运动定理(II)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 运动定理,(II),2.5,质点系的动量定律 动量守恒定律,2.6,质心 质心运动定理,2.7,质点系的,功能,2.8,质点系角动量定律 角动量守恒定律,1,2.5,质点系的动量定律 动量守恒定律,设 有,N,个质点构成一个系统，,末速度 。,第,i,个质点：,外力 ，,内力 ，,初速度 ，,质量,由质点动量定理：,其中：,m,2,m,1,i,2,质点系的动量定理：,微分式：,质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。,内力对系统总动量无影响，但对每个质点的动量仍有影响,3,动量守恒定律,系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。,当,时， 常矢量。,(,2,),当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）,(,1,),动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化,通过内力进行传递和交换。,说明,4,(3),分量式,(4),定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。,5,已知高,H,，傾角为,的斜面光滑。小车,质量,M,，从顶端滑至中点时刚好有一钢球,m,从,h,高度掉入。求小车到达底部时的速度,V,?,解：,对,m,、,M,系统，,N,为,外力，,但,斜面方向动量守恒,!,m,、,M,系统，,冲击过程,H,h,m,M,(M+m)g,N,6,m,、,M,、,地球系统，机械能守恒,：,解得：,7,炮车的质量为,M,，炮弹的质量为,m,。若炮车与地面有摩擦，摩擦系数为,m,炮弹相对炮身的速度为,u,， 求炮身相对地面的反冲速度,v,。,解：,选取炮车和炮弹组成系统,运用质点系的动量定理：,x,方向：,内、外力分析。,水平的动量守恒吗,？,y,方向：,x,y,8,9,讨论：,1.,若炮车与地面没有摩擦,2.,若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹,3.,自锁现象，即,v,=0,时,10,1,、火箭推力,喷气,的动量变化：,喷气受力：,变质量力学规律 火箭飞行原理,设,t,时刻，火箭质量为,m,1,，速度为,v,(,向上,),，在,d,t,内，喷出气体,d,m,2,，喷气相对火箭的速度,(,称,喷气速度,),为,u,(,向下,),。,由动量定理：,箭体受到喷气的推力：,t+,d,t,v+,d,v,u,z,o,t,v,11,2,、箭体运动方程,对箭体和喷气组成的系统,(,设受外力,F,),：,t+,d,t,v+,d,v,u,z,o,t,v,12,箭体运动方程,可适用于所有有质量流动物体的动力学问题。,时，加速上升。,13,3,、火箭的速度公式,只计重力：,设,t=,0,时，,v=v,0,，,m,1,=m,10,，任一时刻,t,时为,v,和,m,1,。,14,目前技术只有：,u =,2500,m/s,，,m,10,/m,1 min,=,10,。,提高火箭速度的途径：,当,v,0,=,0,，,u =,2000,m/s,时，要达到第一宇宙速度,v=v,1,=,7.9,km/s,，须有：,讨论,不计重力：,15,如果,N,1,=N,2,=N,3,=,5,，,u =,2000 m/s,，则有：,v =,9.6,km/s,，考虑重力和阻力后仍可达到第一宇宙速度。,最终速度：,采用,多级火箭,技术：,16,2.6,质心 质心运动定理,一、质心,质心,是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。,17,质心的位矢：,分量式：,质量连续分布的物体：,x,y,z,O,c,18,分量式：,质量线分布：,质量面分布：,质量体分布：,19,求半圆,环,的质心。,质心不一定位于物体内部。,解：,R,x,y,O,d,l,c,20,例,无穷多个 匀质圆环半径依次为,R,、,R,/2,、,R,/2,2,、,，相切于一公共点。求系统质心距半径为,R,的最大圆的圆心的距离。,O,1,O,2,解：设圆心分别为,O,1,、,O,2,、,系统一：原系统,系统二：去除最大一个圆后余下的部分,二者关系：,2:1,设二系统质量分别为,2,m,、,m,若系统一质心到,O,1,距离为,r,，则系统二质心到,O,2,距离必为,r,/2,原系统可看作半径为,R,的圆与系统二的组合,21,O,1,O,2,原系统可看作半径为,R,的圆与系统二的组合,C,1,C,2,C,由质心组合律，,C,1,C,=,CC,2,=,r,且,C,2,O,2,=,r,/2,，,O,1,O,2,=,R,/2,由图可知,R,/2 =,C,1,C,+,CC,2,C,2,O,2,= 2,r,r,/2,解得：,r,=,R,/3,22,二、质心运动定理,为质点系的动量,零动量系,质心坐标系：,由质心位矢公式：,23,由质点系动量定理：,质心运动定理：,质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。,微分形式：,24,1.,适用于惯性系。,质心系是惯性系，,质心系是非惯性系。,2.,3.,动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。,4.,质点系相对惯性系的运动可分解成：,随质心的运动,+,相对质心的运动。,资用能,说明,质点系在实验室系的总动能：,25,三棱体,C,、滑块,A,、,B,，各面均光滑。,已知,m,C,=4,m,A,=16,m,B,=30,0,，,=60,0,。求,A,下降,h,=10cm,时三棱体,C,在水平方向的位移。,解：,水平方向无外力,质心水平位置不变。,A,B,C,h,设三棱体 位移为 ：,26,质量为,M,的人，手里拿着质量为,m,的物体，此人用与地平线成,的速度,v,0,向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度,u,向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？,人不向后抛出物体，所跳过的距离：,解法一,取地面坐标系，用动量守恒定律求解。,人在最高点向后抛出物体的过程中，应用动量守恒定律：,m,M,R,R,+,R,x,y,O,27,抛出物体后人的速度：,比不抛出物体时速度增加了：,抛出物体后多跳过的距离：,28,解法二,质心坐标系中应用动量守恒定律。,在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体时多跳过的距离,:,m,M,R,R,+,R,x,y,O,29,解法三,应用质心运动定律求解。,人以相对于自己速度,u,抛出物体,m,，下落后，人,M,与物体,m,之间的距离：,联立方程后，可得落地时人离质心距离为：,m,M,R,R,+,R,x,y,O,30,x,v,匀速提绳上升，绳（,m,、,l,）均匀，求提起,x,时手对绳端的力。,解一：动量定理,对象：整根绳,mg,N,F,已提起部分的重量,提起一小段,D,x,所需的附加力,31,解二：质心运动定理,当提起,x,时，系统质心位置为,32,x,v,解三：,外力为重力、拉力、支持力,mg,N,F,33,2.7,质点系的功能关系,质点动能定理,其中,对系统内所有质点求和,讨论,(1),总动能,(2),外力对系统所作的功是指每一个外力所作功之和，而非合外力所作的功。,特例,34,特例,若外力为重力,质心系中的质心速度,35,相对元位移,O,i,j,(3),一对内力的功：,相对位矢,36,1.,系统内一对内力的功一般不为零,2.,一对内力做功之和与所选的参照系无关,与参照系无关。,一对摩擦力做功,:,A,f,= -,f l,(,地面系，木块系，子弹系,),说明,i,j,s,l,子弹,木块,37,质心系中的动能定理,（,1,）科尼希定理,= 0,（,2,）质心系中的动能定理,38,= 0,= 0,和惯性系中动能定理的形式完全相同,39,质量为,M,的静止粒子,A,与质量为,m,，具有速度的粒子,B,碰撞，实验发现，当,B,的动能小于某个数值时，,A,、,B,为弹性碰撞，只有当,B,的动能大于此值时，,A,、,B,发生非弹性碰撞，此时,B,将吸收数值为,D,E,的固定能量。计算,B,所应具有的这一动能值。,解：系统合外力为零，,质心速度不变,系统能量守恒,v,、,V,为相对质心的速度，为使,v,0,最小，要求碰撞后相对质心速度为零，即完全非弹性碰撞,两体吸能反应的阈能,40,功能原理 能量守恒定律,保守内力的总功,非保守内力的总功,内力的总功,质点系的功能原理：,质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。,41,1.,明确系统及初、末状态。,2.,适用于惯性系。,3.,机械能守恒定律,与参照系无关,而,与参照系有关。,在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。,系统中的动能和势能可以转换,各质点间的机械能也可以互换,但保持系统的总机械能不变。,说明,若,42,4.,对孤立系统,若,能量转换和守恒定律,其他形式的能量转化为机械能。,机械能转化为其他形式的能量。,则：,43,证明流体内流速大的地方压力反而小,(,伯努利方程,),。,证：,由功能原理：,（忽略高度的变化）,单位时间流过的水量相等,v,2,v,1,s,2,s,1,s,2,s,1,p,1,p,2,44,伯努利方程,s,2,s,1,p,1,p,2,45,已知铁链质量,m,，长,l,，与桌面摩擦系数为,。,问：,(1),a,为多少 时铁链开始下滑,? (2),金属链全部离开桌面时,v,为多少,?,解：,(1),(2),摩擦力做负功，以,a,处为坐标原点,下垂部分重力 等于摩擦力时,O,x,d,x,a,46,利用功能原理，以桌面为零势能点：,O,x,d,x,a,47,计算第一、第二宇宙速度。,一、第一宇宙速度,已知：地球半径为,R,，质量为,M,，卫星质量为,m,。要使卫星在距地面,h,高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为,v,1,，绕地球的运动速度为,v,。,机械能守恒：,万有引力提供向心力：,R,M,m,48,得：,第一宇宙速度,49,二、第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。,(1),脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。,(2),脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,由机械能守恒：,得：,50,碰撞过程,1.,压缩阶段,2.,恢复阶段,碰撞问题,微观粒子：碰撞,散射,弹性碰撞：,碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。,非弹性碰撞：,碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。,完全非弹性碰撞：,碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。,51,(1),弹性碰撞,v,2,v,1,v,20,v,10,动量守恒：,动能守恒：,52,1.,当,m,1,=,m,2,时， 则,:,讨论,在一维弹性碰撞中,质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。,2.,若,v,20,=0,，且,m,2,m,1,，则,:,质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。,3.,若,v,20,=0,， 且,m,2,m,1,， 则,:,质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。,53,(2),完全非弹性碰撞,动量守恒：,机械能损失：,v,v,20,v,10,54,动量守恒：,(3),非弹性碰撞：,碰撞定律：,碰撞后两球的分离速度,(,v,2,-v,1,),与碰撞前两球的接近速度,(,v,10,-v,20,),成正比。比值由两球的质料决定。,恢复系数,v,2,v,1,v,20,v,10,55,碰后两球的速度：,机械能损失：,完全非弹性碰撞：,e =,0,v,2,=v,1,非弹性碰撞：,0, e ,1,弹性碰撞：,e =,1,（,v,2,-v,1,）,=,（,v,10,-v,20,）,56,关于恢复系数,恢复阶段冲量,压缩阶段冲量,F,F,压缩阶段,恢复阶段,57,m,1,v,10,m,2,v,20,= 0,m,1,v,1,m,2,v,2,？,m,1,m,2,v,10,v,20,= 0,m,1,m,2,v,1,v,2,设,m,1,=,m,2,=,m,，,v,10,=,u,。碰撞时原来被线扎住的弹簧被释放。放出势能,E,p,。,？,58,用质心参照系研究碰撞,1,、质心系与实验室系,在碰撞问题中质心系是惯性系,2,、质心系中系统总动量恒为零,质心系中，在碰撞前后两质点动量始终大小相等，方向相反,两个质点,59,两个质点,折合质量,相对速度,60,不同参照系中的运动图象,碰撞的一般处理,61,碰撞中的能量损失,利用,相对质心的总动能,完全非弹性碰撞后，质点相对质心系静止,62,已知板,M,，,l,；小球,m,v,0,h,。弹簧,k,，桌面光滑，掉下时与板为弹性碰撞。求,(1),弹簧最大压缩量，,(2),若只发生一次碰撞，则,v,0,应满足什么条件？,解：,（,1,）碰撞时（,y,方向碰撞）,小球速度为：,弹性碰撞：,h,l,m v,0,k,x,y,63,解得：,碰后，板、弹簧、地球系统：,得：,64,(2),小球从桌面下落至板上经历的时间：,球要与板发生碰撞， 首先须满足条件,1,：,一次碰撞后，小球弹起再落回原碰撞处经历的时间：,h,l,m v,0,k,65,得：,设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量,h,， 即假定小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球只与板发生一次碰撞须满足的条件,2,：,66,光滑桌面上， 质量为,m,1,的小球以速度,u,碰在质量为,m,2,的静止小球上，,u,与两球的连心线成,角,(,称为,斜碰,),。 设两球表面光滑， 它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线， 已知恢复系数为,e,，求碰撞后两球的速度。,x,、,y,方向动量分别守恒：,解：,o,y,x,设碰后两球速度分别为,v,1,、,v,2,，方向如图。,恢复系数：,o,y,x,67,讨论：,两个质量相等的小球发生弹性斜碰：,m,1,=,m,2,e,=1,时，,联立三个方程后求解，得：,68,解：,(1),A,球所受合外力的冲量,光滑球盘上有两只光滑弹性小球,A,和,B,，质量均为,m,，半径为,R,，,B,球静止在盘壁边，,A,球以,m/s,的速度斜射至,(-,R,，,R,),处与盘壁和,B,球同时碰撞,碰撞后，若,A,球的速度为 ， 求,: (1),A,球所受合外力的冲量。,(2),A,，,B,组成的系统所受的合外力的冲量。,(3),球与壁之间的恢复系数。,(2),A,，,B,系统所受合外力的冲量,(3),球与壁之间的恢复系数,x,y,A,B,69,如图所示，一个质量为,m,的小球以入射角,与一粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为,，恢复系数为,e,，求碰撞后小球的速度大小与方向。,考虑小球，碰撞过程，忽略重力,由动量定理：,x,：,y,：,解：,恢复系数：,v,0,x,0,y,70,一、作用于质点系的力矩,2.8,质点系的角动量定理,1.,重力矩,O,x,y,z,c,71,2.,内力矩,O,i,j,质点系内力矩的矢量和为零。,72,对参考点,O,，质点系的总角动量：,O,二、质点系的角动量定理,质点系的角动量定理,73,质点系角动量守恒定律,若,则,质点系的角动量定理,74,75,76,77,质点系动力学,上海交通大学物理系高景,银河系的演化,：具有一定的初始角动量,L,的弥漫气体云，,在内部相互间万有引力的作用下逐渐收缩。由于角动量守,恒，气体云向转动中心轴缩拢时其旋转速率增大，随之增,大的惯性离心力使气体云难以进一步向转动轴收缩。在平,行于转动轴的方向，气体云却可以收缩。因此，银河系就,演化成了朝一个方向旋转的盘状结构。,宇宙中各层次的天体系统都具有旋转盘状结构,美国宇航局在地面拍摄的银河系的侧面,中央是银核,78,这是银河系外的,M83,星系，它的形状与大小和我们的银河系非常相似。,79,太阳对行星有引力，为什么行星不会掉到太阳上去呢？原因就是角动量守恒。只要在太阳系形成时具有一定的角动量，则整个太阳系就不可能坍缩到一块儿去。,人造地球卫星运行一段时间后会掉回地球上来，这主要是由于大气的摩擦。在任何一段不很长的时间里，卫星仍沿着圆轨道运动，只是圆的半径随着时间的流逝而缓慢缩小。在卫星高度下降的过程中，空气阻力作负功，但地球的引力作正功，其值为阻力所作负功的绝对值的两倍，从而总的功是正的。所以，阻力作用的结果竟然是使卫星速度加快，动能增加。,80,天体系统是自引力系统，它们具有与此类似的特征，即在失去能量时动能反而增加。在热学中，我们用温度的高低来表示组成宏观系统的大量微观粒子的动能的大小，而把温度每升高,1K,所需要的热量称为物体的热容。对于自引力系统来说，需要减少能量来增加动能，以提高温度。因此，我们称自引力系统为“负热容”系统，它们是不稳定的。当有的恒星核燃料耗尽后，它们不但不冷下来，反而在急剧的引力坍缩过程中产生大量的光和热，这就是天文上观测到的超新星爆发。,超新星爆发,81,三、质心系中的角动量定理,相对质心的角动量,第,i,个质点：,注,此关系对质心以外的其它参考点一般不成立,质心系中的角动量定理,82,0,（,1,）与惯性系中形式完全相同,（,2,）无论质心系作匀速平动还是加速平动上述关系均成立,83,C,l,v,0,二球质量均为,m,，轻绳，光滑水平面，求：,运动规律及绳中张力,。,水平方向动量守恒,质心作匀速直线运动,系统相对质心角动量守恒,小球绕质心作匀速圆周运动,绳中的张力,84,a,b,c,l,v,0,45,o,三球质量均为,m,，轻杆，光滑水平面，对心弹性碰撞,分析其运动情况,。,系统动量、角动量、机械能均守恒,？,相对哪个参考点？,85,O,a,b,同轴圆筒,(,M,a,、,M,b,),均可自由转动,外筒开始,静止。内筒开有许多小孔,内表面散布着一,薄层沙,(,M,0,),以,w,0,匀速转动,沙飞出并附着在,外筒内壁。单位时间喷出沙的质量为,k,忽略,沙的飞行时间,求,t,时刻两筒角速度。,以内筒与沙作为系统，角动量守恒,以喷出的沙与外筒作为系统，角动量守恒,86,作业：,2.5,2-7,2-8,2-11, 2-13,2.6,2-10,2.7,2-26,2-27,2-28,2-31,2-36,2-37,2.8,2-47,2-48,2-49,87,