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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,概率统计基础知识,质量安全部,1,目录,第二部分,随机变量及其分布,第一部分,概率基础知识,2,概率基础知识,一、事件与概率,（一）随机现象,1,、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。,2,、随机现象的特点：,随机现象的结果至少有两个；,至于哪一个出现，事先人们并不知道。,3,、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。,4,、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为,。,认识一个随机现象首要的就是能罗列出它的,一切可能发生,的基本结果。,3,例,一天内进某超市的顾客数,:,=0,1,2,一顾客在超市购买的商品数,:,=0,1,2,一顾客在超市排队等候付款的时间,:,=,t:t, 0,一颗麦穗上长着的麦粒个数,:,=0,1,2,新产品在未来市场的占有率,:,=0,1,一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间,:,=,t:t, 0,加工机构轴的直径尺寸,:,= ,一罐午餐肉的重量：,= Gg ,概率基础知识,4,（二）随机事件,定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用 大写字母,A,、,B,、,C,等表示。,1,、随机事件的特征,任一事件,A,是相应样本空间,中的一个子集；,事件,A,发生当且仅当,A,中某一样本点发生；,事件,A,的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；,任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是,，它对应的事件就是必然事件，仍用,表示；,任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为,。,概率基础知识,5,2,、随机事件之间的关系,包含：,【,若事件,A,发生必然导致事件,B,发生，则事件,B,包含事件,A,，记为,B,A,或,A,B,。,】,互不相容：,【,若事件,A,与,B,不能同时发生，则称事件,A,与,B,互不相容。,】,（互斥）,两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。,概率基础知识,A,B,B,A,S,A,与,B,互,斥,A,B,6,相等：,【,若事件,A,与,B,有相同的样本点，则称事件,A,与,B,相等。,】,若事件,A,包含事件,B,，事件,B,也包含事件,A,，则称事件,A,和,B,相等。,例,掷骰子：,=,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，设事件,A,=“,等于小于,4,的数”,=1,，,2,，,3,，,4,，事件,B,=“,偶数”,=2,，,4,，,6,，显然,A,与,B,有相同的样本点,2,，,4,，但事件,A,与,B,并不相等。可定义为“若事件,A,与,B,有,完全,相同的样本点，则称事件,A,与,B,相等”。,5,概率基础知识,7,（三）事件的运算,对立事件（又称为互逆事件或逆事件）,【,在,中而不在,A,中的样本点组成的事件称为,A,的对立事件（互逆事件）。记为 （读非,A,）。,】,概率基础知识,互逆事件,A,补充：互斥事件与互逆事件的区别：,互斥事件：若事件,A,与,B,不能同时发生，即,AB = ,，,则称事件,A,与,B,互不相容。,互逆事件：若事件,A+B=,，,AB=,，则称,A,与,B,为互逆事件（对立事件）。, 两事件互逆，必定互斥；但两事件互斥，不一定互逆。, 互斥事件适用于多个事件,但互逆事件只适用于两个事件。, 两事件互斥，只表明两事件不能同时出现，即至多只能出现其中一个，但可以都不出现。两个事件互逆，则表示两个事件之中有且仅有一个出现，即肯定了至少有一个出现。,8,事件,A,与,B,的并（又称为和事件）,【,由事件,A,与事件,B,中所有样本点组成的新事件为,A,与,B,的并，记为,AB,或,A+B,。并事件意味着事件,A,与事件,B,至少有一个发生。,】,概率基础知识,AB,A,B,S,事件,A,与,B,的交（又称为积事件）,【,由事件,A,与事件,B,中公共的样本点组成的新事件称为为事件,A,与,B,的交，记为,AB,，简记为,AB,。交事件意味着事件,A,与事件,B,同时发生。,】,AB,A,B,9,事件,A,对,B,的差,【,由在事件,A,中而不在事件,B,中的样本点组成的新事件称为,A,对,B,的差，记为,A,B,。,】,概率基础知识,A,-,B,B,A,例,：打靶，最高环数为,10,环。若设事件,A =,击中三环以上的事件,=3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,，,10,，事件,B =,最多击中,4,环的事件,= 0,，,1,，,2,，,3,，,4,。,则,A,B = 5,，,6,，,7,，,8,，,9,，,10,=,击中,5,环以上的事件；,另,B,A = 0,，,1,，,2,=,最多击中,2,环的事件,10,概率基础知识,事件运算具有如下性质：,1,、交换律：,A,B,B,A,，,AB,BA,2,、结合律：,(A,B),C,A,(BC),，,(AB)C,A(BC),3,、分配律：,(A,B)C,(AC),(BC),，,(AB),C,(A,C),(B,C),4,、对偶律：,以上性质都可推广到多个事件运算中去。,例,甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以,A,、,B,、,C,分别表示甲、乙、丙命中目标，试用,A,、,B,、,C,的运算关系表示下列事件：,11,（四）概率,事件发生可能性大小的度量,一个随机事件,A,发生可能性的大小用这个事件的概率,P,（,A,）来表示。概率是一个介于,0,到,1,之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。,特别地，不可能事件的概率为,0,，必然事件的概率为,1,。即：,P() = 0 P() = 1,概率基础知识,12,二、概率的古典定义与统计定义,（一）古典定义,用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：,（,1,）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有,n,个样本点；,（,2,）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；,（,3,）若被考察的事件,A,含有,k,个样本点，则事件,A,的概率定义为：,概率基础知识,乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有,n,1,种方法,第二步有,n,2,种方法，则完成这件事共有,n,1,n,2,种方法,加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有,n,1,种方法，第二种途径有,n,2,种方法，则完成这件事共有,n,1,+n,2,种方法。,可以推广到多个步骤和途径事件。,13,（二）统计定义,用概率的统计定义确定概率方法的要点如下：,（,1,）此随机现象是能大量重复试验的；,（,2,）若在,n,次重复试验中，事件,A,发生,k,n,次，则事件,A,发生的频率为,（,3,）频率 会随重复试验次数增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件,A,的概率。,概率基础知识,14,例,投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数,n,的增大，出现正面和反面的频率稳定在,1/2,左右。,概率基础知识,试验的次数,正面,/,试验次数,1.00,0.00,0.25,0.50,0.75,0,25,50,75,100,125,15,三、概率的性质及其运算法则,（一）概率的基本性质及加法法则,性质,1,：概率是非负的，且数值介于,0,与,1,之间，,0 P(A) 1,，特别，,P() = 0, P() = 1,性质,2,： 或,性质,3,：若,A B,，则,性质,4,：,性质,5,：,概率基础知识,16,（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性,（,1,）条件概率与概率的乘法法则,条件概率要涉及两个事件,A,与,B,，在事件,B,已发生的条件下，事件,A,再发生的概率称为条件概率，记为,P(A|B),。条件概率的计算公式为：,性质,6,：（乘法法则）对任意两个随机事件,A,与,B,，有,P,（,AB,）,=P(B)P,（,A|B,）,P(B) 0,=P(A)P,（,B|A,）,P(A) 0,概率基础知识,17,（,2,）独立性与独立事件的概率,设有两个事件,A,与,B,，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件,A,与,B,相互独立。,性质,7,：假如两个事件,A,与,B,相互独立，则,A,与,B,同时发生的概率为,性质,8,：假如两个事件,A,与,B,相互独立，则在事件,B,发生的条件下，事件,A,发生的条件概率,P(A|B),等于事件,A,的,(,无条件,),概率,P(A),。,概率基础知识,18,例,一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示,从这,200,个配件中任取一个进行检查，求,(1),取出的一个为正品的概率,(2),取出的一个为供应商甲的配件的概率,(3),取出一个为供应商甲的正品的概率,(4),已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,甲乙两个供应商提供的配件,正品数,次品数,合计,供应商甲,84,6,90,供应商乙,102,8,110,合计,186,14,200,概率基础知识,19,概率基础知识,解：设,A =,取出的一个为正品,B =,取出的一个为供应商甲供应的配件,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,20,例,某厂生产的产品能直接出厂的概率为,70%,，余下的,30%,的产品要调试后再定，已知调试后有,80%,的产品可以出厂，,20%,的产品要报废。求该厂产品的报废率。,解：设,A=,生产的产品要报废,B=,生产的产品要调试,已知,P(B)=0.3,，,P(A|B)=0.2,，,概率基础知识,21,随机变量及其分布,一、随机变量,1,、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母,X,、,Y,、,Z,等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母,x,、,y,、,z,表示 。,例如，在灯泡寿命试验中，令,X,为“灯泡寿命”,(,小时,),，则,X,为一随机变量。,X500,，,X1000,，,800X1200,等表示了不同的随机事件。,2,、分类：,22,离散型随机变量：假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。,连续型随机变量：假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（,a,，,b,），则称此随机变量为连续随机变量。,二、随机变量的分布,随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描述。认识一个随机变量,X,的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：,（,1,）,X,可能取哪些值，或在哪个区间上取值。,（,2,）,X,取这些值的概率各是多少，或,X,在任一小区间上取值的概率是多少？,随机变量及其分布,23,（一）离散型随机变量的分布,若随机变量,X,只能取有限个值或可列无穷多个值，则称,X,为离散型随机变量。设,X,的所有可能取值为 ，为了描述随机变量,X,，我们不仅需要知道随机变量,X,的取值，而且还应知道,X,取每个值的概率。,定义,1,：设,x,k,(k=1,2, ),是离散型随机变量,X,所取的一切可能值，称,为离散型随机变量,X,的概率分布简称分布列,又称分布律。,其中,(,k,=1,2, ),满足：,（,1,）,k=1,2, ,（,2,）,随机变量及其分布,24,例,某篮球运动员投中篮圈概率是,0.9,，求他两次独立投篮投中次数,X,的概率分布。,解：,X,可取,0,、,1,、,2,为值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81,且,P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1,也可表示为：,这就是,X,的概率分布列。,随机变量及其分布,25,（二）连续型随机变量,连续型随机变量的分布可用概率密度函数,p(x),表示，也可以用,f(x),表示。连续型随机变量还可用概率分布函数,F(x),表示。对连续型随机变量,X,，如果存在非负可积函数,(x),，使得对任意实数,x,，有,则称,(x),为,X,的概率密度函数，简称概率密度或密度。,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 若已知连续型随机变量,X,的密度函数为,f(x),则,X,在任意区间,G(G,可以是开区间,也可以是闭区间,;,可以是有限区间,也可以是无穷区间,),上取值的概率为：,随机变量及其分布,26,随机变量及其分布,27,三、随机变量分布的均值、方差与标准差,随机变量,X,的分布（概率函数或密度函数）有几个很重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。,两个最重要的特征数：,1),均值：表示分布的中心位置，,E(x),2),方差：表示分布的散布大小，,Var(x),1,、均值的计算公式,随机变量及其分布,28,2,、方差的计算公式,3,、标准差的计算公式,随机变量及其分布,29,随机变量及其分布,30,均值与方差的运算性质：,（,1,）设,X,为随机变量，,a,与,b,为任意常数，则有：,E(aX+b) = aE(X) + b,Var (aX+b) = a,2,Var(X),（,2,）对,任意,两个随机变量,X,1,与,X,2,，有：,E(X,1,+ X,2,) = E( X,1,) + E( X,2,),（,3,）设随机变量,X,1,与,X,2,独立,，则有：,Var(X,1, X,2,) = Var( X,1,) +Var ( X,2,),随机变量及其分布,31,四、常用分布,（一）常用离散型分布,常用离散型随机变量的分布有：单点分布（退化分布）、两点分布（,0-1,分布）、几何分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等，按教材重点介绍后三种。,随机变量及其分布,32,1,、二项分布,1,）重复进行,n,次试验；,2,）,n,次试验间相互独立；,3,）每次试验仅有两个可能结果；,4,）成功的概率为,p,，失败的概率为,1-p,；,在上述四个条件下，设,x,表示,n,次独立重复试验中成功出现的次数，则有,这个分布称为二项分布，记为,b,（,n,，,p,）。,均值：,E(x)=np,方差：,Var(x)= np (1-p),随机变量及其分布,33,例,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为,0.0001,在每天的该段时间内有,1000,辆汽车通过,问出事故的次数不小于,2,的概率是多少,?,解：设,1000,辆车通过，出事故的次数为,X,，则,故所求概率为,二项分布 泊松分布,随机变量及其分布,34,2,、泊松分布,在一定时间内出现在空间给定区域的随机质点的个数为,k,的概率服从泊松分布：,泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布。,例如：,1,）一块钢板上的气泡数；,2,）一本书上面的印刷错误；,3,）排队等候的人数；,4,）某地区某月发生的交通事故；,这个分布就称为泊松分布，记为,P(),。其均值、方差、标准差为：,E(x) = Var(x)= (x) =,随机变量及其分布,35,例,一大批产品，其废品率为,0.015,，求任取,100,件产品，其中有,1,件不合格品的概率。,解：此时,n,= 100,p,= 0.015,，,np,= 1.5,若按二项分布计算：,若按泊松分布计算：,比较两种计算结果可以看出，两者计算结果的误差不超过,1%,。,随机变量及其分布,36,3,、超几何分布,其中，,r,=,min,（,n,，,M,），这个分布称为超几何分布，记为,h,（,n,，,N,，,M,）。,其均值、方差为：,超几何分布用于从有限的整体中进行不放回抽样。,随机变量及其分布,37,例,在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有,10,个红球和,20,个白球，这些球除颜色外完全相同,.,游戏者一次从中摸出,5,个球,.,至少摸到,3,个红球就中奖，求中奖的概率。,解：,设摸出红球的个数为,X,则,X,服从超几何分布,其中,于是由超几何分布模型得中奖的概率,0.191,随机变量及其分布,38,常用离散型随机变量分布汇总,名 称,符 号,均 值,方 差,二项分布,b,(,n,p,),np,np,(1-,p,),超几何分布,h,(,n,N,M,),泊松分布,P,(),随机变量及其分布,39,（二）正态分布,1,、正态分布的概率密度函数,它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。,正态分布有两个参数,和,，常记为,N,（,，,2,）。,随机变量及其分布,40,2,、标准正态分布,= 0,且,= 1,的分布称为标准正态分布，记为,N,（,0,，,1,）。也记为,U,。,1,）标准正态分布表,P( Ua ) = P(U a ) = 1-(a), ( - a) = 1-(a), P(a U b) = (b) -(a), P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a),= 2 (a) -1,随机变量及其分布,41,3,、标准正态分布的分位数,分位数是一个基本概念，结合标准正态分布,N,（,0,，,1,）来叙述分位数概念。,一般说来，对任意介于,0,与,1,之间的实数,，标准正态分布,N,（,0,，,1,）的,分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为,，它的右侧面积恰好为,1-,，用概率的语言来说，,分位数是满足下列等式的实数：,P,(,U,u,) = ,关于分位数的正负符号问题：,0.5,分位数,即,50%,分位数,也称为中位数。在标准正态分布场合：,u 0.5 = 0,当, 0.5,时, u 0.5,时, u 0 (,正数,), ,或,1 - ,永远为正（概率必为正）,u,与,- u,对应（下标相同，加负号）,u,与,u,1-,对应（下标不同，不加负号）,随机变量及其分布,42,4,、有关正态分布的计算,正态分布计算是基于下面的重要性质：,性质,1,：,性质,2,：设,X,N,（,，,2,），则对任意实数,a,、,b,有：,随机变量及其分布,43,例,某产品的质量特性,X N(16, ,2,) ,若要求,P(12 X 20)0.8,，则,最大值应为（ ）,A,、,u,0.9,/ 4 B,、,4 / u,0.9,C,、,u,0.9,/ 2 D,、,2 / u,0.9,解：,随机变量及其分布,44,产品质量特性的不合格品率的计算,1,、质量特性,X,的分布，在受控的情况下，常为正态分布；,2,、产品的规范限，常包括上规范限,T,U,和下规范限,T,L,。,产品质量特性的不合格品率为：,p,=,p,L,+,p,U,随机变量及其分布,45,例,某厂生产产品的长度服从,N,(10.05 , 0.05,2,) (,单位,cm,),，规定长度在,10.00,cm,0.10,cm,内为合格品,则此产品不合格的概率是,( ),A,、,(3) + (1) B,、,(3) - (1),C,、,1- (1) + (-3) D,、,(1)- (-3),解,:,T,L,=10.00 0.10 =9.90,T,U,= 10.00+0.10=10.10,p,L,=,P,(,X,T,U,) = 1- (1),p,=,p,L,+,p,U,= 1- (1) + (-3),随机变量及其分布,46,（三）其他连续分布,1,、均匀分布,其均值、方差为：,随机变量及其分布,47,例,某公共汽车站从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30,，,7:45,等时刻，如果乘客到达此站时间,X,是,7:00,到,7:30,之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于,5,分钟的概率。,解：依题意可知，,X,U (0 ,30),，即,为使候车时间,X,少于,5,分钟，乘客必须在,7:10,，到,7:15,之间，或在,7:25,到,7:30,之间到达车站，则,随机变量及其分布,48,2,、对数正态分布,1,）在正半轴（,0,，）上取值；,2,）这些随机变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，因此也称为“右偏分布”。,3,）最重要的特征：若随机变量,X,服从对数正态分布，而经过对数变换,Y = lnX,后服从正态分布。,其均值、方差为：,随机变量及其分布,49,3,、指数分布,其均值、方差为：,E,（,X,）,= 1/,Var,（,X,）,= 1/ ,2,随机变量及其分布,50,例,电子元件的寿命,X(,年）,服从,3,的指数分布,(1),求该电子元件寿命超过,2,年的概率。,(2),已知该电子元件已使用了,1.5,年，求它还能使用,2,年的概率为多少？,解：,由已知得,X,的概率密度为,随机变量及其分布,51,随机变量及其分布,52,常用连续型随机变量汇总,名称,符号,均值,方差,正态分布,N,(,2,),2,均匀分布,U,(,a,，,b,),（,b,+,a,）,/2,(,b,-,a,),2,/12,对数正态分布,LN,(,2,),指数分布,Exp,(),1/ ,1/ ,2,随机变量及其分布,53,五、中心极限定理,中心极限定理：设,X,1,，,X,2,，,X,n,为相互独立同分布的随机变量，均值,、,2,都存在，则在,n,较大时，样本均值 的分布总是近似服从正态分布,。,54,谢谢,!,55,
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