状态空间描述法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,状态空间描述法,9.1,线性系统的状态空间描述,9.2,状态方程求解,9.3,可控性与可观测性,9.4,状态反馈与状态观测器,End,9.1,线性系统的状态空间描述法,1,控制系统的两种基本描述方法：,输入,输出描述法,经典控制理论,状态空间描述法,现代控制理论,2,经典控制理论的特点：,(1),优点：对单入,单出系统的分析和综合特别有效。,(2),缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入,单出系统。,3.,现代控制理论,(1),适应控制工程的高性能发展需要，于,60,年代提出。,(2),可处理时变、非线性、多输入,多输出问题。,(3),应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制,9.2,9.3,9.4,一、问题的提出,1.,先看一个例子,：,例,9.1,试建立图示电路的数学模型。,R,L,C,i,(,t,),u,r,(t,),u,c,(,t,),二,.,状态和状态空间,2.,状态与状态变量的定义,在已知,u,r,(,t,),的情况下，只要知道,u,c,(,t,),和,i,(,t,),的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故,u,c,(,t,),和,i,(,t,),称为“状态变量”。记,控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。,如上例中,为系统的状态， 为状态变量。,3.,状态向量,4.,状态空间,:,定义,:,所有状态构成的一个实数域上的,(,线性,),向量空间称为状态空间。,5.,方程,:,状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程,(,见上例,);,系统输出量,y(t),与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。,三,.,状态变量的选取,1.,状态变量的选取是非唯一的。,2.,选取方法,（,1,）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。,（,2,）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流,i,、,电容电压,u,c,、,质量,m,的速度,v,等。,例,9.2,图示弹簧,质量,阻尼器系统，外作用力,u,(,t,),为该系统的输入量，质量的位移,y,(,t,),为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。,k,m,u,(,t,),y,(,t,),f,例,9.3,已知系统微分方程组为,其中，,u,r,为输入，,u,c,为输出，,R,1,、,C,1,、,R,2,、,C,2,为常数。试列写系统状态方程和输出方程。,解：,选,写成向量,矩阵形式：,四,.,状态空间表达式,1.,单输入单输出线性定常连续系统,2.,一般线性系统,状态空间表达式（,p,输入,q,输出）,3.,线性,定常,系统,状态空间表达式,（,t,域）,（,域）,u,x,y,B,C,D,A,b,),结构图,系统,A,输入,u,输出,y,状态,X,a,),结构关系图,D,B,C,五,.,线性定常系统状态空间表达式的建立,1.,方法,:,机理分析法、实验法,2.,线性定常单变量系统,(,单输入,单输出系统,),(1),由微分方程建立,在输入量中不含有导数项时：,例,9.4,已知系统微分方程为,列写系统的状态空间表达式。,写成向量,-,矩阵形式,(,或系统动态结构图,):,解：,选,输入量中含有导数项时：,可控规范型实现,(2),由传递函数建立,即实现,B,）,b,n,0,例,9.5,已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。,解,:,由,b,n,=b,3,=0,对照标准型,可得实现为,例,9.6,已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。,解,:,由,b,n,=b,3,0,对照标准型,例,9.7,已知系统的传递函数为,试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。,与能控规范型关系：,A,*,=,A,T,，,B,*,=,C,T,，,C,*,=,B,T,能观测规范型实现,对角线规范实现,结构图,的对角线规范型实现，并画出系统状态图,。,例,9.8,求,+,x,1,y,(,t,),u,(,t,),1,c,1,x,2,2,c,2,x,n,n,c,n,+,+,解：,则对角线规范型实现为,约当规范型实现,-,特征方程有重根时,x,n,x,4,x,11,x,12,x,13,y,(,t,),u,(,t,),+,+,+,+,+,1,4,n,1,1,c,11,c,12,c,13,c,4,c,n,当,G,(,s,),有重极点时，设,-,p,i,中有,k,重极点,1,1,1,1,1,例,9.9,-1,-2,1,1,1,1,-1,1,1,(3),状态空间表达式的线性变换,思路：,变换前后系数矩阵关系：,代入原状态方程，有,变换为对角线规范型。,例,9.10,试将状态方程,解：,.,求特征值：,.,求特征向量和变换矩阵,P,=-1,对应的,p,1,3,线性定常多输入,多输出系统,(1),传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系,(2),开环与闭环传递矩阵,(3),传递矩阵的对角化,单入,单出系统,y,(,s,),e,(,s,),u,(,s,),G,(,s,),H,(,s,),-,y,(,s,),e,(,s,),u,(,s,),G,(,s,),H,(,s,),多入,多出系统,-,(4),传递矩阵的实现,1),单输入,多输出时的实现,可控规范型,例,9.11,试求下列单输入,双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。,解 ：,2),多输入,单输出时的实现,解题,思路,：,求对应的单入多出系统,G,T,(,s,),的实现；,利用对偶关系求,G,(,s,),的实现。,例,9.12,线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。,解：,1,）先求对应的单输入,双输出系统的实现,2,）再转换为双输入,单输出系统的实现,故原系统的实现为,:,方法的验证,对比原题所给传递函数，可见结果一致。,本 节 作 业,刘豹,.,P48,1-4,1-5(1),1-7,9.2,状态方程求解,线性定常连续系统,1.,齐次状态方程的解,（,1,）,幂级数法,设解为：,9.3,9.4,9.1,拉氏变换法,由 两边取拉氏变换， 得,SX,(,s,)-,X,(0)=,AX,(,s,),(,SI,A,),X,(,s,)=,X,(0),X,(,s,)=(,SI,A,),-1,.,X,(0),两边取拉氏反变换,x,(,t,)=,L,-1,X,(,s,)=,L,-1,(,SI,-,A,),-1,X,(0),=,L,-1,(,SI,-,A,),-1,X,(0),比较前式，有,e,At,=,L,-1,(,SI,-,A,),-1,状态转移矩阵的运算,性质,(,t,)=,e,At,=,I+At,+(1/2),A,2,t,2,+(,1,/,k,！,),A,k,t,k,+,(0)=,I,初始状态,(2),(,t,1,t,2,)=(,t,1,)(,t,2,),=(,t,2,)(,t,1,),-,线性关系,-1,(,t,)=(-,t,),，,-1,(-,t,)=(,t,),-,可逆性,x,(,t,)=(,t,-,t,0,),x,(,t,0,),x,(,t,0,)=(,t,0,),x,(0),则,x,(,t,)=(,t,),x,(0)=(,t,),-1,(,t,0,),x,(,t,0,),=(,t,)(-,t,0,),x,(t,0,)=(,t,-,t,0,),x,(,t,0,),（,6,）,(,t,2,-,t,0,)=(,t,2,-,t,1,)(,t,1,-,t,0,),=,e,(,t,2-,t,1),A,e,(,t,1-,t,0),A,可分阶段转移,(,t,),k,=,(,kt,),e,(,A,+,B,),t,=,e,At,.,e,Bt,=,e,Bt,.,e,At,(,AB,=,BA,),e,(,A,+,B,),t,e,At,.,e,Bt,e,Bt,.,e,At,(,AB,BA,),引入非奇异变换 后，,两种常见的状态转移矩阵,例,9.13,设有一控制系统，其状态方程为,在,t,0,=0,时，状态变量的初值为,x,1,(0),x,2,(0),x,3,(0),试求该方程的解。,试求,A,及,(,t,),。,例,9.14,设系统状态方程为,解方程组得，,11,(,t,)=2,e,-t,e,-2t, ,12,(,t,)= 2,e,-t,2,e,-2t,21,(,t,)=-,e,-t,+,e,-2t, ,22,(,t,)=-,e,-t,+2,e,-2t,例,9.15,设系统运动方程为,式中,a,、,b,、,c,均为实数，试求：,求系统状态空间表达式。,求系统状态转移矩阵。,2.,非齐次状态方程 的解,直接法（积分法）,(2),拉氏变换法,sx,(,s,)-,x,(0)=,Ax,(,s,)+,Bu,(,s,),(,sI,-,A,),x,(,s,)=,x,(0)+,Bu,(,s,),x,(,s,)=(,sI,-,A,),-1,x,(0)+(,sI,-,A,),-1,Bu,(,s,),则,x,(,t,)=,-1,(,sI,-,A,),-1,x,(0)+,-1,(,sI,-,A,),-1,Bu,(,s,),(,由,e,At,=,-1,(,sI,-,A,),-1,可得,),例,9.16,在上例中，当输入函数,u,(t)=1(,t,),时，求系统状态方程的解。,例,9.17,设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下,所示。试用状态空间法对系统进行分析,。,解：,由图,3,2/,s,1,-,电动伺服阀,放大器,油缸,位移传感器,u,(,s,),y,(,s,),本 节 作 业,刘豹,.,P77,2-3,2-5(3),2-6,一、可控,与可观测的,概念、意义,9.3,可控性与可观测性,9.2,9.4,9.1,设线性定常连续系统的状态空间表达式为：,如果存在一个控制,u,(,t,),，,能在有限时间间隔,t,o,t,f,内，使系统从其一初态,x,(,t,o,),转移到任意指定的终态,x,(,t,f,),，,则称此状态,x,(,t,o,),是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。,二、定义,1.,可控性,定义,三、可控性与可观测性判据,系统在稳定输入,u,(,t,),作用下，对任意初始时刻,t,o,，,若能在有限时间间隔,t,o,t,f,之内，根据从,t,o,到,t,f,对系统输出,y(t),的观测值和输入,u(t),，,唯一地确定系统在,t,o,时刻的状态,x,(,t,o,),，,则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。,2,.,可观测性,定义,可控规范型：,=,-,-,-,-,=,-,1,0,0,0,B,a,a,a,a,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,A,1,n,2,1,0,L,L,L,M,M,M,L,L,1.,可控性判据,线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：,必须满秩。即 （,n,为系统维数）,判据一,：,试判别其状态的可控性。,解：,例,9.18,设系统状态方程为：,系统可控！,设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：,中， 阵不包含元素全为零的行。,判据二,:,例,9.19,已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控性。,解：,不可控！,例,9.20,试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。,例,9.21,试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。,中，与每个约当小块 的最后一行相对应 的 阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,约当规范型,判据三：,判据一,:,线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵,:,2,.,可观测性判据,必须满秩，即,rankQ,o,=n,（,n,为系统维数）,可观测规范型：,例,9.22,已知系统的,A,C,阵如下，试判断其可观性。,例,9.23,试判别如下系统的可观测性。,解：,解：,的矩阵 中不包含元素全为零的列。,设线性定常连续系统具有不相等的特征值,则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型,:,例,9.24,试判别以下系统的状态可观测性,.,判据二,:,中,与每个约当块 首行相对应的矩阵 中的那些列,其元素不全为零。,(,如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立,),。,约当规范型,判据三,:,例,9.25,试判别下列系统的状态可观测性。,1,）可控可观测的充要条件：,由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。,2,）可控的充要条件：,(,SI,-,A,),-1,b,不存在零极点对消。,3,）可观测的充要条件：,c,(,SI,-,A,),-1,不存在零极点对消。,四、 能控能观性与传递函数的关系,例,9.26,判断以下系统的状态可控性与可观测性。,1.,单输入单输出系统,例,9.27,系统传递函数如下，判断其可,控,性与可观测性。,解：,，故不满足,可控可观测的条件,。,2,.,多输入多输出系统,1,）可控的充要条件：,(,SI,-,A,),-1,B,的,n,行线性无关。,2,）可观测的充要条件：,C,(,SI,-,A,),-1,的,n,列线性无关。,例,9.28,用两种方法验证：系统（,1,）的状态可控性；系统（,2,）的状态可观测性。,例,9.29,五、对偶原理,设系统,S,1,(,A,1,B,1,C,1,),与系统,S,2,(A,2,B,2,C,2,),互为对偶系统，则,:,若系统,S,1,(,A,1,B,1,C,1,),可控,，则系统,S,2,(,A,2,B,2,C,2,),可观测,；,若系统,S,1,(,A,1,B,1,C,1,),可观测,，则系统,S,2,(,A,2,B,2,C,2,),可控,；,证明：,六、线性系统的规范分解,*,例,9.30,判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。,线性系统可分解为,四种系统,：,能控 能观测,1, ,2., ,3., ,4.,1.,能控性规范分解,定理,n,阶系统,(,A,B,C,),，,rankQ,c,=,k,n,，则通过非奇异变换,可导出原系统按能控性规范分解的新系统,(,A,c,B,c,C,c,),，有,x,c,是,k,维能控状态分量，,为,(,n-k,),维不能控分量，,为能控子系统。,5-3,T,c,的求法：,i),从,Q,C,中任选,k,(,rankQ,C,=k,),个,线性无关的列向量，,它为,T,c,的前,k,列：,V,1,V,2,V,k,；,ii),在,R,n,中再选,n-k,个,列向量，记为,V,k+1,V,n,需使得：,为非奇异。,设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。,例,9.31,解,系统能控性判别阵,rankQ,c,=2,n,=3 ,所以系统是,不完全能控,的。,其中,T,c,3,是任意,的，只要能保证,T,c,非奇异即可。,变换后的系统的状态空间表达式,即,能控子系统,为,为能观测子系统。,可将原系统变换为按能观测规范分解的新系统,(,A,o,B,o,C,o,),，有,5-4,定理,n,阶系统,(,A,B,C,),，,rankQ,o,=,r,n,，通过,非奇异变换,，,x,o,为,r,维,能观测,状态分量；,是（,n-r,）维,不能观测,的状态分量。,2.,能观测性规范分解,T,o,-1,的求法,:,i),从,Q,o,中任选,r,(,rankW,o,=,r,),个,线性无关,的行向量，作为,T,o,-1,的前,r,个行向量。,ii),在,R,n,中再选（,n-r,）个行向量，构成,T,o,-1,，并使,T,o,-1,为,非奇异,。,例,9.32,设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全能观测，试将该系统按能观测性进行分解。,解,系统能观测性判别阵,rankQ,o,=20;,当,x,=0,则,|,x,|=0,(2) |,x,|=|,| |,x,| ,为任意标量,.,(3),对于两个向量,x,y,有,|,x,+,y,|,|x,|+|,y,| . (,三角不等式,),几种常见的向量范数：,n,维空间上的点到原点的距离。,9.5.1.2,矩阵的范数,(,x,的,范数也定义：,矩阵,A,=,a,ij,n,m,，其范数,|,A,|,满足,:,(1),当,A,0,时，,|,A,|0,；当,A,=0,时，,|,A,|=0,；,(2),|,A,|=|,| |,A,|,为任意向量；,(3),|,A,+,B,|,A,|+|,B,|,；,(4),|,AB,|,A,|,B,|,；,几种常见的,矩阵,范数：,2,范数,1,范数,9.5.2,平衡状态和稳定性,9.5.2.1,平衡状态（平衡点）,x,e,x,e,一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。,任意状态,x,(,t,),可表达为：,x,(,t,)=,(,t,;,t,0,x,(,t,0,) ,u,(,t,),平衡状态,x,e,零输入状态下的不变状态，有,x,e,=,(,t,;,t,0,x,e, 0) =,常量,对于线性定常,连续,系统：,x,e,为平衡状态,线性定常,离散,系统：,x,(,k,+1)=,Gx,(,k,) (2),9.5.2.2,几个稳定性概念,可见，由线性定常连续系统（,1,）、离散系统（,2,）：,x,e,=0,线性定常系统：,x,e,= 0,是唯一的渐近稳定的平衡状态。,(1),李亚普若夫意义下的稳定性,(,SisL,Stability in the sense of,lyapunov,或,i.s.L,稳定,),x,e,平衡状态，,x,0,初始状态（,t,0,时刻）,当且仅当 对于任一实数, 0,，,对应地存在一个实数,0,，使：,|,x,0,-,x,e,| ,时，从任一初始状态,x,0,出发的零输入响应,(,t,;,t,0, x,0,0),都满足,|,(,t,;,t,0,x,0, 0) -,x,e,|,t,t,0,则称,x,e,为,lyapunov,意义下稳定的（,SisL,）。,球域,s(,),，半径为,；,球域,s(,),，半径为,。,s(,),内的状态的自由运动总在,s(,),内。,若,与,t,0,无关，则称此平衡态,x,e,是,i.s.L,一致稳定的，如下图。,一般，,=,(,t,0,),，即与,和,t,0,有关；,状态空间，以,x,e,为原点，对给定正实数,，以,x,e,为球心、,为半径构造一个超球体，球域记为,s(,),。,几何解释：,(2),渐近稳定,（,AS,asymptotic stability,）,称平衡态,x,e,是渐近稳定（,AS,）的，如果满足：,x,e,是,i.s.L,稳定的；,对于,(,t,0,),和任意给定的实数,0,，,对应地存在实数,T,(, t,0,),0,使得满足,的任一初态,x,0,出发的零输入响应都满足：,|,(,t,;,t,0, x,0,0)-,x,e,|,0,(i=0, 1, , n-1),；,有缺项或有负的,系统不是,AS,。,2,Hurwitz,行列式判据,:,线性定常系统为,AS,的充要条件判据,3,Lienard,chipart,判据,只需要计算一半,Hurwitz,行列式。,例,9.37,例,9.38,9.5.3.2,线性定常离散系统的渐近稳定性,若对于任意,x,(0),有,定理,4.2,特征值判据,线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：,G,的所有特征值的幅值均小于,1,，即,（即,G,的特征值,i,均位于,Z,平面的单位内）。,9.5.4,李亚普若夫第二法,基本思路：,从能量观点进行稳定性分析：,1),如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；,2),反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；,3),如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是,Lyapunov,意义下的稳定。,由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系,;,于是,Lyapunov,定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。,9.5.4.1 (,实,),二次型,一般的一个实二次型是指,n,个变量的二次齐次多项式,可写成：,其中,q,ij,=,q,ji,。,其系数确定了一个,n,阶实对称矩阵：,Q,称为二次型,(2),的矩阵。,设,x,=,x,1,x,2,x,n,T,，则实二次型,(2),可记为：,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,x,T,Qx,定义,(,实,),二次型是,x,R,n,的标量函数,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,x,T,Qx,式中，,Q,为一实对称,n,n,矩阵，称为二次型,f,的矩阵，并将,Q,的秩称为二次型,f,的秩。,x,0 ,若,x,T,Qx,0 ,则称二次型,f,为,正定,的，,Q,称为正定矩阵，记为,Q,0,。,x,0 ,若,x,T,Qx,0 ,，则称二次型,f,为,半正定,的，,Q,称为半正定矩阵，记为为,Q,0,。,若,x,T,Qx,0 (0) ,称,f,为负定的,(,半负定的,),，,Q,称为,负定,(,半负定,),矩阵，记为,Q,0,V,(,x,),为正定二次型。,V,(,x,),称为二次型,Lyapunov,函数。,定理,4.3,设系统的状态方程为,试确定系统平衡状态的稳定性。,例,9.39,设系统的状态方程为,解：,由平衡点方程得,解得唯一的平衡点为,x,1,=0,x,2,=0,即,x,e,=0,为坐标原点。选,故系统是渐近稳定的；且是大范围渐近稳定的。,若,V,(,x,),为正定的， 则此系统是,渐近稳定,的。,定理,4.4,设系统的状态方程为,若,V,(,x,),为正定的， 则此系统是,渐近稳定,的。,试确定系统平衡状态的稳定性。,例,9.40,设系统的状态方程为,解：,显然，原点为系统的平衡状态。选,可见系统在,x,e,=0,处是稳定的，但不是渐近稳定的。,定理,4.5,设系统的状态方程为,试确定系统平衡状态的稳定性。,例,9.41,设系统的状态方程为,若,V,(,x,),为正定的， 则此系统是,不稳定,的。,解：,显然，原点为系统的平衡状态。选,可见系统在,x,e,=0,处是不稳定的。,定理,4.6,设系统的状态方程为,若,V,(,x,),为正定的， 则此系统是,不稳定,的。,试确定系统平衡状态的稳定性。,例,9.42,设系统的状态方程为,解：,显然，原点为系统的平衡状态。选,由于当,x,1,为任意值，,x,2,=0,时 而,所以,x,2,=0,是暂时的， 不会恒等于零，故系统是不稳定的。,因,k,0,故,M,0 (,正定,),。,对于二次型,V,(,x,)=,x,T,Qx,Q,0,：,9.5.4.3,线性定常系统的,Lyapunov,稳定性分析,定理,4.7,线性定常自治系统,若存在二次型,Lyapunov,函数，则此系统是,渐近稳定,的。,由此，给出,检验任意函数是否为,lyapunov,函数的方法,：,1,）选一实数对称矩阵,Q,0.,2,）由,A,T,Q,+,QA,=,-,M,，算出,M,.,3,）若,M,0,则,V,(,x,)=,x,T,Qx,是一个,lyapunov,函数，系统是,AS,；,若,M,0,则需另选一,Q,0,，再作检验。,其平衡态,x,e,=0,为渐近稳定的充要条件是：,对任意正定对称矩阵,M,，则存在一个正定对称矩阵,Q,，,满足,A,T,Q,+,QA,=,-,M,（称为,lyapunov,方程）。,Lyapurov,函数法判定线性定常系统为,AS,(,渐近稳定,),：,定理,4.8,线性定常系统,例,9.43,某系统,解,:,选,M,=,I,由,A,T,Q,+,QA,= -,M,，,q,ij,=,q,ji,.,注：由于,Q,的对称性，只有 个未知数。,其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。,用,Sylvester,判据：,Q,0,系统是渐近稳定,(,AS,),的,.,本 节 作 业,刘豹,.,P166,4-1 (1),4-3 (1),4-6,