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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 直线和圆的方程,课时,1,倾斜角与斜率,第一节直线的,倾,斜角,与斜率,教材必备知识精练,知识点,1,直线的倾斜角与斜率的关系,1.(,多选,),下列叙述正确的是,(,),A.,平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率,B.,直线倾斜角,的取值范围是,0,180,C.,若一条直线的倾斜角为,(,90),则此直线的斜率为,tan,D.,与坐标轴垂直的直线的倾斜角是,0,或,90,答案,1.BCD,根据斜率的定义,知当直线与,x,轴垂直时,斜率不存在,故,A,错误,.,易知其他选项正确,.,故选,BCD,.,知识点,1,直线的倾斜角与斜率的关系,2,.,已知直线,PQ,的斜率为,-,将直线,PQ,绕点,P,顺时针旋转,60,所得的直线的斜率是,(,),A.0B.,C.,D.-,答案,2.C,由题意,知直线,PQ,的倾斜角为,120,直线,PQ,绕点,P,顺时针旋转,60,所得直线的倾斜角为,60,所以所得直线的斜率为,.,知识点,1,直线的倾斜角与斜率的关系,3,.,如图,已知直线,l,1,l,2,l,3,的斜率分别为,k,1,k,2,k,3,则,(,),A,.k,1,k,2,k,3,B,.k,3,k,1,k,2,C,.k,3,k,2,k,1,D,.k,1,k,3,k,2,答案,3.D,由图知直线,l,1,的倾斜角为钝角,所以,k,1,0,.,又直线,l,2,l,3,的倾斜角为锐角,且,l,2,的倾斜角较大,所以,0,k,3,k,2,所以,k,1,k,3,k,2,.,知识点,2,直线,的斜率公式与直线的方向向量,4,.2022,重庆市实验中学校高二上月考,已知点,A,(,1),B,(3,-1),则直线,AB,的倾斜角是,(,),A.30B.60C.120D.150,答案,4.D,设直线,AB,的倾斜角为,则,tan,=,=,因为,0,1,化简得,(,m,-5)(,m,),0,解得,5,mk,2,”,是,“,1,2,”,的,(,),A.,必要不充分条件,B.,充分不必要条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要,条件,答案,3.D,当,1,2,均为锐角或钝角时,k,1,k,2,1,2,.,当,1,2,一个为锐角一个为钝角时,若,k,1,k,2,则,1,2,则,k,1,k,2,”,是,“,1,2,”,的既不充分也不必要条件,.,4,.,已知坐标平面内相异的两点,A,(cos,sin,2,),B,(0,1),则直线,AB,的倾斜角的取值范围是,(,),A.-,B.(0,),C.0,),D.,答案,4.B,因为点,A,(cos,sin,2,),B,(0,1),是相异的两点,所以,k,AB,=,=,=,-cos,且,cos,0,所以,k,AB,-1,0)(0,1,.,设直线,AB,的倾斜角为,则,tan,-1,0)(0,1,当,0,tan,1,时,倾斜角,的取值范围为,(0,当,-1tan,1,x,2,1,点,A,(,x,1,log,8,x,1,),B,(,x,2,log,8,x,2,),.,因为,A,B,在过点,O,的直线上,所以,=,.,又点,C,D,的坐标分别为,(,x,1,log,2,x,1,),(,x,2,log,2,x,2,),且,log,2,x,1,=,3log,8,x,1,log,2,x,2,=,3log,8,x,2,所以,k,OC,=,=,k,OD,=,=,由此得,k,OC,=k,OD,即点,O,C,D,在同一直线上,.,(,2),由,(1),知,B,(,x,2,log,8,x,2,),C,(,x,1,log,2,x,1,),.,由,BC,平行于,x,轴,得,log,2,x,1,=,log,8,x,2,.,又,log,2,x,1,=,3log,8,x,1,所以,log,8,x,2,=,3log,8,x,1,所以,x,2,=,将其代入,=,得,log,8,x,1,=,3,x,1,log,8,x,1,由,x,1,1,知,log,8,x,1,0,故,=,3,x,1,所以,x,1,=,于是,A,(,log,8,),.,课时,2,两条直线平行和垂直的判定,第一节直线的,倾,斜角,与斜率,教材必备知识精练,知识点,1,两,直线平行,1.2022,河北衡水中学高二期中,直线,l,1,的斜率为,2,l,1,l,2,直线,l,2,过点,(-1,1),且与,y,轴交于点,P,则点,P,的坐标为,(,),A.(3,0)B.(-3,0),C.(0,-3)D.(0,3,),答案,1.D,设,P,(0,y,),因为,l,1,l,2,所以,=,2,所以,y=,3,即,P,(0,3,),.,知识点,1,两,直线平行,2,.,下列说法中正确的有,(,),若两条直线斜率相等,则两直线平行,;,若,l,1,l,2,则,=,;,若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交,;,若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行,.,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,答案,2.A,若两条直线斜率相等,则两直线平行或重合,错误,;,若,l,1,l,2,则,=,或两直线的斜率都不存在,错误,;,易知,正确,;,若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行或重合,错误,.,知识点,1,两,直线平行,3,.2022,安徽亳州二中高二上期中,已知直线,l,1,过两点,(-1,2),(1,4),直线,l,2,过两点,(2,1),(,x,5),且,l,1,l,2,则,x=,(,),A.2B.-2C.4,D.6,答案,3.D,由题意,可得,=,=,1,=,.,因为,l,1,l,2,所以,=,1,解得,x=,6,.,知识点,1,两,直线平行,4,.,下列直线,l,1,与直线,l,2,(,l,1,与,l,2,不重合,),平行的有,.,(,填序号,),l,1,经过点,A,(2,1),B,(-3,5),l,2,经过点,C,(3,-3),D,(8,-7);,l,1,的斜率为,2,l,2,经过点,R,(1,1),H,(2,2);,l,1,的倾斜角为,60,l,2,经过点,M,(1,),N,(-2,-2,);,l,1,经过点,E,(2,6),F,(2,3),l,2,经过点,P,(-3,-3),Q,(-3,-6,),.,答案,4,.,解析,因为,=,=,=,=,所以,=,所以,l,1,l,2,.,因为,=,=,1,=,2,所以,l,1,不平行于,l,2,.,因为,=,tan 60,=,=,=,所以,=,所以,l,1,l,2,.,l,1,l,2,的斜率均不存在,所以,l,1,l,2,.,知识点,2,两,直线垂直,5,.,已知直线,l,1,的倾斜角为,30,且直线,l,1,l,2,则直线,l,2,的斜率为,(,),A.-,B.,C.-,D.,答案,5.C,由题意可得直线,l,1,的斜率为,.,由直线,l,1,l,2,得直线,l,2,的斜率为,.,知识点,2,两,直线垂直,6.,若,点,P,(,a,b,),与点,Q,(,b,-1,a,+1),关于直线,l,对称,则直线,l,的倾斜角为,(,),A.135B.45C.30D.60,答案,6.B,易知直线,PQ,的斜率,k,PQ,=,=,-1,.,由题意,可知直线,PQ,与直线,l,垂直,所以直线,l,的斜率为,1,故直线,l,的倾斜角为,45,.,知识点,2,两,直线垂直,7,.2022,湖南长沙一中高二期中,已知点,A,(-,m,-3,2),B,(-2,m,-4,4),C,(-,m,m,),D,(3,3,m,+2),若直线,AB,CD,则,m=,.,答案,7,. 1,或,-1,解析,因为,A,B,两点纵坐标不相等,所以直线,AB,与,x,轴不平行,.,又,AB,CD,所以直线,CD,与,x,轴不垂直,所以,-,m,3,m,-3,.,当直线,AB,与,x,轴垂直时,-,m,-3,=,-2,m,-4,解得,m=,-1,此时,C,D,两点的纵坐标均为,-1,所以,CD,x,轴,此时,AB,CD,满足,题意,.,当直线,AB,与,x,轴不垂直时,k,AB,=,=,k,CD,=,=,.,因为,AB,CD,所以,k,AB,k,CD,=,-1,即,=,-1,解得,m=,1,.,综上,m,的值为,1,或,-1,.,【方法总结】,根据两直线垂直关系求参数的步骤,(1),一看,:,看直线上两点的横坐标是否相等,.,若相等,则该直线的斜率不存在,只需另一条直线上的两点的纵坐标相等,.,若不相等,则进行第二步,.,(2),二代,:,将直线上两点的坐标代入斜率公式,.,(3),三求,:,利用两垂直直线的斜率之积等于,-1,进行求解,.,知识点,2,两,直线垂直,8,.2022,北师大实验中学高一期中,已知,ABC,的顶点为,A,(5,-1),B,(1,1),C,(2,m,),若,ABC,为直角三角形,求实数,m,的值,.,答案,8,.,解析,若,A,为直角,则,AC,AB,所以,k,AC,k,AB,=,-1,即,=,-1,解得,m=,-7,.,若,B,为直角,则,AB,BC,所以,k,AB,k,BC,=,-1,即,=,-1,解得,m=,3;,若,C,为直角,则,AC,BC,所以,k,AC,k,BC,=,-1,即,=,-1,解得,m=,2,.,综上所述,实数,m,的值为,-7,或,3,或,2,.,知识点,3,两,直线垂直与平行的应用,9,.,已知直线,l,的倾斜角为,10,直线,l,1,l,直线,l,2,l,则直线,l,1,与,l,2,的倾斜角分别为,(,),A.10,10B.80,80,C.10,100D.100,10,答案,9.C,因为,l,的倾斜角为,10,l,1,l,所以直线,l,1,的倾斜角为,10,.,由,l,2,l,得直线,l,2,的倾斜角为,10+90,=,100,.,知识点,3,两,直线垂直与平行的应用,10,.2022,北京人大附中高二期中,已知,A,(-4,3),B,(2,5),C,(6,3),D,(-3,0),四点,顺次连接,A,B,C,D,A,试判断四边形,ABCD,的形状,.,答案,10,.,解析,建立如图所示的平面直角坐标系,因为,k,AB,=,=,k,CD,=,=,k,AD,=,=,-3,k,BC,=,=,所以,k,AB,=k,CD,由图可知,AB,与,CD,不重合,所以,AB,CD.,由,k,AD,k,BC,知,AD,与,BC,不平行,.,又,k,AB,k,AD,=,(-3),=,-1,所以,AB,AD,故四边形,ABCD,为直角梯形,.,学科关键能力构建,答案,1.,将一张画了直角坐标系,(,两坐标轴单位长度相同,),的纸折叠一次,使点,(2,0),与点,(-2,4),重合,点,(2 021,2 022),与点,(,m,n,),重合,则,m,+,n=,(,),A.1B.2 023,C.4 043D.4,046,1.C,设,A,(2,0),B,(-2,4),则点,A,B,所在直线的斜率为,k,AB,=,=,-1,.,由题意,知过点,(2 021,2 022),(,m,n,),的直线与直线,AB,平行,所以,=,-1,整理得,m,+,n=,2 021+2 022,=,4 043,.,2,.,过点,A,(0,),B,(7,0),的直线,l,1,与过点,(2,1),(3,k,+1),的直线,l,2,和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数,k=,(,),A.-3B.3C.-6,D.6,答案,2.B,若,l,1,和,l,2,与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则,l,1,l,2,.,易知直线,l,1,的斜率,k,1,=,=,直线,l,2,的斜率,k,2,=,=k,由,k,1,k,2,=,-1,得,k=,3,.,3,.,已知直线,l,1,l,2,的斜率,k,1,k,2,是关于,k,的方程,2,k,2,-3,k,-,b=,0,的两根,若,l,1,l,2,则,b=,;,若,l,1,l,2,则,b=,.,答案,3,. 2,解析,若,l,1,l,2,则,k,1,k,2,=,-1,即,=,-1,所以,b=,2;,若,l,1,l,2,则,k,1,=k,2,所以,=,(-3),2,-42(-,b,),=,0,所以,b=,.,4,.2022,河北石家庄十二中高二上期中,直线,l,的倾斜角为,30,点,P,(2,1),在直线,l,上,直线,l,绕点,P,(2,1),按逆时针方向旋转,30,后到达直线,l,1,的位置,此时直线,l,1,与,l,2,平行,且,l,2,是线段,AB,的垂直平分线,其中,A,(1,m,-1),B,(,m,2),则实数,m=,.,答案,4,. 4+,解析,由题意,得直线,l,1,的倾斜角为,30+30,=,60,所以直线,l,1,的斜率,k,1,=,tan 60,=,.,由,l,1,l,2,知直线,l,2,的斜率,k,2,=k,1,=,所以直线,AB,的斜率存在,且,k,AB,=,=,即,=,解得,m=,4+,.,5,.2022,福建龙岩一中高二期中,已知点,M,(1,-1),N,(2,2),P,(3,0),.,(1),若点,Q,满足,PQ,MN,PN,MQ,求点,Q,的坐标,.,(2),若点,Q,在,x,轴上,且,NQP=,NPQ,求直线,MQ,的倾斜角,.,答案,5,.,解析,(1),设,Q,(,x,y,),由题意知,PQ,MQ,的斜率存在,k,MN,=,3,k,PN,=,-2,由,PQ,MN,得,k,MN,k,PQ,=,-1,即,3,=,-1,由,PN,MQ,得,k,PN,=k,MQ,即,=,-2,由,得,x=,0,y=,1,所以,Q,(0,1),.,(2),设,Q,(,x,0),因为,NQP=,NPQ,所以,k,NQ,=,-,k,PN,=,2,解得,x=,1,所以,Q,(1,0),又,M,(1,-1),所以,MQ,x,轴,故直线,MQ,的倾斜角为,90,.,6,.,已知,A,(1,2),B,(5,0),C,(3,4),.,(1),若,A,B,C,D,可以构成平行四边形,求点,D,的坐标,;,(2),在,(1),的条件下,判断,A,B,C,D,构成的平行四边形是否为菱形,.,答案,6,.,解析,(1),由题意得,k,AB,=,=,k,AC,=,=,1,k,BC,=,=,-2,.,设,D,(,a,b,),.,若四边形,ABCD,是平行四边形,则,k,CD,=k,AB,k,AD,=k,BC,即,解得,即,D,(-1,6),.,若四边形,ABDC,是平行四边形,则,k,CD,=k,AB,k,BD,=k,AC,即,解得,即,D,(7,2),.,若四边形,ACBD,是平行四边形,则,k,BD,=k,AC,k,AD,=k,BC,即,解得,即,D,(3,-2),.,综上,点,D,的坐标为,(-1,6),或,(7,2),或,(3,-2,),.,(,2),若,D,的坐标为,(-1,6),因为,k,AC,=,1,k,BD,=,=,-1,所以,k,AC,k,BD,=,-1,所以,AC,BD,所以平行四边形,ABCD,为菱形,.,若,D,的坐标为,(7,2),因为,k,BC,=,-2,k,AD,=,=,0,所以,k,BC,k,AD,=,0-1,所以平行四边形,ABDC,不是菱形,.,若,D,的坐标为,(3,-2),因为,k,AB,=,直线,CD,的斜率不存在,所以平行四边形,ACBD,不是菱形,.,7,.,在平面直角坐标系,xOy,中,四边形,OPQR,的顶点坐标分别为,O,(0,0),P,(1,t,),Q,(1-2,t,2+,t,),R,(-2,t,2),其中,t,0,且,t,.,试判断四边形,OPQR,的形状,.,答案,7,.,解析,由斜率公式,得,k,OP,=,=t,k,QR,=,=,=t,k,OR,=,=,k,PQ,=,=,=,k,OQ,=,k,PR,=,所以,k,OP,=k,QR,k,OR,=k,PQ,所以,OP,QR,OR,PQ,所以四边形,OPQR,为平行四边形,.,又,k,OP,k,OR,=,-1,所以,OP,OR.,又,k,OQ,k,PR,-1,所以,OQ,与,PR,不垂直,所以四边形,OPQR,为矩形,.,【归纳总结】利用直线的平行与垂直可研究一些简单的多边形问题,如确定多边形的顶点坐标、判断多边形的形状等,解决这类问题时,要充分利用平面图形的几何性质,同时注意数形结合思想的应用,.,课时,1,直线的点斜式方程,第二节直线的方程,教材必备知识精练,知识点,1,直线,的点斜式方程,1.2022,重庆三十七中高二上期中,方程,y=k,(,x,-2),表示,(,),A.,过点,(2,0),的所有直线,B.,过点,(2,0),且不垂直于,y,轴的所有直线,C.,过点,(2,0),且不垂直于,x,轴的所有直线,D.,过点,(2,0),且除去,x,轴的所有,直线,答案,1.C,y=k,(,x,-2),为直线的点斜式方程,表示斜率存在的直线,又直线过点,(2,0),故选,C,.,知识点,1,直线,的点斜式方程,2,.2022,江苏句容高二期中,经过两点,A,(-3,2),B,(0,-3),的直线的方程为,(,),A.,y,+3,=,x,B.,y,-2,=,-,(,x,+3),C.,y,+3,=,x,D.,y,-2,=,-,(,x,+3,),答案,2.D,因为直线的斜率为,k=,=,所以直线的方程为,y,-2,=,(,x,+3),故选,D,.,知识点,1,直线,的点斜式方程,3,.,已知等边三角形,ABC,的两个顶点,A,(0,0),B,(4,0),且第三个顶点在第四象限,则,BC,边所在直线的方程是,(,),A.,y=,-,x,B.,y=,-,(,x,-4),C.,y=,(,x,-4)D.,y=,(,x,+4,),答案,3.C,由题意,知直线,BC,的倾斜角为,60,故直线,BC,的斜率为,由点斜式得所求直线的方程为,y=,(,x,-4,),.,知识点,1,直线,的点斜式方程,4,.2022,湖北沙市中学高二期中,直线,l,经过原点,O,且它的倾斜角是直线,y=,x,的倾斜角的,2,倍,则直线,l,的方程是,(,),A.,y=x,B.,y=,x,C.,y=,x,D.,y=,-,x,答案,4.C,直线,y=,x,即直线,y=,x,其倾斜角为,所以直线,l,的倾斜角为,即,k,l,=,又直线,l,经过原点,O,所以直线,l,的方程为,y=,x,.,知识点,1,直线,的点斜式方程,5,.2022,河南郑州外国语中学高二期中,已知在第一象限的,ABC,中,A,(1,1),B,(5,1),A=,60,B=,45,求,:,(1),AB,边所在直线的方程,;,(2),AC,边与,BC,边所在直线的方程,.,答案,5,.,解析,(1),因为,A,(1,1),B,(5,1),所以,AB,x,轴,所以,AB,边所在直线的方程为,y=,1,.,(2),因为,A=,60,所以,k,AC,=,tan 60,=,所以直线,AC,的方程为,y,-1,=,(,x,-1),.,因为,B=,45,所以,k,BC,=,tan 135,=,-1,所以直线,BC,的方程为,y,-1,=,-(,x,-5,),.,【归纳总结】,(1),求直线的点斜式方程的步骤,:,定点,(,x,0,y,0,),定斜率,k,写出方程,y,-,y,0,=k,(,x,-,x,0,);(2),点斜式,方程,y,-,y,0,=k,(,x,-,x,0,),可表示过点,P,(,x,0,y,0,),的直线,但直线,x=x,0,除外,.,知识点,2,直线,的斜截式方程,6,.,过点,P,(1,12),且倾斜角为,45,的,直线在,y,轴上的截距是,(,),A.-10B.10C.-11,D.11,答案,6.D,因为,tan 45,=,1,所以直线的方程为,y,-12,=x,-1,即,y=x,+11,所以直线在,y,轴上的截距为,11,.,故选,D,.,知识点,2,直线,的斜截式方程,7,.2022,辽宁省实验中学高二上期中,直线,l,1,:,y=ax,+,b,与直线,l,2,:,y=bx,+,a,(,ab,0,a,b,),在同一平面直角坐标系内可能是,(,),A,B,C,D,答案,7.D,知识点,2,直线,的斜截式方程,8,.(,多选,)2022,江苏苏州中学高二上期中,直线,l,经过点,A,(1,2),在,x,轴上的截距的取值范围是,(-3,3),则其斜率的值可能是,(,),A.-B.-1C.,D.e,答案,8.ACD,方法一,当直线,l,的斜率,k,存在时,直线,l,的方程为,y=k,(,x,-1)+2,k,0,令,y=,0,得,x=,+1,所以,-3,+1,3,解得,k,.,故选,ACD,.,方法二,当直线,l,的斜率,k,存在时,设,B,(3,0),C,(-3,0),则,k,AC,=,k,AB,=,-1,由题意得,kk,AC,或,k,或,k,0),在直线,l,上,且直线,QP,与,x,轴的正半轴交于点,R.,(1),若,QOR,为直角三角形,求点,Q,的坐标,;,(2),当,QOR,的面积取得最小值时,求点,Q,的坐标,.,答案,7,.,解析,(1),因为点,Q,在直线,y=,4,x,上,所以,n=,4,m.,当,QRO=,90,时,直线,QR,的方程为,x=,6,所以点,Q,的坐标为,(6,24);,当,RQO=,90,时,由,k,l,k,QR,=,-1,得,k,QR,=,.,由,k,QR,=k,QP,=,=,=,解得,m=,所以点,Q,的坐标为,(,),.,综上,点,Q,的坐标为,(6,24),或,(,),.,(,2),由题意知,n,4,所以,m,1,所以,k,QR,=k,QP,=,所以直线,QR,的方程为,y,-4,=,(,x,-6),令,y=,0,得,x,R,=,所以,S,QOR,=,x,R,y,Q,=,4,m=,.,因为,=,=m,+1+,=m,-1+,+22,+2,=,4(,当且仅当,m=,2,时取等号,),所以当,S,QOR,取得最小值,40,时,m=,2,n=,8,所以点,Q,的坐标为,(2,8),.,课时,2,直线的两点式方程,第二节直线的方程,教材必备知识精练,知识点,1,直线的两点式方程,1.,已知直线,l,的两点式方程为,=,则,l,的斜率为,(,),A.-,B.,C.-,D.,答案,1.A,由两点式方程,=,知直线,l,过点,(-5,0),(3,-3),所以,l,的斜率为,=,.,知识点,1,直线的两点式方程,2,.,若直线,l,过点,(-1,-1),和,(2,5),且点,(91,b,),在直线,l,上,则,b,的值为,(,),A.183B.182C.181,D.180,答案,2.A,由直线的两点式方程,得直线,l,的方程为,=,即,y=,2,x,+1,.,由于点,(91,b,),在直线,l,上,所以,b=,291+1,解得,b=,183,.,【特别提醒】当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,:,两点的连线不平行于坐标轴,.,若满足,则考虑用两点式求方程,.,知识点,1,直线的两点式方程,3,.,某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用,y,(,元,),与行李重量,x,(kg),的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为,(,),A.20 kgB.25 kgC.30 kgD.80,kg,答案,3.C,由图知点,A,(60,6),B,(80,10),由直线的两点式方程,得直线,AB,的方程是,=,即,y=,x,-6,.,令,y=,0,得,x=,30,即旅客最多可免费携带,30 kg,行李,.,知识点,1,直线的两点式方程,4,.2022,安徽师大附中高二期中,已知,A,(-3,2),B,(5,-4),C,(0,-2),在,ABC,中,(1),求直线,BC,的方程,;,(2),求,BC,边上的中线所在直线的方程,.,答案,4,.,解析,(1),由题意得直线,BC,的方程为,=,即,2,x,+5,y,+10,=,0,.,(2),设,BC,的中点为,M,(,a,b,),则,a=,=,b=,=,-3,所以,M,(,-3),又,BC,边上的中线过点,A,(-3,2),所以,=,即,10,x,+11,y,+8,=,0,所以,BC,边上的中线所在直线的方程为,10,x,+11,y,+8,=,0,.,知识点,2,直线,的截距式方程,5,.,已知,A,(2,-1),B,(6,1),则在,y,轴上的截距是,-3,且经过线段,AB,的中点的直线方程为,(,),A.,=,1 B.,=,1,C.,=,1 D.,=,1,答案,5.B,由题意得线段,AB,的中点为,(4,0),设直线的截距式方程为,=,1,将点,(4,0),代入,得,a=,4,则该直线的,方程,为,=,1,.,知识点,2,直线,的截距式方程,6,.,若直线,=,1,过第二、三、四象限,则,(,),A.,a,0,b,0,B.,a,0,b,0,C.,a,0,D.,a,0,b,0,答案,6.D,因为直线,=,1,过第二、三、四象限,所以直线在两坐标轴上的截距都小于,0,所以,a,0,b,0,.,故选,D,.,知识点,2,直线,的截距式方程,7,.(,多选,)2022,广东广州八十九中高一上期中,过点,(-2,1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为,(,),A.,x,-,y,+3,=,0B.,x,+,y,+1,=,0,C.,x,+2,y=,0,D.2,x,+,y=,0,答案,7.BC,方法一,若直线在两坐标轴上的截距都为,0,则设直线的方程为,y=kx,又该直线过点,(-2,1),代入可得,1,=,-2,k,解得,k=,所以该直线的方程为,y=,x,即,x,+2,y=,0,.,若直线在两坐标轴上的截距都不为,0,设截距为,a,由题意可得直线方程为,=,1,又直线过点,(-2,1),代入可得,=,1,解得,a=,-1,所以该直线的方程为,=,1,即,x,+,y,+1,=,0,.,方法二,根据直线过点,(-2,1),排除,D,选项,再将,A,B,C,中各直线方程化为截距式,易得,B,C,符合题意,.,知识点,2,直线,的截距式方程,8,.2022,山西省实验中学高二期中,在,ABC,中,已知,A,(5,-2),B,(7,3),且,AC,边的中点,M,在,y,轴上,BC,边的中点,N,在,x,轴上,则顶点,C,的坐标为,直线,MN,的截距式方程为,.,答案,8,.(-5,-3),=,1,解析,设,C,(,x,0,y,0,),则,AC,边的中点为,M,(,),BC,边的中点为,N,(,),.,因为点,M,在,y,轴上,所以,=,0,解得,x,0,=,-5,.,因为点,N,在,x,轴上,所以,=,0,解得,y,0,=,-3,即,C,(-5,-3),则,M,(0,),N,(1,0),所以直线,MN,的截距式方程为,=,1,.,【归纳总结】截距式方程应用的注意事项,:(1),直线与两坐标轴相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可,;,(2),选用截距式方程时,首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直,;,(3),要注意截距式直线方程的逆向应用,.,知识点,2,直线,的截距式方程,9,.2022,湖北华中科技大学附属中学月考,(,1),若过点,(1,-1),的直线在,y,轴上的截距比在,x,轴上的截距大,求此直线的方程,并画出图形,;,(2),求过点,A,(-5,2),且在,y,轴上的截距等于在,x,轴上的截距的,2,倍的直线方程,并画出图形,.,答案,9,.,解析,(1),设直线在,x,轴上的截距为,a,则在,y,轴上的截距为,a,+,由题意可知,a,0,且,a,则此直线的方程为,=,1,.,又此直线过点,(1,-1),所以,=,1,解得,a=,-1,或,a=,故所求的直线方程为,=,1,或,=,1,可化为,x,+2,y,+1,=,0,或,2,x,+,y,-1,=,0,.,画,出图形如下,:,(2),当在,x,轴、,y,轴上的截距都是,0,时,设所求直线方程为,y=kx,将,(-5,2),代入,y=kx,中,得,k=,此时直线方程为,y=,x,即,2,x,+5,y=,0,.,当在,x,轴、,y,轴上的截距都不是,0,时,设所求直线方程为,=,1(,a,0),将,(-5,2),代入,=,1,中,得,a=,-4,此时直线方程为,2,x,+,y,+8,=,0,.,综上所述,所求直线方程为,2,x,+,y,+8,=,0,或,2,x,+5,y=,0,.,画出图形如下,:,学科关键能力构建,答案,1.(,多选,)2022,江苏扬州中学高二期中,已知直线,l,:,ax,+,y,-2+,a=,0,在,x,轴和,y,轴上的截距相等,则实数,a,的值可能是,(,),A.1B.-1C.2D.-,2,1.AC,若直线过原点,则,-2+,a=,0,解得,a=,2,.,若直线不过原点,则其在,x,轴上的截距为,在,y,轴上的截距为,2-,a,则,=,2-,a,得,a=,1,.,综上,实数,a,的值可能是,1,或,2,.,故选,AC,.,2,.,在同一平面直角坐标系中,直线,=,1,与,=,1,的位置可能是,(,),答案,2.D,直线,=,1,可化为,=,1,其在,x,轴上的截距为,m,在,y,轴上的截距为,-,n.,直线,=,1,可化为,=,1,其在,x,轴上的截距为,n,在,y,轴上的截距为,-,m,所以两直线中一直线在,x,轴上的截距与另一直线在,y,轴上的截距互为相反数,观察各选项中的图象知选,D,.,【名师点评】应用截距式方程,=,1,解决问题时,要注意截距式方程的特征,:,一是中间必须用,“+”,连接,;,二是等式的一端是,1,.,3,.,已知,A,(3,0),B,(0, 4),P,(,m,n,),是直线,AB,上一动点,则,mn,的最大值是,(,),A.2B.3C.8,D.12,答案,3.B,易求得直线,AB,的方程为,=,1,因为,P,(,m,n,),
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