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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,力系分类,平面特殊力系,平面任意力系（平面一般力系）,平面汇交力系,平面力偶系,平面平行力系,空间特殊力系,空间任意力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间平行力系,解决的问题：力系的合成与平衡问题,9/21/2024,1,第三章 力系简化的基础知识,3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件,3-2 力对点之矩,3-3 力偶力偶矩,3-4 平面力偶系的合成与平衡条件,3-5 力的等效平移,力系简化的基础知识,9/21/2024,2,本章主要内容：,汇交力系（平面汇交力系）合成与平衡条件,力对点之矩（力矩）,力偶与力偶矩,力偶系及平衡条件,力的等效平衡,力系简化的基础知识,9/21/2024,3,（一）汇交力系,：,作用在物体上的各个力，如果其作用线交汇于同一点，则称该力系为汇交力系。,平面汇交力系：作用在刚体上的各个力，其作用线位于同平面内，且交汇于同一点，则称该力系为平面汇交力系。,F,1,F,2,F,3,A,3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件,力系简化的基础知识,9/21/2024,4,图示平行四边形法则( 三角形法则),Y,X,F,1,F,2,R,R,F,1,F,2,R,F,1,F,2,力系简化的基础知识,9/21/2024,5,1,、二力汇交的合成 ：,平行四边形法则（三角形法则）：作用在物体上同一点的二个力可以合成为一个合力；反之，一个合力可以分解成任意二个方向的分力。只要知道一个分力的大小、方向，即可根据平形四边形法则确定另一个分力的大小方向。,三角形法则：将两分力按其方向及大小首尾相连，则始点到终点的连线即为合力。该法则也称为三角形法则。,力系简化的基础知识,9/21/2024,6,2,、平面汇交力系的合成,力多边形法则（几何法）,各分力的矢量和为合力矢,R,力系简化的基础知识,F,R,F,R,F,12,F,23,F,1,F,2,F,3,F,4,F,1,F,2,F,3,F,4,力的平行四边形法则：,汇交力系的几何法合成：力的多边形法则,9/21/2024,7,力系简化的基础知识,9/21/2024,8,3,、力的投影：力在轴上的投影（一般在,X,、,Y,方向），来源于平行光照射下物体影子的概念。为了便于代数运算，一般选择正交的坐标轴,X,、,Y,方向投影。力的投影是代数量，与坐标轴正方向相同为正,。,x,x ,A,B,a,b,力系简化的基础知识,9/21/2024,9,力在坐标轴上的投影的定义：线段,ab,的长度并冠以适当的符号，称为力在轴上的投影，记为,Fx,。投影为正：从,a,到,b,的指向与投影轴,x,正向一致。投影为负：从,a,到,b,的指向与投影轴,x,正向相反。关于投影的数学定义：,F,x,=,Fn,x,（X=Fcos,）,n,x,：,是轴,x,的方向矢量,合力投影定理：力系的合力在任一轴上的投影等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。这个定理可以由力的多边形法则直接导出（教材图37）可证： F,1,、F,2,、F,3,、F,4,的矢量和为AE，分别的投影为ab、bc、cd、de，其代数和为AE的投影ae。,力系简化的基础知识,9/21/2024,10,力系简化的基础知识,9/21/2024,11,x,y,F,1,F,n,F,2,F,i,x,y,R,y,R,x,R,4、平面汇交力系的合成与平衡，解析法：（1）合成：平面汇交力系可以合成为一个合力，合力作用在该力系的汇交点上，合力的大小和方向由各个分力分别在两个不平行方向上（x轴与y轴）投影之和来确定。,R,x,=,F,ix,=X,i,R,y,=,F,iy,=Y,i,力系简化的基础知识,9/21/2024,12,R=,R,x,2,+R,y,2,= （,F,ix,）,2,+（,F,iy,）,2,COS,= COS =,R,x,R,R,R,x,（2）平衡（解析法）：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力为零，即力系的矢量和为零。合力在任意两个不平行方向上投影同时为零，或各力矢量分别在该二方向上的投影的代数和同时为零。,力系简化的基础知识,平面汇交力系平衡,F,x,=0,F,y,=0,R=,F,i,=0,9/21/2024,13,平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。,平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形是自身封闭的力多边形。,例题3-1、3-2 P22-23,F,1,F,2,F,i,F,n,力系简化的基础知识,9/21/2024,14,例3-1 求图示平面汇交力系的合力。已知：,F,1,=3kN，F,2,= 5kN，F,3,=6kN，F,4,=4kN。,x,y,F,1,45,F,2,30,F,4,F,3,60,R,x,=3cos45,+5cos30-6cos60-4 =-0.549kN,R,y,=3sin45,-5sin30-6cos60-0=-3.379kN,R=,(-0.549),2,+(-3.379),2=,3.423kN,=arc cos(-0.549)/3.423=260.8,(,R,指向第三象限）,力系简化的基础知识,9/21/2024,15,力系简化的基础知识,9/21/2024,16,力系简化的基础知识,9/21/2024,17,力系简化的基础知识,3-2 力对点的之矩,：,G,F,9/21/2024,18,力,F,对,O,点的矩,：,d为,O,点到力,F,作用线的（垂直）距离如教材图,3,13,所示：记为,m,O,（,F,）,=Fr cos,，单位：,N,m,（牛顿米）；,其中，为位矢r的垂直方向的夹角，,即,r,与d之间的夹角；P25,矩心O,力臂d,位矢r,A,B,F,力系简化的基础知识,9/21/2024,19,矩心O,力臂d,位矢r,A,B,F,力矩的性质：,力通过矩心，其矩为零；力沿作用线移动，不改变其矩；等值、反向、共线的两力对同一点矩之和为零；相对于矩心作逆时针转动的力矩为正；反之为负。力矩的数学定义：,m,O,（,F）=r F,m,O,（,F）=,2OAB面积,力系简化的基础知识,9/21/2024,20,合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。,数学形式：,例：按图中给定的条件，计算力F对A点的矩。,F,A,a,b,m,A,（,F,）=Fa sin, - Fb cos ,力系简化的基础知识,空间：M,o,（R）,=r,R,=r,（F,i,）,= r,F,i,= ,M,o,（,F,i,）,平面：,M,O,(,R,),=,M,O,(,F,i,),9/21/2024,21,力偶定义：由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成力偶 。对物体产生转动效应，为一新物理量。,如司机两手转动方向盘，产生转动的作用。,记号：m（F，F）=m,F,F,d,力系简化的基础知识,3-3 力偶与力偶矩,9/21/2024,22,性质1：,无合力，故不能与一个力等效在任一轴上投影的代数和均为零；,非平衡力系，不共线的相反平行力产生,转动效果。,所以，力偶与力分别是力学中的两个基本要素。,力偶矩力偶对物体转动效果度量，平面力偶为一个代数量，其绝对值等于力与力偶臂的乘积；其正负号表示力偶的转向，规定逆时针转向为,正，反之为负。m=F*d,力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。对应于式中的：,F,、,d,（二力作用线的矩）、,号（定义逆时针转为正）,力系简化的基础知识,9/21/2024,23,性质,2.,：力偶作用的转动效果与矩心位置无关，完全由力偶矩确定。,m,o,（,F,）+ m,o,（,F,）=F*（d+x）-F*x=F*d=m,推理,1,：力偶可以在其作用面内任意移动，不会改变它对刚体的作用效果。力偶矩的大小及转向：大小等于组成力偶的两个力对任一点之矩的代数和；转向由代数值的符号确定，逆时针为正。,F,F,d,O,x,力系简化的基础知识,9/21/2024,24,推论,2,：力偶矩大小只与乘积,Fd,有关，按比例任意改为,nF,*,d/n=F,d,，乘积不变。,教材图,3,17,中的三种力偶表示，均为相同的力偶作用力偶矩相等。,10N,1m,=,2m,5N,=,m=10Nm,力系简化的基础知识,9/21/2024,25,力偶等效定理：,力系简化的基础知识,9/21/2024,26,平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为 合力偶，合力偶矩等于平面各分力偶矩的代数和。,M,1,+m,2,+m,n,= m,i,=m,力系简化的基础知识,3-4 平面力偶系合成与平衡条件,9/21/2024,27,力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似，力偶系的平衡即为力偶系的作用不能使物体发生变速转动，物体处于平衡状态，其合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代数和等于零。m=,m,i,=0,平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和等于零。,m,i,=0,力系简化的基础知识,9/21/2024,28,力系简化的基础知识,9/21/2024,29,思考题：,带有不平行二槽的矩形平板上作用一力偶,m,。今在槽内插入两个固定于地面的销钉，若不计摩擦则,。,A 平板保持平衡;,B,平板不能平衡;,C,平衡与否不能判断。,刚体作平面运动,N,A,和N,B,不能够成力偶与主动力偶构成平衡力偶系,A,B,m,N,A,N,B,槽,力系简化的基础知识,9/21/2024,30,力的等效平移定理是力系简化的基础。,力的平移定理：P30,在同一刚体上,A,点的力,F,可以等效地平移到任意一点,B,。但必须附加一个力偶，其力偶矩等于,F,对作用点,B,的之矩。如图所示：,力系简化的基础知识,3- 5 力的等效平移,9/21/2024,31,F,附加力偶m,作用在刚体上A点的力,F,可以等效地平移到此刚体上的任意一点B，但必须附加一个力偶m，且：m=,M,B,(,F,)=,Fd,。,F,A,刚体,B,A,刚体,B,d,力系简化的基础知识,9/21/2024,32,（,2,）附加力偶的力偶矩等于原来的,F,对新的作用点,B,的矩。力向一点平移表明，一个力向任一点平移，得到与之等效的一个力和一个力偶。,反之，作用在同一个刚体内的一个力和一个力偶，也可以合成为作用于某一点的一个力。,力的可传性：作用于刚体上的力，其作用点沿作用线移动，而不会改变力对刚体的作用效应，称为,推论,1,、平移的可逆，一个力和一个力偶平移可以等效为作用在某个点的一个力。,推论,2,、,.,若,B,在,F,的作用线上，,m=0,力的可传性。,力系简化的基础知识,9/21/2024,33,例2 图示门式刚架，已知：,P,=20KN，不计刚架自重，求：支座,A、D,的约束反力。,P,B,A,C,D,D,P,B,A,C,8m,4m,F,D,F,A,P,F,D,F,A,解：1选取研究对象：“刚架”,画受力图,2,选取适当的比例尺，作封闭的力多边形,10KN,a,b,c,3,求解未知量：可由图中直接量取,:,F,A,=,22.5KN,F,D,=,10KN；,亦可由几何关系计算出未知量：,tg,=1/2，cos=2/5,F,D,=P tg,=20/2=10kN，F,A,=P/cos,=20/（2/5）=22.4kN,力系简化的基础知识,9/21/2024,34,P,B,A,C,D,F,D,F,A,选取适当的坐标轴,列平衡方程,F,x,=0 P -,F,A,cos, = 0,F,y,=0 F,D,-,F,A,sin, = 0,D,P,B,A,C,8m,4m,注意：,应使所选坐标轴与尽可能多的未知量相垂直，若所选坐标轴为水平或铅直方向，则在受力图中不用画出，否则，一定要画出。,力系简化的基础知识,9/21/2024,35,例3 已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶,M,1,为已知，求：支座,A、B,的约束反力及主动力偶,M,。,A,B,C,D,E,M,M,1,45,0,a,解：,“,BD,”,B,D,E,M,1,F,E,F,B, M,= 0,M,1,- F,E,a,= 0,F,B,=,F,E,= M,1,/ a,F,B,F,A,“系统”,系统受力偶作用，又只在E,、B,两点受力，则该两点的力必形成一力偶。,F,A,=,F,B,= M,1,/ a,槽,力系简化的基础知识,9/21/2024,36,例4 连杆机构,OABC,受铅直力P和水平力,F,作用而在图示位置平衡。已知,P,=4kN，不计连杆自重，求力,F,的大小。,A,F,P,B,O,C,60,0,120,0,A,F,P,B,解：“,B,”,F,ABB,F,BCB,F,ABA,F,AOA,y,F,y,=0,F,ABB,= P,“,A,”,F,x,=0,F,=,F,ABA,cos,30,0,F =,P,cos,30,0,P,cos60,0,-,F,ABB,cos,60,0,= 0,F,ABA,cos,30,0,-,F,= 0,=,F,ABB,cos,30,0,X,X,力系简化的基础知识,9/21/2024,37,0.6m,0.4m,C,B,A,F,30,0,例4、已知：机构如图，,F,= 10kN，,求：,M,A,(F),=,?,d,F,x,F,y,解:,方法一:,M,A,(F) = -,Fd,= - 10, 0.6, sin60,0,方法二:,M,A,(F),= -,F,cos,30,0,0.6 + 0,= - 10, 0.6, cos30,0,F,x,=,F,cos,30,0,M,A,(F,x,),F,y,= -,F,sin,30,0,M,A,(F,y,),= 0,M,A,(F) = M,A,(F,x,) + M,A,(F,y,),力系简化的基础知识,9/21/2024,38, M = 0,M,1,- F,B,0 - M = 0,M,= M,1,A,B,C,D,E,M,M,1,45,0,a,F,B,F,A,槽,力系简化的基础知识,9/21/2024,39,例5：已知:,结构受力如图所示,图中,M,r,均为已知,且,l,=2,r,.,试:,画出,AB,和,BDC,杆的受力图;,求,A,C,二处的约束力.,力系简化的基础知识,9/21/2024,40,受力分析:,1.,AB,杆为二力杆;,讨论,怎样确定,B、C,二处的约束力,2.,BDC,杆的,B,、,C,二处受力必形成有力偶，才能和主动力偶相平衡。,力系简化的基础知识,9/21/2024,41,已知杆,AB,和杆,CD,的自重不计，,且在,C,处光滑接触，若作用在杆,AB,上的,力偶的矩为,m,1,，则欲使系统保持平衡，,作用在,CD,杆上的力偶的矩的,m,2,转向如,图示，其矩为,。,A：,m,2,= m,1,;,B：,m,2,=,4,m,1,/,3,;,C：,m,2,=,2,m,1,。,a,m,1,A,D,B,60,0,C,m,2,a,A,力系简化的基础知识,9/21/2024,42,铰接四连杆机构,O,1,ABO,2,在图示位置平衡。已知,O,1,A=,40cm, O,2,B=,60cm，作用在杆,O,1,A,上的力偶的力偶矩,m,1,=1Nm。试求杆,AB,所受的力,S,和力偶矩,m,2,的大小。各杆重量不计。,B,A,m,1,O,1,O,2,m,2,30,0,力系简化的基础知识,9/21/2024,43,力系简化要点:,1,力的分解与合成,几何法：力的平行四边形法则；三角形法则；力多边形法则。,解析法：合力投影定理,2,汇交力系的平衡条件,3,、力对点之矩的计算，逆时针为正。,力系简化的基础知识,9/21/2024,44,4,力偶与力是力学中的两个基本要素,力偶不能与一个力等效,5,力偶矩为力偶对物体转动效应的度量，与矩心位置无关。,6,合力偶,7,力偶系的平衡条件,力系简化的基础知识,9/21/2024,45,8,几个基本等效：,（,1,）平行四边形法则,二个分力,F,1,、,F,2,等效一个力,（,2,）力偶等效,大小相等、方向相反、相距,d,的一对力,F,等效于一个力偶：,m = Fd,（,3,）力向一点平移及力的可传性,平移：,A,B,，应有,F,及,m,当,B,在,F,作用线上时，附加力偶,m=0,，称为力的可传性。,力系简化的基础知识,9/21/2024,46,四、作业习题分析,1习题311,（1）求铰B的支座反力：,（2）求铰A的支座反力：,2.习题314,（1）求铰B的支座反力：,（2）求铰A的支座反力：,第三章习题：3-5、39a、b、c、d、e、f，311，314,力系简化的基础知识,9/21/2024,47,A,B,C,D,E,a,m,a,a,3-14.图示结构受一已知力偶的作用，试求铰A和铰E的约束反力。,解（,1）取EC和CD为分离体,C,D,E,m,N,E,45,N,D,45,m,i,=0，N,E,acos45-m=0,N,D,=N,E,=2m/a,（2）取整体为分离体,m,i,=0， N,A,*2a-m=0,N,A,=N,B,=m/（2a）,N,A,N,B,力系简化的基础知识,9/21/2024,48,