方阵的行列式可逆矩阵与逆矩阵

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三节,n,阶方阵的行列式,1、定义：,设,A =,(,a,ij,),n,n,为,n,阶方阵 . 由,A,中,所有的元素按它们在,A,中的排列位置构成的,n,阶行列式称为方阵,A,的行列式,记作,det,A, 即,1,方阵与行列式的区别,方阵与行列式是两个不同的概念，,n,2,个数按一定方式排成的,n,阶方阵是,所确定的一个数,要清楚两者的含义,数表. 而,n,阶行列式是按行列式的定义,注：,及记号的区别.,2,2、性质,（1）,设,A,，,B,均为,n,阶方阵,（2）,（3）,推广：,为同,阶方阵,则,(4),3,例1 设,解,求,4,注：,例2 设 其中 是数,求 及,解,一般地,5,3、,退化矩阵,：,设,A,为,n,阶方阵, 若,则称,A,是,非,若,则称,A,是,退化,如：,A,是非退化矩阵。,退化的,或,非奇异的,；,的,或,奇异的,。,6,第四节 可逆矩阵与逆矩阵,一、逆矩阵的定义,二、逆矩阵判断及计算,三、逆矩阵的性质,7,概念的引入：,单位阵 具有与数1在数的,乘法中类似的性质.,在矩阵乘法中，,对于任意,n,阶方阵,A,都有,类似地,引入逆矩阵的概念,而对于任意数 ，,若,则存在 使得,8,对于,n,阶方阵,A,，如果存在,n,阶方阵,B,，,使得,成立，则矩阵,A,称为,可逆矩阵,，,B,称为,A,的,定义：,逆矩阵或逆阵,。,说明：,(1)不是任意方阵都是可逆的。如零矩阵不是可逆矩阵。,(2)若方阵,A,是方阵,B,的逆阵，则,B,也是,A,的逆阵。即,A,和,B,互为逆矩阵。,一、逆矩阵的定义,9,这是因为:,(3),如果方阵,A,是可逆的,则,A,的逆矩阵是唯 一的.,所以,A,的逆矩阵是唯一的.,将,A,的逆矩阵记作 .,若,B,、,C,都是,A,的逆矩阵,则有,则若,A,可逆,就有,注,并不是,A,的-1次方，不能写成,的形式。,10,当 都不为零时,有,单位阵：,特殊矩阵的逆阵:,对角阵：,11,从而,一般地,若 都不为零,则有,0,0,0,0,12,例,是否可逆？,问题:,（1）如何判别一个方阵是否可逆？,（2）若,A,为可逆矩阵，如何求,13,二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法,方阵可逆的必要条件：,命题：,设,A,可逆, 则它有逆矩阵,使得,从而,若,A,可逆, 则,证：,所以,14,伴随矩阵,:,称为矩阵,A,的,伴随矩阵.,设,行列式,的各,所构成的如下矩阵,个元素的代数余子式,注：,中第i行第j列处的元素是,而不是,问题：,上述必要条件是不是充分的？即若,A,一定可逆吗？,若,A,可逆,如何求,A,-1,？,15,例1. 设,求,A,的伴随矩阵.,解:,16,17,例2:,设,A,为,n,阶方阵,是,A,的伴随矩阵,计算,18,所以,同理,故有,当,时，我们有,从而,A,可逆, 且,19,这样我们得到下述定理：,说明：,定理:,n,阶方阵,A,是可逆的充分必要条件是,即,A,是非退化的, 而且,该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为,伴随矩阵法,。,20,例3：设,判断,A,是否可逆？,若可逆，求出,解：,因为,所以,A,可逆，且,21,因为,所以,22,下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：,命题：,设,A、,B,为,n,阶方阵，若,则,A、B,都可逆，且,因为,所以,因此有,故,A、,B,都可逆,则有,证：,23,说明：,该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵,例4:,设方阵,A、B,满足,A,-,E,可逆，并求其逆。,试证,解：,24,例5:,设方阵,A,满足,A,和,A,+2,E,都可逆，并求它们的逆矩阵。,试证,解：,25,若,A,可逆，则,也可逆，且,性质1：,性质2：,若,A,可逆，则,也可逆，且,因为,所以,证：,三. 性质,26,若,A,可逆，数,则,kA,可逆, 且,若,A、,B,都可逆，,则,AB,也可逆，且,因为,所以,证：,性质3：,性质4：,27,若,n,阶方阵,可逆，则,若,A,可逆，则,因为,A,可逆，,所以,推广：,证：,性质5：,28,例6：,设,A,为,n,阶方阵，且,求,解：,29,解,例7,设三阶矩阵,A、,B,满足关系,30,31,设线性方程组为,若系数矩阵,A,可逆，求,例8,解：,线性方程组的矩阵形式为,因为,A,可逆，所以,存在且有,32,作 业,P82,24，27,注：28题之前的习题都可以做！,33,