方差的性质

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1,性质,1:,若,X,=,C,，,C,为常数，则,Var,(,X,)=0 .,B.,方差的性质,性质,2,:,若,b,为常数,随机变量,X,的方差存在,则,bX,的方差存在，且,Var,(,bX,) =,b,2,Var,(,X,),Var,(,aX + b,) =,a,2,Var,(,X,),结合性质,1,与性质,2,就有,2,若随机变量,X,1,X,2, ,X,n,的方差都存在，则,X,1,+,X,2,+.+,X,n,的方差存在，且,性质,3:,即,3,若随机变量,X,1,X,2, ,X,n,相互独立，则,性质,4:,n,2,时由于,Var,(,X,Y,)=,Var,(,X,) +,Var,(,Y,),2,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,),若,X,Y,独立，则,Var,(,X,Y,)=,Var(X),+,Var(Y),4,注,：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于,0,。,性质,5:,对任意常数,C, Var,(,X,),E,(,X C,),2,等号成立当且仅当,C = E,(,X,),.,性质,6:,Var,(,X,),= 0,P,(,X = E,(,X,)=1,称,X,以概率,1,等于常数,E,(,X,).,5,例,1.,设,X B,(,n , p,),，,求,Var,(,X,).,解：,引入随机变量,故,则,由于,相互独立,，,且,6,例,2.,标准化随机变量,设随机变量,X,的期望,E,(,X,),、,方差,D,(,X,),都存在,且,D,(,X,), 0,则称,为,X,的标准化随机变量,.,显然,，,7,例,3,.,设,X,1,X,2, ,X,n,相互独立，有共同的期望 和方差 ，,则,:,证明,:,8,例,4.,已知随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立，且每个,X,i,的期望都是0，方差都是1，,令,Y= X,1,+X,2,+X,n,.,求,E(Y,2,).,解：由已知，则有,因此，,9,例,5.,设随机变量,X,和,Y,相互独立,且,X,N(1,2),，,Y,N(0,1),试求,Z,= 2,X,-,Y,+3,的期望和方差。,由已知，有,E(X)=1, D(X)=2,E(Y)=0, D(Y)=1,且,X,和,Y,独立。因此，,D(Z)=,4,D(X),+,D(Y) = 8+1=9.,E(Z)= 2E(X),E(Y)+3 = 2+3=5,解,:,注：由此可知,Z,N(5, 9),。,10,思考：,为什么？,一般地，,11,C.,两个不等式,定理,3.2,(,马尔可夫,(Markov),不等式,),：,对随机变量,X,和任意的,0,，有,证明,:,设,X,为连续型,密度函数为,f,(,x,),则,12,上式常称为,切比雪夫（,Chebyshev,）不等式,在马尔可夫不等式中取,= 2,X,取为,X,-,EX,得,是概率论中的一个基本不等式,.,13,例,6.,已知某种股票每股价格,X,的平均值为,1,元，标准差为,0.1,元，求,a,，使股价超过,1+,a,元或低于,1-,a,元的概率小于,10%,。,解：,由,切比雪夫不等式,令,14,例,7.,在每次试验中，事件,A,发生的概率为,0.75,利用切比雪夫不等式求：,n,需要多么大时，才能使得在,n,次独立重复试验中,事件,A,出现的频率在,0.74,0.76,之间的概率至少为,0.90?,解,:,设,X,为n,次试验中事件,A,出现的次数,，,的最小的,n,.,则,X,B,(,n, 0.75).,而所求为满足,于是,E(X)=0.75n, Var(Y)=0.75*0.25,n,=0.1875,n,15,=,P,(-0.01,n,X,-,0.75,n, 0.01,n,),=,P, |,X,-,E,(,X,)| 0.01,n,P,(0.74,n,X,0.76,n,),可改写为,在切比雪夫不等式中取,n,，,则,=,P, |,X,-,E,(,X,)| 0.01,n,16,解得,依题意，取,即,n,取,18750,时，可以使得在,n,次独立重复试验中,事件,A,出现的频率在,0.74,0.76,之间的概率至少为,0.90 .,17,定理,3.3,(,Cauchy-Schwarz,不等式,),设,EX,2,，,EY,2, 0,Var,(,Y,) 0 ,称,为,X ,Y,的,相关系数,，记为,事实上,，,若,称,X,Y,不相关,.,无量纲,的量,21,利用函数的期望或方差计算协方差,若,(,X ,Y,),为离散型,，,若,(,X ,Y,),为连续型,，,22,求,cov (,X,Y,),XY,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,例,8.,已知,X,Y,的联合分布为,X,Y,p,ij,1 0,1,0,p,0,0,q,0 ,p ,1,p + q =,1,解,:,1 0,p q,X Y,P,23,24,例,9.,设,(,X ,Y,) ,N,(,1,1,2,2,2,2,),求,XY,解,:,25,定理,：若,(,X ,Y,) ,N,(,1,1,2,2,2,2,),则,X,Y,相互独立,X,Y,不相关,因此，,26,例,10.,设,U,(0, 2,),X =,cos,Y =,cos(, +,),是给定的常数，求,XY .,解,:,27,28,协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz,不等式,协方差和相关系数的性质,29,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz,不等式,的等号成立,即,Y,与,X,有线性关系的概率等于,1,，,这种线性关系为,30,X , Y,不相关,注：,X,与,Y,不,相关仅仅是不,线性,相关，可以非线性相关。,31,X,Y,相互独立,X,Y,不相关,若,X , Y,服从二维正态分布，,X,Y,相互独立,X,Y,不相关,32,若,X , Y,是两个随机变量，用,X,的线性函数去,逼近,Y,所产生的均方误差为,当取,使得均方误差最小,.,例：最小二乘法,的思想,若 则线性逼近无意义。,为什么？,33,例,11.,设,(,X ,Y,) ,N,( 1,4; 1,4; 0.5 ),Z = X + Y ,求,XZ,解,:,34,例,12,：,设,X,N,(0,4),Y,P,(,2),XY,=1/2,求,E,(,X,+,Y,),2,.,解,:,E,(,X,+,Y,),2,=,E,(,X,+,Y,),2,+,Var,(,X,+,Y,),注意到,=,EX,+,EY,),2,+,Var,(,X,)+,Var,(,Y,)+2cov(,X, Y,),把条件代入即得,E,(,X,+,Y,),2,=,由题设知,:,EX,=0,Var,(,X,)=4,EY,=2,Var,(Y)=2,XY,=1/2,而,35,设二维随机变量,(,X,Y,),k , l,为非负整数。,m,k,=,E,(,X,k,),称为,X,的,k,阶原点矩，,k,=,E,(,X,-,E,(,X,),k,称为,X,的,k,阶中心矩，,m,kl,=,E,(,X,k,Y,l,),称为,X,和,Y,的,(,k,l,),阶混合原点矩,，,kl,=,E,(,X,-,E,(,X,),k,(,Y,-,E,(,Y,),l,称为,X,和,Y,的,(,k,l,),阶混合中心矩,.,显然数学期望为,1,阶原点矩,方差为,2,阶中心矩,而协方差为,(1,1 ),阶混合中心矩,.,矩,36,例,13.,设,X,服从,N(0,1),分布，求,E(X,3,),E(X,4,),。,解：,X,的密度函数为：,注：此例是,128,页,4.17,的特例。,