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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,syc,定轴转动刚体的角动量守恒定律和转动,或共同转速为,在啮合过程中，,摩擦力矩作功,，所以,机械能不守恒,，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例题,恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每,45,天转一周，它的内核半径,R,0,约为,2,10,7,m,，坍缩成半径,R,仅为,6,10,3,m,的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球。,解 在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的角动量,J,0,0,和,J,应相等。因,定轴转动刚体的角动量守恒定律,代入,J,0,0,=J,中，整理后得,由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波、光或,X,射线。当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过,300,个。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例题,图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为,J= 2,10,3,kg,m,2,，它以,=0.2rad/s,的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是,r=1.5m,。两喷管的喷气流量恒定，共是,=2kg/s,。废气的喷射速率（相对于飞船周边）,u=50m/s,，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。,r,d,m,/2,d,m,/2,u,-,u,L,0,L,g,解 把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为,m,。可以认为废气质量远小于飞船的质量，,定轴转动刚体的角动量守恒定律,所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即,在喷气过程中，以,dm,表示,dt,时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为,dm,r(u+v),，方向与飞船的角动量相同。因,u=50m/s,远大于飞船的速率,v(=,r),，所以此角动量近似地等于,dm,ru,。在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量,L,g,应为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量,L,1,就是全部排出的废气的总角动量，即为,在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即,L,0,=L,1,，由此得,即,定轴转动刚体的角动量守恒定律,于是所需的时间为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例,一长为,l,、质量为,m,的匀质细杆，可绕光滑轴,O,在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为,m,0,的子弹水平射入与轴相距为,a,处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到,q,=,30,0,，求子弹的初速,v,0,。,解：分两个阶段进行考虑,其中,(1),子弹射入细杆,使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,(2),子弹随杆一起绕轴,O,转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为,重力势能零点,，系统在始末状态的机械能为：,由角动量守恒，得：,(1),势能零点,定轴转动刚体的角动量守恒定律,由机械能守恒，,E=E,0,代入,q,=,30,0,，,得：,将上式与 联立，并代入,J,值，得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例,A,、,B,两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：,w,A,=50,rad,.,s,-1,w,B,=200,rad,.,s,-1,。已知,A,圆盘半径,R,A,=0.2m,质量,m,A,=2kg,B,圆盘的半径,R,B,=0.1m,质量,m,B,=4kg.,试求两圆盘对心衔接后的角速度,w,.,解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到,定轴转动刚体的角动量守恒定律,考虑一个转动的刚体,（例,如绕通过其中心的固定轴（转轴）转动的轮子,），,可以认为,此 刚体,由位于离开转动轴不同距离的许多质点组成。对该物体,中,的第,i,个质子,，可给出：,将,所有的粒子加起来,，,各个力矩的和就是总力矩,注意，,总力矩,表示每个粒子作用在其他粒子上的所有内力矩,的和,int,，加上从外部来的所有外力矩,ext,，即,=,ext,+,int,。由于所有内力矩的和为零,(,为什么？,),，所以,总力矩,表示了合成的外力矩。,(,m,i,R,i,2,),称为,转动惯量,，或,惯量,I,。,综合以上讨论，可以得轴固定在惯性系中时，转动动力学方程,转动动力学中的问题解答,问题解答方法,（步骤）,2.,选择该,系统,需要研究的,一个,或几个物体,。,3.,画所考虑物体的,受力图,，,表示出作用在该物体上的所有（并唯一）的力，以及它们的准确作用位置，这样可以确定每个力的力矩。重力是作用在物体的重心上,的。,5.,运用,转动的,动力学方程，,=I,。,注意各个量的单位。,1.,通常先画一个清晰完整的图解,4.,确认转动轴和绕它的力矩，旋转转动的正负方向（顺时针和逆时针）并对每个力矩指定正确的符号,6.,运用,平动中的牛顿第二定律,，,F,=m,a,，和其他所需的定律和原理。,7.,用以上所列方程，解未知量。,8.,做一个粗略的估计或估算，看看您的答案是否合理,例：,（,重滑轮,）质量为,4.00kg,、半径为,33.0cm,的滑轮上绕一根绳子，绳子上所用着,15.0N,的拉力，如图所示。滑轮在,3.00s,内加速到,30.0rad/s,。如果在滑轮轴上存在一个摩擦力矩，,fr,=1.10mN,。 请确定滑轮的转动惯量。,1.,画一个图解。,滑轮和缠绕的绳子如图所示。,解 ：,2.,选择系统：,滑轮。,3.,画受力图：,绳子的拉力,F,T,；轮轴上的摩擦力,F,fr,；轮轴的重力；轮轴对它的支撑力,。,后两个力对力矩无贡献，未画。,4.,确定力矩：,绳子形成的力矩等于,R,0,F,T,，为逆时针，这里取其为正。摩擦力矩为,1.10mN,，与运动方向相反，取负。,5.,应用转动动力学方程：,其中：,6.,其他定律和原理的方程：,这里没有需要的,。,7.,解出未知量：,8.,做个粗略估计：,假设滑轮是一个均匀圆柱体，做惯量的估算，如下。偏小了？,
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