巧用二次求导解决函数单调性和极值问题

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2017/11/8,#,巧用二次求导解决函数单调性和极值问题,深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作,导 言,在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求,的零点；列出,的变化关系表；根据列表解答问题。,而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。,一二阶导数与凸性,一二阶导数与凸性,定义,1,.,设,在区间,I,上连续，如果对,I,上任意两点,与,，,恒有 ，那么称,在,I,上的图形是凹的；,如果恒有 ，那么称,在,I,上的图形是凸的；,定理,1,设 在,上连续，在,内可导，那么：,（,1,）若在,内,单调增加，则,在,上的图形是凹的；,（,2,）若在,内,单调减少， 则,在,上的图形是凸的；,一二阶导数与凸性,定理,2,设 在,上连续，在,内二阶可导，那么：,（,1,）若在,内,，则,在,上的图形是凹的；,（,2,）若在,内,，则,在 上的图形是凸的,凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识,因此,它不属于高中数学的研究范畴,但是,近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。,凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合,的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。,二二阶导数与极值,二二阶导数与极值,在高中，判断函数是否在,取得极值，经常是利用函数导数在,两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断,是否为函数的极值点。有如下的判定定理：,定理,3,设函数,在点 处具有二阶导数且,，,，那么,（,1,）,当 时，函数,在,处取得极大值；,（,2,）,当,时，函数,在,处取得极小值,典型例题讲解,例题,1,、已知函数,，求函数,的单调区间。,解：,的定义域是 .,设,则,典型例题讲解,当,当,时,所以,函数,上是减函数,.,当,当,所以，函数 的单调递增区间是 ，递减区间是,.,典型例题讲解,例题,2,、设函数,（,）若,求 的单调区间；,（,）若当 时，,。求 的取值范围。,典型例题讲解,（,2,）、解：当,a,0,时，在区间,上显然,，综上,(1),可得在区间,上,成立。故,a,0,满足题意。,当,a,0,时，,，,，,显然,，,当,在区间,上大于零时，,为增函数，,，满足题意。而当,在区间,上为增函数时，,，也就是说，要求 在区间,上大于等于零，又因为,在区间,上为增函数，所以要求,，即,，解得,。,综上所述，,a,的取值范围为,。,典型例题讲解,例题,3,、已知函数,.,（,）若,，求,的取值范围；,（,）证明：,解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。,而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用,去分析,的单调性受阻。,典型例题讲解,我们可以尝试再对,求导，可得,，显然当,时，,；当,1,时，,0,，即,在 区间 上为减函数，所以有当,0,x,时， ，我们通过二次求导分析,的单调性，得出当,0,x,时,，则,在区间,上为增函数，即,，此时， 则有,成立。,下面我们在接着分析当,1,x,时的情况，同理，当,1,x,时，,0,，即,在区间,上为增函数，则,，此时，,为增函数，所以,，易得,也成立。,综上，,得证。,典型例题讲解,例题,4,、设,a,为实数，函数,。,（,）求,的单调区间与极值；,（,）求证：当,a,且,x,0,时，,。,（,）解：设 ，则：,0,+,减,极小值,增,典型例题讲解,由上表可知,，而,由,a ,知,0,，所以,0,，,即 在区间,上为增函数。,于是有,，而,故,0,，即当,a,且,x0,时，,课后练习题,设函数,，,（,）证明：当 时，,（,）设当,时， ，,求,a,的取值范围,。答案：,