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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2022/6/23,#,类型一,折叠问题,专题六 圆的综合题,目,录,类型三,动态问题,类型二,旋转问题,折叠问题,一,折叠问题题型多样,变化灵活,从考查学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题,到直接运用折叠相关性质的说理计算题,发展到基于折叠操作的综合题,甚至是压轴题,.,考查的着眼点日趋灵活,能力立意的意图日渐明显,.,这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求,.,题型讲解,方法点拨,折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折,180,使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果,.,折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对称问题的应用,.,而且在解决这类问题中,运用的知识点比较多,综合性强,如轴对称的性质、全等形的相关知识、勾股定理等,这是培养学生识图能力、灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径,.,解决此类问题需要注意,:,1,.,折叠重合部分一定全等,折痕所在的直线就是这两个全等形的对称轴,;,互相重合的两点,(,对称点,),之间的连线必被折痕垂直平分,;,对称两点与对称轴上任意一点连接所得的两条线段相等,;,对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等,.,2,.,在解题过程中要充分运用以上结论,借助辅助线构造直角三角形,结合相似形、锐角三角函数等知识来解决相关的折叠问题,可以使得解题思路更加清晰,解题步骤更加简洁,.,3,.,能够熟练抓住折叠前后的不变量以及折叠问题当中的特殊背景圆,利用圆的性质解决问题,.,解题技巧,(2020,省级联考,),如图,已知,O,的半径为,2,AB,为直径,CD,为弦,.AB,与,CD,交于点,M,将劣弧,沿着,CD,翻折后,点,A,与圆心,O,重合,延长,OA,至点,P,使,AP=OA,连接,PC,.,(,1),求,CD,的长,;,(2),求证,:,PC,是,O,的切线,;,(3),点,G,为,的中点,在,PC,延长线上有一动点,Q,连接,QG,交,AB,于点,E,交,于点,F,(,点,F,与点,B,C,不重合,),.,问,:,GE,GF,是否为定值,?,如果是,求出该定值,;,如果,不是,请说明理由,.,例题,1,分析,：,(1),连接,OC,在,Rt,COM,中,用勾股定理求,CM,的长度,从而得到,CD,的长度,.,(2),在,OCP,中,分别计算三边的长度,再根据勾股定理证明,OCP,是直角三角形,即可证明,PC,是,O,的切线,.,(3),连接,GO,并延长,交,O,于点,H,连接,HF,证明,OGE,FGH,即可得到,GE,GF=OG,GH.,解,析：,(1),如图,连接,OC,劣弧,沿,CD,翻折后,点,A,与圆心,O,重合,OM=,OA=,2,=,1,CD,OA,.,OC=,2,CD=,2,CM=,2,=,2,=,2,.,图,(2),证明,:,如图,AP=OA=,2,AM=OM=,1,CM=,CD=,CMP=,OMC=,90,PM=AP+AM=,3,.,PC=,=,=,2,.,OC=,2,PO=PM+OM=,3,+,1,=,4,PC,2,+OC,2,=,(2,),2,+,2,2,=,16,=PO,2,.,PCO=,90,即,OC,PC.,PC,是,O,的切线,.,图,(3),GE,GF,是定值,.,证明如下,:,如图,连接,GO,并延长,交,O,于点,H,连接,HF.,点,G,为,的中点,GOE=,90,.,GH,是,O,的直径,HFG=,90,.,又,OGE=,FGH,OGE,FGH.,=,.,GE,GF=OG,GH=,24,=,8,.,【,高分点拨,】,本题是圆的综合题,主要利用了翻折变换的性质、垂径定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质,难点在于第,(3),题中作辅助线构造相似三角形,.,图,当堂检测,1,(2020,石家庄二十七中校级模拟,),如图,AB,是半圆,O,的直径,点,P,(,不与点,A,B,重合,),为半圆上一点,.,将图形沿,BP,折叠,分别得到点,A,O,的对称点,A,O.,设,ABP=.,(1),当,=,10,时,ABA=,;,(2),当点,O,落在,上时,求出,的度数,.,解,:(1),由翻折变换的性质,得,ABP=,ABP=,10,ABA=,20,.,故答案为,20,.,(2),如图,连接,OO,.,点,O,落在,上,OO=OB.,PB,垂直且平分,OO,BO=OB.,OBO,为等边三角形,.,ABA=,60,.,=,30,.,旋转问题,二,旋转是几何图形运动中的重要变换,随着课程改革的进一步深入,利用旋转的知识进行有关计算或证明的题目有很多,小到填空、选择题,大到综合、推理题,.,尤其是题目中没有涉及旋转等文字,使不少学生在解答时无从着手,找不到解题的途径,但如果能根据题目特征加以观察,通过旋转,找到解题的突破口,那么问题就简单化了,.,题型讲解,方法点拨,此,类问题主要考查旋转的综合应用,解决这类问题的关键是充分利用图形绕点旋转只改变图形的位置而不改变图形的形状、大小,各对应点到旋转中心的距离等性质,.,利用这些性质可以求出相关线段的长度、图形的面积等,.,利用旋转的不变性还可以列出方程或函数解析式等,帮助解决问题,.,解决此类问题一般需要注意,:,1,.,要理解旋转变换的作用,旋转改变图形的位置但不改变图形的形状、大小,.,2,.,当图形过于分散或集中,无法有效利用时,需要移动图形,而移动图形的手段就是三种变换,.,当图形中存在共顶点的等线段时就可以实施旋转变换,.,3,.,确定旋转中心、旋转方向、旋转角度,.,解题技巧,(2020,保定高阳一模,),如图,点,A,为半圆,O,直径,MN,所在直线上一点,射线,AB,垂直于,MN,垂足为点,A,半圆绕点,M,顺时针转动,转过的角度记作,.,设半圆,O,的半径为,R,AM,的长度为,m,回答下列问题,:,探究,:(1),若,R=,2,m=,1,如图,当旋转,30,时,圆心,O,到射线,AB,的距离是,;,如图,当,=,时,半圆,O,与射线,AB,相切,;,例题,2,图,图,(2),如图,在,(1),的条件下,为了使得半圆,O,转动,30,即能与射线,AB,相切,在保持线段,AM,长度不变的条件下,调整半径,R,的大小,请你求出满足要求的,R,并说明理由,;,发现,:(3),如图,在,0,90,时,为了对任意旋转角都保证半圆,O,与射线,AB,能够相切,小明探究了,cos,与,R,m,两个量的关系,请,你帮助他直接写出这个关系,:cos,=,(,用含有,R,m,的代数式表示,);,拓展,:(4),如图,若,R=m,当半圆弧线与射线,AB,有两个交点时,的取值范围是,并求出在这个变化过程中阴影部分,(,弓形,),面积的最大值,(,用,m,表示,),.,图,图,图,分析,：,(1),过点,O,作,OE,AB,于点,E,过点,M,作,MF,OE,于点,F,在,Rt,MFO,中,用勾股定理求,OF,的长度,从而得到,OE,的长度,;,连接,OF,作,OE,OA,于点,E,在,Rt,OEM,中,利用余弦值即可求得,的度数,;,(2),构造,Rt,OQM,利用余弦值求,OQ,根据,OQ+QP=OP,建立方程求,R,的大小,;,(3),构造,Rt,OQM,利用余弦函数求得,cos,;,(4),当半圆与射线,AB,相切时,开始出现交点,当,N,落在,AB,上时,是半圆与,AB,有两个交点的最后时刻,分析出这两种情况,即可求得,的取值范围,;,当,N,落在,AB,上时,可求出阴影部分的最大面积,.,解,析：,(1),如图,中,过点,O,作,OE,AB,于点,E,过点,M,作,MF,OE,于点,F,则,四边形,AMFE,是矩形,.,EF=AM=,1,.,在,Rt,MFO,中,MOF=,30,OM=R=,2,OF=OM,cos 30,=,.,OE=,+,1,.,点,O,到,AB,的距离为,+,1,.,如图,中,设切点为,F,连接,OF,作,OE,OA,于点,E,则,四边形,OEAF,是矩形,.,AE=OF=R=,2,.,AM=,1, ,EM=AE-AM=,1,.,在,Rt,OEM,中,cos,=,=,=,60,.,故答案为,+,1,60,.,图,图,(2),如图,设切点为,P,连接,OP,过点,M,作,MQ,OP,于点,Q,则,四边形,APQM,是,矩形,QP=AM=,1,.,OP=R,在,Rt,OQM,中,QOM=,30,OQ=OM,cos30,=,R,.,OP=OQ+QP,R=,R+,1,.,R=,4,+,2,.,图,(3),如图,设切点为,P,连接,OP,过点,M,作,MQ,OP,于点,Q,则四边形,APQM,是矩形,.,在,Rt,OQM,中,OQ=R,cos,.QP=AM=m.,OP=R, ,R,cos,+m=R,.,cos,=,.,故答案为,.,图,(4),当半圆与射线,AB,相切时,开始出现交点,此时,=,90,;,当,N,落在,AB,上时,为半圆弧线与射线,AB,有两个交点的最后时刻,此时,MN=,2,AM,AMN=,60,.,=,120,.,当半圆弧线与射线,AB,有两个交点时,的取值范围是,90,120,.,故,答案为,90,120,.,当,N,落在,AB,上时,阴影部分的面积最大,最大,值为,-,m,m =,-,m,2,.,【,高分点拨,】,本题是圆的综合题,主要考查了旋转变换、切线的判定和性质、解直角三角形等知识,解题的关键是理解旋转变换的作用,旋转可以改变图形的位置而不改变图形的形状、大小,.,学会添加常用辅助线,构造直角三角形或特殊四边形解决问题,.,当堂检测,2,(2020,石家庄模拟,),如图,是用量角器测量一个角的操作示意图,量角器的读数从点,M,开始,(,即点,M,的读数为,0),.,如图,把这个量角器与一块,30(,CAB=,30),角的三角板拼在一起,三角板的斜边,AB,与量角器所在圆的直径,MN,重合,.,现在射线,CP,绕点,C,从,CA,开始沿顺时针方向以每秒,2,的速度旋转到,CB,在旋转过程中,射线,CP,与量角器的半圆弧交于点,E.,连接,BE.,当堂检测,2,(1),当射线,CP,经过,AB,的中点时,点,E,处的读数是,此时,BCE,的形状是,.,(2),设旋转,x,秒后,点,E,处的读数为,y,求,y,与,x,的函数关系式,.,(3),当,CP,旋转多少秒时,BCE,是等腰三角形,?,图,图,解,:(1),如图,设,AB,的中点为,O,ACB=,90,OA=OB,OA=OB=OC,.,OCA=,OAC=,30,.,AOE=,60,.,点,E,处的读数是,60,.,OE=OB,E=,BAC=,30,OBE=,E=,30,.,EBC=,OBE+,ABC=,90,.,BCE,是直角三角形,.,故,答案为,60,直角三角形,.,图,(2),如图,中,设,MN,的中点为,O,AB,与,MN,重合,点,C,在以点,O,为圆心,MN,为直径的圆上,.,由,题意,得,ACE=,(2,x,),AOE=y,.,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得,AOE=,2,ACE, ,y=,(4,x,)(0,x,45),.,图,(3),易知,BC,不可能等于,CE.,如图,当,BE=CE,时,ECB=,EBC,.,ACE=,(2,x,),ACB=,90,ABE=,(2,x,),EBC=,60,+,(2,x,),ECB=,90,-,(2,x,),.,60,+,(2,x,),=,90,-,(2,x,),x=,7,.,5,.,如图,当,BE=BC,时,BEC=,BCE,ACE=,(2,x,),ABE=,(2,x,),BCE=,90,-,(2,x,),.,CBE=,60,+,(2,x,),.,在,BCE,中,CBE+,BCE+,BEC=,180,60,+,(2,x,),+,90,-,(2,x,),+,90,-,(2,x,),=,180,.,x=,30,.,综上所述,当,CP,旋转,7,.,5,秒或,30,秒时,BCE,是等腰三角形,.,图,图,动态问题,三,以圆为背景的动态问题能有效地考查学生的基本知识、基本技能、基本数学思想以及基本活动经验,常常被列为中考的压轴问题,.,这类问题属于运动型问题,常在圆上设计一个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考查,.,问题常常集几何、代数知识于一体,有较强的综合性,.,题型讲解,方法点拨,解答此类问题需要注意,:,1,.,把握点运动的全过程,要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形,抓住其中的等量关系和变量关系,建立方程或函数,.,2,.,特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系,化动为静,由特殊情形,(,特殊点、特殊位置、特殊图形等,),过渡到一般情形,.,解决动态问题一般遵循这样的方法,:,1,.,找临界点,分类讨论,要抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间,将这些点锁定在某一位置上,问题的实质就容易显现出来,从而得到解题的方法,.,2,.,当一个问题是有关确定图形的变量之间的关系时,通常建立函数模型求解,;,当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊值时,通常建立方程模型求解,.,一般会涉及全等和相似,.,解题技巧,(2019,唐山路北模拟,),如图,在正方形,ABCD,中,AB=,12,以,AB,为直径作半圆,O,点,P,从点,A,出发,沿,AD,方向以每秒,1,个单位的速度向点,D,运动,点,Q,从点,C,出发,沿,CB,方向以每秒,3,个单位的速度向点,B,运动,两点同时开始运动,当一点到达终点后,另一点也随之停止运动,.,设运动时间为,t,(s,),.,例题,3,(1),设点,M,为半圆,O,上任意一点,则,DM,的最大值为,最小值为,.,(2),设,PQ,交半圆,O,于点,F,和点,G,(,点,F,在点,G,的上方,),当,PQ,AB,时,求,的长度,.,(3),在运动过程中,PQ,和半圆,O,能否相切,?,若,相切,请求出此时,t,的值,若不能相切,请说明理由,.,(4),点,N,是半圆,O,上一点,且,S,扇形,BON,=,6,当,运动,t,(s),时,PQ,与半圆,O,的交点恰好为点,N,求此时,t,的值,.,分析,：,(1),构造直角三角形,利用勾股定理求解,.,(2),构造,Rt,OFE,利用正弦函数求出,OFE,的度数,进而可求得,FOG,的度数,从而求得,的长度,.,(3),假设,PQ,与半圆,O,相切,利用切线长定理,用,t,表示出,PQ,与,QH,的长度,利用勾股定理,在,Rt,PHQ,中,PH,2,+QH,2,=PQ,2,得到,t,2,-,4,t+,12,=,0,利用,=b,2,-,4,ac,判断方程无解,即可说明,PQ,与半圆,O,不能相切,.,(4),过点,N,作,IJ,BC,交,BC,于点,J,交,AD,于点,I,过点,N,作,NT,AB,于点,T.,一点到达终点后,另一点也随之停止运动,求出,t,的取值范围,由,S,扇形,BON,=,6,求出,BON,的度数,从而求出相关线段的长度,再根据,AD,BC,得到,=,这一等量关系,求得,t,的值,判断,t,是否在,t,的取值范围内,即可求解,.,解析：,(1),如图,连接,OD,交半圆,O,于点,M,此时,DM,最小,在,Rt,ADO,中,AD=AB=,12,OA=,AB=,6,OD=,=,6,.,DM=OD-OM=OD-OA=,6,-,6,.,当点,M,和点,B,重合时,连接,BD,此时,DM,最大,DM=BD=,AD=,12,.,故答案为,12,6,-,6,.,图,(2),四边形,ABCD,是正方形,AD,BC,BAD=,ABC=,90,.,当,PQ,AB,时,四边形,ABQP,是矩形,.,AP=BQ.,CQ=,3,t, ,BQ=,12,-,3,t,.,又,AP=t, ,t=,12,-,3,t,解得,t=,3,.,AP=,3,.,如图,设,PQ,交半圆于点,F,G,过点,O,作,OE,PQ,于点,E,连接,OF,OG,OF=OG=OA=,6,则,OE=AP=,3,.,sin,OFE=,=,OFE=,30,.,OGF=,OFE=,30,FOG=,120,.,OF=OG=,6, ,的长度,=,=,4,.,图,(3),不能相切,.,理由如下,:,若,PQ,与半圆,O,相切,设切点为点,S,如图,由切线长定理,得,AP=PS,BQ=QS,PQ=AP+BQ=t+,12,-,3,t=,12,-,2,t.,过点,P,作,PH,BC,于点,H,则四边形,APHB,是矩形,AP=BH.,QH=BQ-BH=,12,-,3,t-t=,12,-,4,t.,在,Rt,PHQ,中,PH,2,+QH,2,=PQ,2,12,2,+,(12,-,4,t,),2,=,(12,-,2,t,),2,即,t,2,-,4,t+,12,=,0,.,b,2,-,4,ac=,16,-,4,12,=-,32,4,不符合题意,.,AP,始终小于,AI,.,AI=BJ=NT=,3,NI=AT=AO+OT=,9,NJ=BT=OB-OT=,3,.,CQ=,3,t,AP=t, ,PI=AI-AP=,3,-t,QJ=BC-CQ-BJ=,12,-,3,t-,3,.,AD,BC, ,NIP,NJQ, ,=,.,=,解得,t=,.,0,4,当运动,s,时,PQ,与半圆,O,的交点恰好为点,N.,(2020,石家庄新华区一模,),如图,水平放置一个三角板和一个量角器,三角板的边,AB,和量角器的直径,DE,在一条直线上,ACB=,90,BAC=,30,OD=,3 cm,开始的时候,BD=,1 cm,现在三角板以,2 cm/s,的速度向右移动,.,(1),当点,B,与点,O,重合的时候,求三角板运动的时间,;,(2),三角板继续向右运动,当点,B,和点,E,重合时,AC,与半圆相切于点,F,连接,EF,如图,所示,.,求证,:,EF,平分,AEC,;,求,EF,的长,.,当堂检测,3,图,图,【,高分点拨,】,本题是圆的综合题,要抓住图形在动态变化中,暂时,静止,的某一瞬间,将这些点锁定在某一位置上,从而得到解题的方法,.,解,:(1),当点,B,与点,O,重合的时候,BO=OD+BD=,4(cm),t=,=,2(s,),.,三角板运动的时间为,2 s,.,(2),证明,:,如图,连接,O,与切点,F,则,OF,AC,ACE=,90,CE,AC,.,OF,CE,OFE=,CEF,.,OF=OE,OFE=,OEF.,OEF=,CEF,即,EF,平分,AEC.,由,知,OF,AC,AFO,是直角三角形,.,BAC=,30,OF=OD=,3 cm,由,tan 30,=,=,得,AF=,3,cm,.,由,知,EF,平分,AEC,AEF=,CEF=,AEC=,30,.,AEF=,EAF,.,AFE,是等腰三角形,且,AF=EF,.,EF=,3,cm,.,专题六 高效测评,1,.,(2020,宁波一模,),如图,O,与直线,l,1,相离,圆心,O,到直线,l,1,的距离,OB=,2,OA=,4,将直线,l,1,绕点,A,逆时针旋转,30,后得到的直线,l,2,刚好与,O,相切于点,C,则,OC=,(,),A.1,B.2,C.3,D.4,答案,:B,解析,:,在,Rt,ABO,中,sin,OAB=,=,=,OAB=,60,.,直线,l,1,绕点,A,逆时针旋转,30,后得到的直线,l,2,刚好与,O,相切于点,C,CAB=,30,OC,AC.,OAC=,60,-,30,=,30,.,在,Rt,OAC,中,OC=,OA=,2,.,故,选,B,.,2,.,(2020,石家庄模拟,),将一个量角器和一个含,30,角的直角三角板如图,放置,图,是由它抽象出的几何图形,其中点,B,在半圆,O,的直径,DE,的延长线上,AB,切半圆,O,于点,F,且,BC=OD.,(1),求证,:,DB,CF,;,(2),当,OD=,2,时,若以点,O,B,F,为顶点的三角形与,ABC,相似,求弧,的长度,.,图,图,解,:(1),证明,:,AB,是半圆的切线,OF,AB,.,ABC=,90,即,BC,AB,OF,BC,.,BC=OD,OF=OD,OF=BC.,四边形,OFCB,是平行四边形,.,OB,CF,即,DB,CF.,(2),ABC,和,OFB,相似,分为两种情况,:,当,FOB=,A=,30,时,FOB,BAC,此时弧,的长度是,=,;,当,FOB=,ACB=,60,时,FOB,BCA,此时弧,的长度是,=,.,因此弧,的长度是,或,.,3,.,(,2020,石家庄藁城区一模,),如,图,点,O,和矩形,CDEF,的边,CD,都在直线,l,上,以点,O,为圆心,以,24,为半径作半圆,分别交直线,l,于,A,B,两点,.,已知,CD=,18,CF=,24,矩形自右向左在直线,l,上平移,当点,D,到达点,A,时,矩形停止运动,.,在平移过程中,设矩形对角线,DF,与半圆,的交点为,P,(,点,P,为半圆上远离点,B,的交点,),.,图,图,图,(1),如图,若,FD,与半圆,相切,求,OD,的值,;,(2),如图,当,DF,与半圆,有两个交点时,求线段,PD,的取值范围,;,(3),若线段,PD,的长为,20,直接写出此时,OD,的值,.,(1),如图,连接,OP,DF,与半圆相切,OP,FD,.,OPD=,90,.,在矩形,CDEF,中,FCD=,90,CD=,18,CF=,24,FD=,=,30,.,OPD=,FCD=,90,ODP=,FDC,PO=CF=,24,OPD,FCD,(AAS,),.,OD=FD=,30,.,图,(2),如图,当点,B,D,重合时,过点,O,作,OH,DF,于点,H,则,DP=,2,HD,cos,ODP=,=,而,CD=,18,OD=,24,由,(1),知,FD=,30,=,HD=,.,DP=,2,HD=,.,当,DF,与半圆相切时,由,(1),知,PD=CD=,18,.,18,O,OD=,12,+,8,.,图,4,.,(2020,廊坊大城县一模,),如图,正方形,ABCD,的边长为,8,M,是,AB,的中点,P,是边,BC,上的动点,连接,PM,以点,P,为圆心,PM,长为半径作,P.,(1),当,BP=,时,MBP,DCP,;,(2),当,P,与正方形,ABCD,的边相切时,求,BP,的长,;,(3),设,P,的半径为,x,请直接写出正方形,ABCD,中恰好有两个顶点在圆内的,x,的取值范围,.,(2),如图,当,P,与边,CD,相切时,设,PC=PM=x,在,Rt,PBM,中,PM,2,=BM,2,+PB,2,x,2,=,4,2,+,(8,-x,),2,.,x=,5,.,PC=PM=,5,.,BP=BC-PC=,8,-,5,=,3,.,如图,当,P,与边,AD,相切时,设切点为,K,连接,PK,则,PK,AD,四边形,PKDC,是矩形,.,PM=PK=CD=,2,BM,.,BM=,4,PM=,8,.,在,Rt,PBM,中,PB=,=,4,.,综上所述,BP,的长为,3,或,4,.,图,图,解,:(1),设,BP=a,则,PC=,8,-a,AB=,8,M,是,AB,中点,AM=BM=,4,.,MBP,DCP,=,即,=,.,解,得,a=,.,故,答案为,.,(3),由,(2),知,当,PM=,5,时,P,经过点,M,、点,C,此时点,B,在圆内,;,如图,当,P,经过点,M,、点,D,时,PM=PD,即,PC,2,+DC,2,=BM,2,+PB,2,.,(8,-PB,),2,+,8,2,=,4,2,+PB,2,.,PB=,7,.,PM=,=,.,综上,5,x,.,图,5,.,(2019,新华区一模,),如图,在,Rt,OAB,中,AOB=,90,OA=OB=,4,以点,O,为圆心,、,2,为半径画圆,点,C,是,O,上任意一点,连接,BC,OC.,将,OC,绕点,O,按顺时针方向旋转,90,交,O,于点,D,连接,AD.,(1),当,AD,与,O,相切时,求证,:,BC,是,O,的切线,;,求点,C,到,OB,的距离,.,(2),连接,BD,CD,当,BCD,的面积最大时,点,B,到,CD,的距离为,.,解,:(1),证明,:,AD,与,O,相切,ADO=,90,.,AOB=,COD=,90,AOB-,AOC=,COD-,AOC,即,COB=,AOD.,OB=OA,OC=OD,BOC,AOD,(SAS),.,BCO=,ADO=,90,.,BC,是,O,的切线,.,如图,1,过点,C,作,CE,OB,垂足为,E,则,CE,即为点,C,到,OB,的距离,.,在,Rt,BOC,中,OB=,4,OC=,2,BC=,=,=,2,OB,CE=BC,OC,即,4,CE=,22,CE=,.,点,C,到,OB,的距离是,.,(2),当点,C,在,O,上运动到,BCD,是等腰三角形,且,BO,的延长线与,CD,垂直位置时,(,如图,2,),BCD,的面积最大,此时,OB=,4,OC=OD=,2,COD,是等腰直角三角形,OF=OC,sin 45,=,2,=,BF=,4,+,.,故答案为,4,+,.,6,.,(2021,深圳模拟,),如图,在,O,中,BC=,2,AB=AC,点,D,为,上的动点,且,cos,B=,.,(1),求,AB,的长度,;,(2),求,AD,AE,的值,;,(3),过点,A,作,AH,BD,于,H,求证,:,BH=CD+DH.,解,:(1),如图,作,AM,BC,于点,M.,图,AB=AC,AM,BC,BC=,2,BM=CM=,BC=,1,.,cos,B=,=,在,Rt,AMB,中,BM=,1,AB=,=,.,(2),如图,连接,DC,AB=AC,ACB=,ABC.,四边形,ABCD,内接于,O,ADC+,ABC=,180,.,ACE+,ACB=,180,.,ADC=,ACE.,CAE,为公共角,.,EAC,CAD.,=,.,AD,AE=AC,2,=,(,),2,=,10,.,图,(3),证明,:,如图,在,BD,上取一点,N,使得,BN=CD,在,ABN,和,ACD,中,ABN,ACD,(SAS,),AN=AD.,AH,BD,AN=AD,NH=DH.,又,BN=CD,NH=DH,BH=BN+NH=CD+DH.,7,.,(2020,石家庄模拟,),如图,已知半圆,O,的直径,DE=,12 cm,在,ABC,中,ACB=,90,ABC=,30,BC=,12 cm,半圆,O,以,2 cm/s,的速度从左向右运动,在运动过程中,点,D,E,始终在直线,BC,上,.,设运动时间为,t,(s),当,t=,0 s,时,半圆,O,在,ABC,的左侧,OC=,8 cm,.,(1),当,t,为何值时,ABC,的一边所在直线与半圆,O,所在的圆相切,?,(2),当,ABC,的一边所在直线与半圆,O,所在的圆相切时,如果半圆,O,与直线,DE,围成的区域与,ABC,三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积,.,解,:(1),如图,当点,E,与点,C,重合时,AC,OE,OC=OE=,6 cm,AC,与半圆,O,所在的圆相切,此时点,O,运动了,2 cm,运动时间为,t=,=,1(s,),.,如图,当点,O,运动到点,C,时,过点,O,作,OF,AB,垂足为点,F,.,在,Rt,FOB,中,FBO=,30,OB=,12 cm,则,OF=,6 cm,即,OF,等于半圆,O,的半径,.,AB,与半圆,O,所在的圆相切,.,此时点,O,运动了,8 cm,运动时间为,t=,=,4(s,),.,图,图,如图,当点,O,运动到,BC,的中点时,AC,OD,OC=OD=,6 cm,AC,与半圆,O,所在的圆相切,.,此时点,O,运动了,14 cm,运动时间为,t=,=,7(s,),.,如图,当点,O,运动到,B,点的右侧,且,OB=,12 cm,时,过点,O,作,OQ,AB,垂足为点,Q.,在,Rt,QOB,中,OBQ=,30,则,OQ=,6 cm,即,OQ,等于半圆,O,所在的圆的半径,直线,AB,与半圆,O,所在的圆相切,.,此时点,O,运动了,32 cm,运动时间为,t=,=,16(s,),.,综上所述,当,t=,1 s,4 s,7 s,16 s,时,ABC,的一边所在直线与半圆,O,所在的圆相切,.,图,图,(2),当,ABC,的一边所在的直线与半圆,O,所在的圆相切时,半圆,O,与直径,DE,围成的区域与,ABC,三边围成的区域有重叠部分的只有如图,与,所示的两种情形,.,如图,易知重叠部分是圆心角为,90,半径为,6 cm,的扇形,重叠部分面积为,S,扇形,EOM,=,6,2,=,9(cm,2,),.,如图,设,AB,与半圆,O,的交点为,P,连接,OP,过点,O,作,OH,AB,垂足为,H.,则,PH=BH.,在,Rt,OBH,中,OBH=,30,OB=,6 cm,.,则,OH=,3 cm,BH=,3,cm,BP=,6,cm,S,POB,=,6,3,=,9,(cm,2,),.,又,DOP=,2,DBP=,60,S,扇形,DOP,=,=,6(cm,2,),.,所以重叠部分面积为,S,POB,+S,扇形,DOP,=,(9,+,6)cm,2,.,8,.,(2020,临沂兰山区一模,),在矩形,ABCD,中,点,P,在,AD,上,AB=,2,AP=,1,将三角板的直角顶点放在点,P,处,三角板的两直角边分别能与边,AB,BC,相交于点,E,F,连接,EF.,(1),如图,当点,E,与点,B,重合时,点,F,恰好与点,C,重合,求此时,PC,的长,;,(2),将三角板从,(1),中的位置开始,绕点,P,顺时针旋转,当点,E,与点,A,重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答,:,解,:(1),在矩形,ABCD,中,A=,D=,90,AP=,1,CD=AB=,2,PB=,.,A=,90,ABP+,APB=,90,.,BPC=,90,APB+,DPC=,90,.,ABP=,DPC,.,ABP,DPC.,=,即,=,.,PC=,2,.,PEF,的大小是否发生变化,?,请说明理由,;,在旋转中,当点,F,与边,BC,中点重合时,求四边形,AEFP,的面积,;,直接写出从开始到停止,线段,EF,的中点所经过的路线长,.,(2),PEF,的大小不变,.,理由,:,如图,过点,F,作,FG,AD,于点,G,四边形,ABFG,是矩形,.,GF=AB=,2,.,AEP+,APE=,90,GPF+,APE=,90,AEP=,GPF.,又,A=,PGF=,90,APE,GFP.,=,=,.,在,Rt,EPF,中,tan,PEF=,=,2,即,tan,PEF,的值不变,.,PEF,的大小不变,.,图,设,AE=x,则,BE=,2,-x,在,Rt,APE,中,PE=,.,根据第,问的结论,PF=,2,PE=,2,EF=,.,又,PD=,=,=,4,BC=AD=AP+PD=,5,.,BF=,BC=,EF,2,-BE,2,=BF,2,即,(,),2,-,(2,-x,),2,=,.,整理得,16,x,2,+,16,x-,21,=,0,解得,x,1,=,x,2,= -,(,舍去,),.,则,AE=,.,四边形,AEFP,的面积,=,梯形,ABFP,的面积,-,EBF,的面积,=,2,-,=,.,取,EF,的中点,Q,连接,BQ,PQ,PB,如图,EBF=,EPF=,90,点,Q,为,EF,的中点,在,Rt,EPF,中,QP=,EF,在,Rt,EBF,中,QB=,EF.,QP=QB=,EF,.,点,Q,在线段,PB,的垂直平分线上,.,如图,当,点,E,在点,B,处时,点,Q,在,BC,中点,Q,1,处,;,当点,E,在点,A,处时,点,Q,在,PB,的中点,Q,2,处,.,根据三角形中位线定理得,Q,1,Q,2,=,PC=,.,所以从开始到停止,线段,EF,的中点,Q,所经过的路线长,Q,1,Q,2,为,.,图,图,9,.,(2020,邯郸模拟,),如图,AB,是,O,的直径,AB=,10,C,是,O,上的一点,将劣弧,沿弦,BC,翻折,交,AB,于点,D.,(1),若点,D,与圆心,O,重合,直接写出,CBA,的度数,.,(2),如图,设,CD,交,O,于点,E,若,CE,平分,ACB.,求证,:,BDE,是等腰三角形,;,求,BDE,的面积,.,(3),将图,中的,沿直径,AB,翻折,得到图,若点,F,恰好是翻折后的,的中点,直接写出,CBA,的度数,.,图,图,图,解,:(1),如图,连接,OC,将,O,沿,BC,翻折得到,O,则,O,与,O,为等圆,.,在,O,中,所对的圆周角为,CBA,在,O,中,所对的圆周角也为,CBA,又,O,与,O,为等圆,=,.,又,CD=BD,=,.,又,=,=,.,ADC=,180,=,60,.,CBA=,30,.,图,(2),将,O,沿,BC,翻折得到,O,则,O,与,O,为等圆,在,O,上取点,E,连接,CE,BE,如图,由,翻折的性质可知,=,CEB=,E,.,四边形,CDBE,是圆内接,四边形,CDB+,E=,180,即,CDB+,CEB=,180,.,又,CDB+,BDE=,180,CEB=,BDE.,BE=BD,.,BDE,为等腰三角形,.,如图,连接,OE,.,AB,是,O,的直径,ACB=,90,.,CE,是,ACB,的平分线,BCE=,45,.,BOE=,90,.,在,Rt,OBE,中,BE,=,=,5,.,BD=,5,.,BDE,的面积,=,BD,OE=,5,5,=,.,图,(3),CBA=,22,.,5,.,解析,:,如图,将,O,沿,BC,翻折得到,O,将,O,沿,BD,翻折得到,O,则,O,O,O,为等圆,.,O,与,O,为等圆,劣弧,与劣弧,所对的圆周角均为,CBA,=,.,同理,=,.,又,点,F,是劣弧,的中点,=,.,=,=,=,.,+,+,+,=,的度数,=,1804,=,45,.,CBA=,45,=,22,.,5,.,图,
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