的基,.,现在假设,n,-,m,=,k,时定理成立，我们考虑,n,-,m,=,k,+ 1,的情形,.,既然,1,2, ,m,还不是,V,的基，它又是线,性无关的，,1,2, ,m,线性表出，, ,m,m +,1,必定是线性无关的 ( 参看第 3 节中的,) .,由,子空间,L,(,1,2, ,m,m +,1,),是,m,+ 1,维的,.,因为,n,- (,m,+ 1 ) = (,n,-,m,) -1 =,k,由归纳法假设，,L,(,1,2, ,m,m +,1,),的基,1,2, ,m,m +,1,那么在,V,中必定有一个向量,m +,1,不能被,把,m +,1,添加进去,1,2,可以扩充为整个空间的基,.,根据归纳法原理，定理得证,.,证毕,例,8,在,P,4,中，求向量,i,(,i,= 1, 2, 3, 4 ),生,成的子空间的基与维数,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,
展开阅读全文