阶段质量评估(四)

（第七章）,(120分钟 150分),第I卷（选择题 共60分）,一、选择题（每小题5分，共60分）,1.已知a，b，c，d是空间中的四条直线，若ac,bc,ad,bd，那么( ),（A）ab且cd,（B）a，b，c，d中任意两条都有可能平行,（C）ab或cd,（D）a，b，c，d中至多有两条平行,【解析】,选C.如图，作一长方体，从长方体中观察知C选项正确.,2.（2010滨州模拟）如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）,(A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】,选C.ABBD,面ABD面BCD，且交线为BD，则AB面BCD，则面ABC面BCD，同理CD面ABD，则面ACD面ABD，因此共有3对互相垂直的平面.,3.如图，在长方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，AB=BC=2，AA,1,=1，则BC,1,与平面BB,1,D,1,D所成角的正弦值为( ),(A) (B) (C) (D),【解析】,选D.连接A,1,C,1,，交B,1,D,1,于O，依题意得，A,1,C,1,B,1,D,1,，BB,1,A,1,C,1,，B,1,D,1,BB,1,=B,1,，,A,1,C,1,平面BB,1,D,1,D，连接BO，则C,1,BO为所求角，,OC,1,= ，BC,1,= ，sinC,1,BO= ,选D.,4.（2010惠州模拟）已知几何体的三视图,（如图），若图中圆的半径为1，等腰三角,形的腰为3，则该几何体的表面积为( ),(A)4 (B)3 (C)5 (D)6,【解析】,选C.由三视图知，该几何体为一个,圆锥与一个半球的组合体，而圆锥的侧面积为13=3，半球的表面积为21,2,=2，该几何体的表面积为3+2=5.,5.（2010广州模拟）给定下列四个命题：,若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；,若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；,垂直于同一直线的两条直线相互平行；,若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.,其中，为真命题的是（ ）,(A)和 (B)和 (C)和 (D)和,【解析】,选D.中两直线不一定相交，,错误，命题在同一平面内成立，在空间不正确，正确.,6.（2010天津模拟）设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）,（A）若ab,a,则b,（B）若，a,则a,（C）若，a,则a,（D）若ab,a,b,则,【解析】,选D.选项A中b或b ，选项B中a或,a ，或a，选项C中a或a .,7.已知，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA,1,面A,1,B,1,C,1,，主视图是边长为2的正方形，则左视图的面积为（ ）,（A）4 （B）2 （C）2 （D）,【解析】,选B.左视图是长为2，宽为 的长方形，故其面积,为2 .,8.（2010宁波模拟）若m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）,（A）若m,n ,则mn,（B）若m,n,则mn,（C）若m,m ,=n,则mn,（D）若=m,nm，则n,【解析】,选C.当m,n 时，m与n可能平行，还可能异,面，A选项错误.,当m,n时，m与n可能平行，也可能异面，还可能相交.,B选项错误.,选项C即为线面平行的性质定理，,C正确.,当=m,mn时，n与可能平行，n也可能在内.,9.某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的主视图中，这,条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的左视图与俯视,图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值,为( ),(A)2 (B)2 (C)4 (D)2,【解析】,选C.如图，设该棱为线段AB，,其中A点在平面xOy内，点B在平面yOz,内，设AB的主视图投影为BC，左视图,投影为BE，俯视图投影为AD.,由题意知AB= ，BC= ，,则AC=1，,设AE=x,则AD= =b,BE= =a,t=a+b= + 0,t,2,=8+2 16,t4,即a+b4.故a+b的最大值为4.,10.已知两条不重合的直线m,n和平面，则mn的一个充分条件是（ ）,(A)m，n (B)m，n,(C)m，n (D)m、n与成等角,【解析】,选B.A中直线m和n还可以相交或异面；C中直线m和n还可以异面；D中直线m和n还可以相交或异面.,11.在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）,(A)BC平面PDF,(B)DF平面PAE,(C)平面PDF平面ABC,(D)平面PAE平面ABC,【解析】,选C.如图，BCDF，,BC平面PDF.,A正确.由图象知BCPE，BCAE，,BC平面PAE.,DF平面PAE，B正确.,平面ABC平面PAE.D正确.,12.某工厂用圆台形缸盛满食油，已知油缸上、下底面半径分别为40 cm、20 cm，用了37天后，油的高度下降为原来的一半，若每天用油量相等，则剩余的油还能用（ ）,(A)18天 (B)19天 (C)20天 (D)21天,【解析】,选B.设圆台形缸的高度为h，,则37天用去的体积为：,（40,2,+4030+30,2,）,= （cm,3,），,剩余油的体积为：,（30,2,+3020+20,2,） = （cm,3,），,设剩余的油用x天，,则有 ，x=19.,第卷（非选择题 共90分）,二、填空题（每小题5分，共20分）,13.如图B、C、D是边长为2的正方形，A、,E、F是等腰三角形，G是正三角形，此图,沿图中直线可折成一个以这些多边形为面,的多面体，则该多面体的体积是_.,【解析】,将题设中的图折起后，为一正,方体A,1,B,1,C,1,D,1,-ABCD、去掉一个三棱锥,D,1,-A,1,C,1,D后的剩余部分其体积为：,2,3,- 222= .,答案：,14.（2010韶关模拟）将一个钢球置于由6根长度为 m的,钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为_m,3,.,【解析】,设正四面体为P-ABC，点P在底面ABC上的射影为,P、球心为O、正四面体的棱长和高分别为a,H，钢球的半径,为R.由于钢球体积最大时与四个面都相切.由题设点P在底面,ABC中的射影P必是底面ABC的中心.显然O将正四面体分割为,四个体积相同的正三棱锥O-ABC，O-PAB，O-PBC，O-PCA，,所以有 S,底,H=4（ S,底,R） H=4R，,容易求得H= a，代入可求得R= .,所以钢球的最大体积为V= R,3,= .,答案：,15.如图，正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，异面直线BD,1,与A,1,D所成的角,等于_.,【解析】,连AD,1,，则A,1,DAD,1,，,A,1,DAB,，且,AD,1,AB=A,A,1,D,平面,D,1,AB.,又,BD,1,平面,D,1,AB,A,1,DBD,1,BD,1,与A,1,D所成的角为 .,答案：,16.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是_（写出所有正确结论的序号）.,矩形；,不是矩形的平行四边形；,有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；,每个面都是等边三角形的四面体；,每个面都是直角三角形的四面体.,【解析】,画出正方体，从图中观察可看出正确.,答案：,三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤),17.（2010南通模拟）如图，四边,形ABCD为矩形,平面ABCD平面ABE，,BE=BC,F为CE上的一点，且BF平面ACE.,（1）求证：AEBE；,（2）求证：AE平面BFD.,【证明】,（1）平面ABCD平面ABE,平面ABCD平面ABE=AB，,ADAB.,AD平面ABE，ADAE.,ADBC，则BCAE.,又BF平面ACE,则BFAE,BCBF=B,AE平面BCE，,AEBE.,（2）设ACBD=G，连接FG，易知G是AC的中点,BF平面ACE,则BFCE.而BC=BE,F是EC的中点.,在ACE中，FGAE,AE 平面BFD,FG 平面BFD,AE平面BFD.,18. 已知四边形ABCD为矩形，AD=4，,AB=2，E、F分别是线段AB、BC的中点，,PA面ABCD.,（1）求证：PFFD；,（2）设点G在PA上，且EG面PFD，,试确定点G的位置.,【解析】,（1）连接AF，在矩形ABCD中，,AD=4，AB=2，点F是BC的中点，,AFB=DFC=45，,AFD=90，即AFFD，,又PA面ABCD，,PAFD,，,又,AFPA=A,FD,面,PAF,，,PF ,面,PAF,PFFD.,（2）过E作EHFD交AD于H，,则EH面PFD，且AH= AD.,过H作HGPD交PA于G.,则GH面PFD且AG= PA，,面EHG面PFD，,则EG面PFD，,从而点G满足AG= PA，,即G点的位置在PA上靠近A点的四等分点处.,19.（2010广东六校联考）一个多面体的直观图，主视图，左视图如下所示，其中主视图、左视图为边长为a的正方形.,（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；,（2）若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA,1,的中点，求证：OE平面A,1,C,1,C；,（3）求该多面体的表面积.,【解析】,（1）根据多面体的直观图，主视图、左视图，得到俯视图如下,（2）如图，,因为E为AA,1,的中点，O为AC的中点，,所以在AA,1,C中，OE为AA,1,C的中位线，,所以OEA,1,C，,因为OE 平面A,1,C,1,C，A,1,C 平面A,1,C,1,C，,所以OE平面A,1,C,1,C.,（3）多面体表面共包括10个面，,20.（2010南京模拟）如图，四棱锥,P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面,PAD平面ABCD，且E、O分别为PC、BD,的中点.,求证：（1）EO平面PAD；,（2）平面PDC平面PAD.,【证明】,（1）方法一：连接AC.因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点，,又因为点E为PC的中点，,所以EOPA.,因为PA 平面PAD，,EO 平面PAD，,所以EO平面PAD.,方法二：取DC中点F，连接EF、OF.,因为点E、O分别为PC和BD的中点，,所以EFPD，OFBC，,在矩形ABCD中，,ADBC，所以OFAD.,因为OF 平面PAD，,AD 平面PAD，,所以OF平面PAD，同理，,EF平面PAD，OFEF=F，,OF、EF 平面EOF，,所以平面EOF平面PAD.,因为EO 平面EOF，,所以EO平面PAD.,方法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN，,又因为点E、O分别为PC和BD的中点，,所以EO平面PAD.,（2）方法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD.,因为平面PAD平面ABCD，,平面PAD平面ABCD=AD,CD 平面ABCD，,所以CD平面PAD.,又因为CD 平面PDC,所以平面PDC平面PAD.,方法二：在平面PAD内作PFAD，垂足为F，,因为平面PAD平面ABCD，,所以PF平面ABCD，,因为CD 平面ABCD，所以PFCD.,因为四边形ABCD为矩形，,所以CDAD.,因为PFAD=F，,所以CD平面PAD，,又因为CD 平面PDC，,所以平面PDC平面PAD.,21.在直三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中，ACBC，AC=BC=CC,1,，M、N分别是A,1,B、B,1,C,1,的中点.,（1）求证：MN平面A,1,BC；,（2）求直线BC,1,和平面A,1,BC所成角的大小.,【解析】,方法一：（1）由已知,BCAC，,BCCC,1,，,所以BC平面ACC,1,A,1,.,连接AC,1,，则BCAC,1,.,由已知，侧面ACC,1,A,1,是正方形，,所以A,1,CAC,1,.,又BCA,1,C=C，,所以AC,1,平面A,1,BC.,因为侧面ABB,1,A,1,是矩形，M是A,1,B的中点，连接AB,1,，则点M是AB,1,的中点.又点N是B,1,C,1,的中点，则MN是AB,1,C,1,的中位线，,所以MNAC,1,.,故MN平面A,1,BC.,（2）因为AC,1,平面A,1,BC，设AC,1,与A,1,C相交于点D，连接BD，则C,1,BD为直线BC,1,和平面A,1,BC所成的角.设AC=BC=CC,1,=a，,则C,1,D= a，BC,1,= a.,在RtBDC,1,中 ，,sinC,1,BD= ,所以C,1,BD=30，,故直线BC,1,和平面A,1,BC所成的角为30.,方法二：（1）据题意CA、CB、CC,1,两两,垂直，以C为原点，CA、CB、CC,1,所在直,线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直,角坐标系，如图.设AC=BC=CC,1,=a，则,B(0,a,0),B,1,(0,a,a),A(a,0,0),C(0,0,0),C,1,(0,0,a),A,1,(a,0,a),M( , , ),N(0, ,a),所以 =(a,-a,a),=(a,0,a), =(- ,0, ).于是 =0，,=0，即MNBA,1,，MNCA,1,.,又BA,1,CA,1,=A,1,，,故MN平面A,1,BC.,（2）因为MN平面A,1,BC，则 为平面A,1,BC的法向量，,又 =（0，-a,a），则,所以 =60.,故直线BC,1,和平面A,1,BC所成的角为30.,22.（2010九江模拟）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2 ，E、F分别是AB、PD的中点.,(1)求证：AF平面PCE；,（2）求证：平面PCE平面PCD；,（3）求四面体PEFC的体积.,【解析】,（1）设G为PC的中点，连接FG，EG，,F为PD的中点，E为AB的中点，,四边形AFGE为平行四边形,AFGE，,GE 平面PCE，AF平面PCE.,（2）PA=AD=2，AFPD，,PA平面ABCD，,CD 平面ABCD，,PACD.,ADCD，PAAD=A，,CD平面PAD.,AF 平面PAD，AFCD.,PDCD=D，AF平面PCD，,AFGE,GE平面PCD，,GE 平面PCE，,平面PCE平面PCD.,（3）由（2）知GE平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，,又F为PD的中点，,所以S,PCF,=S,CDF,，又CDPD，,S,CDF,= CDDF,= =2.,又EG=AF= ，,四面体PEFC的体积为,V= 2 = .,本部分内容讲解结束,