资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 无穷级数,无穷级数是高等数学的一个重要内容，无论在数学理论本身还是在实际中的应用都是一个非常有利的工具.本章主要研究常数项级数的概念及其收敛准则，然后讨论函数项级数，主要讨论幂级数以及如何将函数展开成幂级数的问题.,1,7.1,常数项级数的概念和性质,7.2,常数项级数的审敛法,7.3,幂级数,7.4,函数展开成幂级数,第七章,2,小结,级数的概念,级数的基本性质,问题的提出,7.1 常数项级数的概念,第七章 无穷级数,3,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,无穷级数,，,其中第,n,项,叫做,级数的一般项,级数的前,n,项和,称为,级数的部分和.,次相加, 简记为,定义1：,一、级数的定义,定义2：,4,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称,无穷级数发散,.,显然,则称,无穷级数,收敛,并称,S,为级数的和,定义3：,5,证明：,例题一,显然：,因此级数是,发散的,。,证明级数,是发散的。,级数得部分和为：,6,证明：,例题二,矛盾，故假设不成立因此级数是,发散的,。,证明级数,是发散的。,假设级数收敛，其和为S，则有：,调和级数是,发散的。,则有：,但有：,7,解,因为,从而,例题三,拆项相消法。,8,解,练 习1,9,判别 级数的敛散性:,解:,所以级数发散,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,练 习2,10,例.,讨论等比级数,(又称几何级数),(,q,称为公比 ) 的敛散性.,解:,1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,11,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,12,解,练 习3,13,结论,:,乘上一个不为零的数不改变级数的敛散性.,结论:,收敛级数的和（或差）仍然收敛.,1,2,三、基本性质,14,解,练 习4,15,1.若级数,收敛,，而级数,发散,则，级数 一定,发散,注意,2.若级数,发散,，而级数,发散,则，级数 可能,收敛也可能发散,例如:,16,证明,级数的收敛性与它的项数无关. 或：,在级数的前面加上或去掉有限项，收敛性不变。,3,结论,17,证明,4,结论：收敛级数满足结合律,或:收敛级数的各项可以任意组合（顺序不变）.,其和不变,18,收敛级数,去括弧后,所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,注意,推论,19,判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,例题五,20,证明,（级数收敛的必要条件）,5,21,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,注意,1,2,如果级数的一般项趋于零,则级数不一定收敛,22,判别收敛性：,解,解,例题六,23,判别收敛性：,解,例题六,24,一 写出下列级数的通项,二 利用级数的基本性质,判别级数的敛散性,三 判别级数的敛散性,(1),(2),(1),(1),(2),(2),总练习,25,一 (1),(2),二 (1) 发散,(2) 收敛,三 (1) 级数收敛,(2) 发散,练 习 答 案,26,常数项级数的基本概念,判别级数收敛方法：,小 结,27,
展开阅读全文