传染病传播模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,传染病传播模型,传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。,模型 1,（SI 模型）,假设条件,(1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻,t,这两类人在总人数中所占的比例分别记为,s,(,t,) 和,i,(,t,)。,(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数,N,不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数,，,称为,日接触率,。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。,根据假设，每个病人每天可使,s,(,t,) 个健康者变为病人。因为病人数为,Ni,(,t,)，所以每天共有,Ns,(,t,),i,(,t,) 个健康者被感染，即病人数,Ni,(,t,) 的增加率为,Ns,(,t,),i,(,t,)。于是得到人员流程图如下,进而有,再设初始时刻（,t,= 0）病人的比例为,i,0,，则由,s,(,t,) +,i,(,t,) = 1，得到初值问题,Logistic 模型,初值问题的解为,可画出,i,(,t,) ,t,和 d,i,/d,t,i,的图形为,i,(,t,) ,t,的图形,d,i,/d,t,i,的图形,于是可知：, 当,t,时，,i,1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。, 然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当,i,= 1/2时，d,i,/d,t,达到最大值 (d,i,/d,t,),m,，这个时刻为,这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。, 还可以看出，,t,m,与,成反比。因为日接触率,表示给定地区的卫生水平，,越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。,模型 2,（不考虑出生和死亡的 SIS 模型）,有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。,假设条件,(1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻,t,这两类人在总人数中所占的比例分别记为,s,(,t,) 和,i,(,t,)。,(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数,N,不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数,，,称为,日接触率,。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。,(4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数,，称为,日治愈率,。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/,称为这种传染病的,平均传染期,。,如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下,于是有,记初始时刻的病人的比例,i,0,（,i,0, 0），从而 SI模型可以修正为,我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题，其解析解为,其中,=,/,。,由,和 1/,的含义可知，,是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为,接触数,。于是有,我们画出 d,i,/d,t,i,和,i,t,的图形为,d,i,/d,t,i,的图形,（,1）,i,(,t,) ,t,的图形,（,1）,d,i,/d,t,i,的图形,（,1）,i,(,t,) ,t,的图形,（,1）,模型 3,（考虑出生和死亡的 SIS 模型）,当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。,假设条件,(1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻,t,这两类人在总人数中所占的比例分别记为,s,(,t,) 和,i,(,t,)。,(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为,N,，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为,，则人口的平均寿命为 1/,。,(3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数,，,称为,日接触率,。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。,(4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数,，称为,日治愈率,。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/,称为这种传染病的,平均传染期,。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,于是有,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是,s,0,（,s,0, 0）和,i,0,（,i,0, 0），从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为,而由,s,+,i,= 1 有 d,s,/d,t,=,d,i,/d,t,，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为,如果令,=,/(,+,)，则,仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即,接触数,。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。,模型 4,（不考虑出生和死亡的 SIR 模型）,许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。,模型的假设条件为,(1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的,移出者,（Removed）三类，三类人在总人数,N,中占的比例分别为,s,(,t,)，,i,(,t,) 和,r,(,t,)。,(2) 病人的日接触率为,，日治愈率为,，传染期接触数为,=,/,。,(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数,N,不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,由假设条件显然有,s,(,t,) +,i,(,t,) +,r,(,t,) = 1,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是,s,0,（,s,0, 0）和,i,0,（,i,0, 0）（不妨设移出者的初始值,r,0,= 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值问题,而由,s,+,i,+,r,= 1 有 d,r,/d,t,=,d,i,/d,t,d,s,/d,t,，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为,上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。,例如，取,= 1，,= 0.3，,i,(0) = 0.02，,s,(0) = 0.98，则求得数值解如下表，相应的,i,(,t,)、,s,(,t,) 曲线和,i,s,曲线如下图。,t,0,1,2,3,4,5,6,7,8,i,(,t,),0.0200,0.0390,0.0732,0.1285,0.2033,0.2795,0.3312,0.3444,0.3247,s,(,t,),0.9800,0.9525,0.9019,0.8169,0.6927,0.5438,0.3995,0.2839,0.2027,t,9,10,15,20,25,30,35,40,45,i,(,t,),0.2863,0.2418,0.0787,0.0223,0.0061,0.0017,0.0005,0.0001,0,s,(,t,),0.1493,0.1145,0.0543,0.0434,0.0408,0.0401,0.0399,0.0399,0.0398,SIR 模型的,i,(,t,)、,s,(,t,) 曲线,SIR 模型的,i,s,曲线,在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。,事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用,定性理论,从方程本身推出解的相关性质。,对于上述的 SIR,模型，就可以采用,相轨线分析,的方法，来获得,i,(,t,)、,s,(,t,) 的一般变化规律。（参教案，略）,模型 5,（考虑出生和死亡的 SIR 模型）,模型的假设,(1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数,N,中占的比例分别为,s,(,t,)，,i,(,t,) 和,r,(,t,)。,(2) 病人的日接触率为,，日治愈率为,，传染期接触数为,=,/,。,(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为,N,，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为,，则人口的平均寿命为 1/,。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,此时由假设条件有,s,(,t,) +,i,(,t,) +,r,(,t,) = 1,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是,s,0,（,s,0, 0）和,i,0,（,i,0, 0）（不妨设移出者的初始值,r,0,= 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR模型如下,而由,s,+,i,+,r,= 1 有 d,r,/d,t,=,d,i,/d,t,d,s,/d,t,，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为,采用相轨线分析（参见ppt资料,传染病模型1,模型4），可以证明：若,1，则,i,= 0，,s,= 1；若, 1，则,i,=,i,e,，,s,=,s,e,，(,i,e,s,e,) = (1/,(,1)/,)。,ppt资料,传染病模型2侧重于模型分析,谢谢！,