建模培训课件

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,数学建模培训,1,模拟的概念,模拟,就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法,模拟的基本思想,是建立一个试验的模型，这个模型包含所研究系统的主要特点通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息,.,2,模拟的方法,1,物理模拟：,对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿,例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等,物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等,3,在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟,2,数学模拟,计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易,数学模拟的分类：,（,1,）确定情况下的模拟,（,2,）随机情况下的模拟,4,例,1,：舰艇追击实验（确定情况下的模拟）,某缉私舰雷达发现距离,d=10km,处有一艘走私船正以速度,u=8km/h,匀速沿直线行驶，缉私舰立即以速度,v=12km/h,追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私船追逐路线和追上的时间。,5,理论求解结果,根据微分方程建模和求解结果可知：,缉私舰追击曲线为：,6,计算机仿真实验,7,8,模拟练习,:,追逐问题,例,追逐问题,:,如图,正方形,ABCD,的,4,个顶点各有,1,人,.,在某一时刻,4,人同时出发以匀速,v,=10m/s,按顺时针方向追逐下一人,如果他们始终保持对准目标,则最终按螺旋状曲线于中心点,O,.,试求出这种情况下每个人的行进轨迹,.,假设四个人的初始点坐标为：,A(0,100),B(100,100),C(100,0),D(0,0),O,B,C,D,A,9,在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用,这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择,蒙特卡罗（,Monte Carlo,）方法,是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数,10,产生模拟随机数的计算机命令,在,MATLAB,软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如下：,2,产生,m,n,阶，均匀分布的随机数矩阵：,rand (m, n),产生一个，均匀分布的随机数：,rand,1,产生,m,n,阶,a,，,b,上,均匀分布,U,（,a,，,b,）的随机数矩阵：,unifrnd (a,b,m, n),产生一个,a,，,b,均匀分布的随机数：,unifrnd (a,b),当只知道一个随机变量取值在（,a,，,b,）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用,U,（,a,，,b,）来模拟它,11,当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布,机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布,12,若连续型随机变量,X,的概率密度函数为,其中,0,为常数，则称,X,服从,参数,为 的,指数分布,指数分布的期望值为,排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布,指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用,注意：,MATLAB,中，产生,参数,为 的指数分布的命令为,exprnd,( ),例,顾客到达某商店的间隔时间服从参数为,0.1,的指数分布,指数分布的均值为,1/0.1=10,指两个顾客到达商店的平均间隔时间是,10,个单位时间,.,即平均,10,个单位时间到达,1,个顾客,.,顾客到达的间隔时间可用,exprnd(10),模拟,13,设离散型随机变量,X,的所有可能取值为,0,1,2,且取各个值的概率为,其中,0,为常数，则称,X,服从参数为 的,泊松分布,泊松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等领域有广泛应用,泊松分布的期望值为,14,例,2:,报童模型,问题,报童售报：,a,(,零售价,),b,(,购进价,),c,(,退回价,),售出一份赚,a-b,；退回一份赔,b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多,卖不完退回赔钱,购进太少,不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,每天收入是随机的,存在一个合适的购进量,等于每天收入的期望,15,建模,设每天购进,n,份，,日平均收入为,G,(,n,),调查需求量的随机规律,每天需求量为,r,的概率,f,(,r,), r,=0,1,2,准备,求,n,使,G,(,n,),最大,已知售出一份赚,a-b,；,退回一份赔,b-c,16,求解,将,r,视为连续变量,17,实际算例：,18,例,3,：随机模拟,(,排队论模型,),考虑一个收款台的排队系统。某商店只有一个收款台，顾客到达收款台的时间间隔服从平均时间为,10s,的指数分布。指数分布密度函数为,每个顾客的服务时间服从均值为,6.5s,，标准差为,1.2s,的正态分布。试计算顾客在收款台的平均逗留时间，系统的服务强度（服务占所有时间之比）。,19,实验作业（赌徒输光问题）,两个赌徒甲、乙将进行一系列的赌博。在每一局中甲获胜的概率为,p,，而乙获胜的概率为,q,，,p+q=1,。在每一局后，失败者都要付一元钱给胜利者。在开始时甲拥有资本,a,元，而乙有资本,b,元，两个赌徒直到甲输光或乙输光而停止赌博。求甲输光所有钱的概率。请给出,p=0.2,a=10,b=8,的实际结果。,20,利用概率论的相关知识可以计算出概率为：,21,利用随机模拟方法可以计算,function Po,P=dt(a,b,p,m,N),%,输入赌徒甲的初始资金,a,乙为,b,%,输入,p,为甲获胜的概率，,m,为随机数状态,%N,为模拟次数,S=0;,rand(state,m); %,设置随机数状态,for k=1:N;,at=a;,bt=b;,while at0.5,r=(randp)-0.5*2; %,算输赢,at=at+r;,bt=bt-r;,end,S=S+(at0.5); %,累加甲输的次数,end,P=S/N; %,模拟的概率值,g=p/1-p;,Po=1-gb/1-g(a+b); %,概率的理论值,22,