拉格朗日插值法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,计算方法,第二章 插值法,1,第二章 插值法和最小二乘法,2.1 引言,2.2 拉格朗日插值多项式,2.3 差商与牛顿插值公式,2.4 差分与等距节点插值公式,2.5 分段低次插值,2.6 三次样条,插值,2,本章要点,用简单的函数(如多项式函数)作为一个,复杂函数的近似,最简单实用的方法就是,插值,本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插,值方法:,Lagrange,插值,、,分段线性插值、,Newton,插值、,Hermite,插值和三次样条插值,3,自然地，希望,g(x),通过所有的离散点,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,p,(,x,),f,(,x,),实际中，,f(x),多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；,或者,f(x,),过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数,g(x),来逼近,f(x),。,4,2.1 引言,一、插值问题,5,-(1),这就是插值问题, (1)式为插值条件,6,其插值函数的图象如图,问题,是否存在唯一,如何构造,误差估计,7,8,二、代数插值多项式的存在唯一性,整体误差的大小反映了插值函数的好坏,为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函,数都使用代数多项式和有理函数,本章讨论的就是代数插值多项式,且满足,-(2),-(3),9,-(4),上述方程组的系数行列式为,n+1,阶,Vandermond,行列式,10,定理1.,由,Cramer,法则,线性方程组(4)有唯一解,-(2),-(3),则满足插值条件,的插值多项式,存在且唯一.,虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一,但通过解,线性方程组(4),求插值多项式却不是好方法,11,根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的,且在不同的基底下有不同的形式,2.2 拉格朗日插值多项式,12,所有次数不超过的多项式的两个不同基底：,1，,2,200，,2,即所有次数不超过的多项式可表示成：,或：,13,-(5),-(6),且满足(1)式,14,-(7),n+1,次多项式,15,-(7),且,-(8),(请同学们思考),从而,16,令,即,由(8)式,可得,-(9),-(10),17,其中,-(7,7),-(11),18,例,解:,19,且,在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值,多项式,即,1,次,Lagrange,插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为,Lagrange,线性,插值,也可以在,n+1,个,节点中取相邻的两个节点作线性插值,20,Lagrange,线性插值基函数为,Lagrange,线性插值多项式为,参见图,21,例,解:,Lagrange,插值基函数为,Lagrange,线性插值多项式为,22,所以,Lagrange,插值多项式的缺点：,插值基函数计算复杂,高次插值的精度不一定高,23,插值多项式中的误差,一、插值余项,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估,计这个截断误差呢？,24,令,设,其中,25,26,根据,Rolle,定理,再由,Rolle,定理,依此类推,由于,因此,27,所以,定理1.,Lagrange,型余项,28,设,则,29,例,解:,30,31,例,并作图比较.,解:,32,不同次数的,Lagrange,插值多项式的比较图,Runge,现象,33,结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果,越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现,象在上个世纪初由,Runge,发现,故称为,Runge,现象.,34,