工程力学平面力偶系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,23 平面力偶系,静力学,1,B,O,F,2,d,一、,力矩,力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。,1、力对点之矩,定义：,力与力臂的乘积冠以正、负号定义为力,F,对,O,点的力矩。,O 转动的中心。称为力矩中 心，简称,矩心,d 转动中心到力作用线之间的距离称为力臂(注意单位),表达式：M,o,(F) = Fd,正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针转向转动力矩取正号,反之取负号。,F,1,F,3,F,4,问题：图示力F对O点的力矩应取什么符号？,2,力矩必须与矩心相对应，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须表明矩心。,力矩在下列两种情况下等于零：力等于零或力的作用线通过矩心。,力,F,对任一点的矩，不因力,F,沿其作用线的移动而改变。,F,2,d,O,3,力矩计算,简支刚架如图所示，荷载F=15kN，=45 ,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。,d,A,B,F,4m,1m,1m,2m,o,解:,1、力F对A点的力矩,。,力臂d = 4m,sin,= 4m,sin45,d = 2,m,-15kN2,M,A,(F)= -F,d=,m,= -30,kN,m,2、力 F 对B点的力矩,。,力臂d = 1m,sin,= 1m,sin45,=,m,M,B,(F)=+F d=,+,15kN,0.5,m,= 7.5,+,kN m,注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。,4,2.合力矩定理,力系中合力对一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。,设某力系为,F,i,（i=1,2,n），其合力为,F,R,，根据以上理论，则有表达式：,5,由合力投影定理有：,证明：,od=ob+oc,又,6,A,B,F,4m,1m,1m,2m,o,例1,荷载F=20kN，=45 ,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。,F,x,=Fcos,=20N0.7=14N,解:,F,y,=Fsin,=20N0.7=14N,1、力F对A点的力矩,M,A,(F,x,)= -F,x,d=-14,kN,2= -28kN,m,M,A,(F,y,)= -F,y,d=14,kN,6= 84kN,m,M,A,(F),=,M,A,(Fy) + M,A,(Fx),=,84kN,m - 28kN,m=56kNm,B点大家求一下,7,例 2,求图中荷载对A、B两点之矩,(b),解：,图（a）：,M,A,= - 82 = -16 kN m,M,B,= 82 = 16 kN m,图（b）：,M,A,=,-,4,2,1,=,-8 k,N, m,M,B,= 421,=,8 kN m,(a),8,例3,已知：如图,F,、,Q,、,l,求： 和,静力学,解,：用力对点的矩法,应用合力矩定理,9,0.6m,0.4m,C,B,A,F,30,0,例4、已知：机构如图，,F,= 10kN，,求：,M,A,(F),=,?,d,F,x,F,y,解:,方法一:,M,A,(F) = -,Fd,= - 10, 0.6, sin60,0,方法二:,M,A,(F),= -,F,cos,30,0,0.6 + 0,= - 10, 0.6, cos30,0,F,x,=,F,cos,30,0,M,A,(F,x,),F,y,= -,F,sin,30,0,M,A,(F,y,),= 0,M,A,(F) = M,A,(F,x,) + M,A,(F,y,),10,例,5.图示,F,=5kN, sin,=0.8试求力,F,对,A,点的矩.,A,B,20,15,F,11,A,B,20,15,F,解,:,(,1),h,C,D,CD,=18.75,0.6 = 11.25,AC,= 20 -11.25,= 8.75,h,= 8.75, 0.8,= 7,m,o,(,F,) =,hF,= 7, 5 = 35,12,A,B,20,15,F,(,2),F,x,F,y,F,x,=,F,cos,= 5,0.6 = 3,F,y,=,F,sin,= 5,0.8 = 4,D,m,o,(,F,x,) = -,BD,F,x,= -15, 3 = -45,m,o,(,F,y,) =,AD,F,y,= 20, 4 = 80,m,o,(,F,) =,m,o,(,F,x,) +,m,o,(,F,y,),= -45 + 80,= 35,13,支架如图所示，已知,AB,=,AC,=30cm,CD,=15cm,F,=,100N,求 对A、B、C三点之矩。,解：由定义,由合力矩定理,14,如图所示，求,F,对,A,点的矩。,解一：应用合力矩定理,解二：由定义,15,静力分析,练习图示胶带轮，已知,T,1,=200N, T,2,=100N, D=160mm,求,M,B,(T,1,)+,M,B,(T,2,)=?,B,解：,3.力矩的平衡条件,内容：各力对转动中心O点之矩的代数和等于零，即合力矩为零。,公式表达：,16,二、,力偶,1、什么是力偶,力学中把一对等值、反向且不共线的平行力称为,力偶。（,F,，,F,）,无法再简化的简单力系之一,力偶作用面,：两力作用线所决定的平面；,力偶臂,：两力作用线之间的垂直距离，用,d,表示；,力偶的三要素：,1）力偶中力的大小,2）力偶的转向,3）力偶臂的大小,17,力 偶 实 例,力 偶 实 例,F,1,F,2,18,19,力偶矩：力学中，用力偶的任一力的大小,F,与力偶臂,d,的乘积在冠以相应的正、负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，用,M,表示,。,M=F,d,注：力偶逆时针转动时取正，反之取负。,F,= F ,d：力偶臂,力偶矩的单位：N m 、kN m,F,F,d,+,20,静力学,2.力偶的特性,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,力偶无合力，不能与一个单个的力平衡；力偶只能与力偶平衡。,力偶只能是物体转动，转动效果取决于力偶矩。,F,F,/,a b c d,a b,F,21,性质2,力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。,F,F,d,O,x,A,B,22,静力学,性质3：平面力偶等效定理,作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,23,只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。,由上述证明可得下列,两个推论,：,力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。,3.力偶的表示方法,用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。,24,关于力偶性质的推论,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,F,F ,F,F ,25,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,关于力偶性质的推论,F,F ,F,F ,26,保持力偶矩矢量不变，分别改变力和,力偶臂大小，其作用效果不变。,关于力偶性质的推论,F,F ,F,/ 2,F,/ 2,27,只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力偶可在与其作用面平行的平面内移动,。,关于力偶性质的推论,M=,Fd,k,28,1.,平面力偶系的简化,作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。,m,1,F,1,d,1,，,m,2,F,2,d,2,，,m,3,F,3,d,3,，,P,1,d=F,1,d,1,，,P,2,d,F,2,d,2,，,P,3,d,F,3,d,3,F,R,P,1,P,2,p,3,F,R,P,1,P,2,P,3,三、平面力偶系的简化与平衡,29,M,F,R,d,（,P,1,P,2,P,3,）,d,=,P,1,d,+,P,2,d,P,3,d,=F,1,d,1,+,F,2,d,2,F,3,d,3,所以,M,m,1,m,2,m,3,30,若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为,由此可得到如下结论：,平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和,。,31,平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到,平面力偶系平衡的必要与充分条件：,2.平面力偶系的平衡条件,即,M,0,注：平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。,平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。,32,图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。,33,静力学,例,在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为,求工件的总切削力偶矩和,A,、,B,端水平反力?,解,: 合力偶距,平面力偶系平衡,34,车间内有一矩形钢板，要使钢板转动，加力,F, F,如图示。试问应如何加才能使所要的力最小？,a,b,a,b,F,F,当力偶一定时，只有力偶臂最长所用的力才最小。,35,图中梁AB处于平衡，如何确定支座A、B处反力的方向？,l,M1,M2,A,B,M1,M2,A,B,F,A,F,B,力偶只能和力偶平衡，A、B两点的力 应构成力偶，所以，这两个力大小相等、方向相反。即A点的水平分力为零，可以不画。,36,图中所示的拉力实验机上的摆锤重,G,，悬挂点到摆锤重心,C,的距离为,l,摆锤在图示三个位置时，求重力,G,对,O,点之矩各为多少？,C,G,l,1,2,3,o,解:,M,O,(,F,) =,F,d,位置1:,M,O,(,F,) =,G,d = 0,位置2:,M,O,(,F,) = ,G,Gd=,l,sin,G,l,sin,位置3:,M,O,(,F,) = ,Gl,37,刚架上作用着力,F,分别计算力,F,对A点和B点的力矩。,F,、a、b为已知。,A,F,B,a,b,Fx,Fy,解：,用定义计算，力臂不易确定，所以，用合力矩定理。,M,A,(,F,) = Fx b= bFcos,Fx=Fcos Fy=Fsin ,M,B,(,F,)= M,B,(,Fx,) +M,B,(,Fy,),= b Fcos+ a Fsin ,38,静力分析,例图示结构，求A、B处反力。,解：1、取研究对象,整体,2、受力分析,特点：力偶系,3、平衡条件,m,i,=P,2aY,A,l=0,思考,m,i,=,0,P,2aR,B,cos,l=0,39,求图示简支梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,40,例题.在梁,AB,上作用一个力偶,其矩为,m,梁长为,l,.自重不计.试求支座A和B的约束反力.,45,o,A,B,l,m,41,解,:,取梁,AB,为研究对象,45,o,A,B,l,m,R,A,R,B,45,o,45,o,R,A,=,R,B,=,R,m,(,R,A,R,B,) =,Rl,cos 45,o,m,i,= 0,Rl,cos 45,o,-,m,= 0,R = R,A,=,R,B,=,42,例题.图示铰链四连杆机构,OAB,O,1,处于平衡位置.已知,OA,=40cm,O,1,B,=60cm,m,1,=1N,m,各杆自重不计.试求力偶矩,m,2,的大小及杆,AB,所受的力.,O,A,B,O,1,m,2,m,1,30,o,43,解,:,AB,为二力杆,O,A,B,O,1,m,2,m,1,30,o,S,A,=,S,B,=,S,S,S,S,S,取,OA,杆为,研究对象.,m,i,= 0,m,2, 0.6,S,= 0,(1),取,O,1,B,杆为研究对象.,m,i,= 0,0.4sin30,o,S,-,m,1,= 0,(2),联立(1)(2)两式得:,S,= 5,m,2,= 3,44,例题.不计自重的杆,AB,与,DC,在,C,处为光滑接触,它们分别受力偶矩为,m,1,与,m,2,的力偶作用 ,转向如图.问,m,1,与,m,2,的比值为多大,结构才能平衡?,60,o,60,o,A,B,C,D,m,1,m,2,45,解:取杆,AB,为研究对象画受力图.,杆,A B,只受力偶的作用而平衡且,C,处为光滑面约束.则,A,处约束反力的方位可定.,A,B,C,m,1,R,A,R,C,m,i,= 0,R,A,=,R,C,=,R,AC,=,a,a R,-,m,1,= 0,m,1,=,a R,(1),46,取杆,CD,为研究对象.因,C,点约束方位已定 , 则,D,点约束反力方位亦可确定.画受力图.,60,o,60,o,D,m,2,B,C,A,R,D,R,C,R,D,=,R,C,=,R,CD,=,a,m,i,= 0,- 0.5,aR,+,m,2,= 0,m,2,= 0.5,aR,(2),联立(1)(2)两式得:,47,例题 图示刚架，其上作用三个力偶，其中 F,1,= F,1,=5KN，m,2,=20KN.m, m,3,= 9KN.m,试求支座A、B处的反力。,A,B,m,2,m,1,30,o,F,1,F,1,m,3,m,2,m,3,30,o,30,o,F,A,F,B,1m,1m,1m,A,B,m,1,=F,1, 1=5KN.m,48,m,1,m,1,- m,2,+ m,3,+F,B,d =0,m,2,m,3,30,o,30,o,F,A,F,B,A,B,d,解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，,则A、B处的约束反力一定形成力偶。,根据平面力偶系的平衡方程：, m,i,= 0,5 - 20+ 9+F,B,ABsin30,0,=0,解得：,F,A,=F,B,=2.31kN,49,例 已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶,M,1,为已知，求：支座,A、B,的约束反力及主动力偶,M,。,A,B,C,D,E,M,M,1,45,0,a,解：,“,BD,”,B,D,E,M,1,F,E,F,B, M,= 0,M,1,- F,E,a,= 0,F,B,=,F,E,= M,1,/ a,F,B,F,A,“系统”,系统受力偶作用，又只在,A、B,两点受力，则该两点的力必形成一力偶。,F,A,=,F,B,= M,1,/ a,50, M = 0,M,1,- F,B,0 - M = 0,M,= M,1,A,B,C,D,E,M,M,1,45,0,a,F,B,F,A,51,系统如图，,AB,杆上作用矩为M的力偶，设,AC=2R,，,R,为轮,C,的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰,A,对,AB,杆的约束反力及地面对轮,C,的反力。,解：先以,AB,杆为研究对象，受力如图。,由几何关系：,所以：,52,再以轮,C,为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,其中：,解之得：,讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：,53,例,已知：,a,、,m,，杆重不计。,求：铰A、C的反力。,解:,分别以AB杆(二力杆),和BC为研究对象求解.,由,S,M,=0,m,N,C,d,= 0,及,N,C,=,N,B,=,N,B,解得:,AB,杆：,BC杆：,54,例,M,1,=2kNm，OA=,r,=0.5m,，,a,=,30，求作用于摇杆上力偶矩的大小及铰链O、B处的约束力。,解：,1.先,以圆轮为研究对象.,由,S,M,=0,解得:,（平面力偶系）,55,2.再以摇杆为研究对象,（平面力偶系）,由,S,M,=0,F,A,=,F,A,=,M,1,/,r,sin30,解得:,F,O,、,F,B,的方向如图所示。,56,A,B,O,A,B,O,（A）,（B）,例：,结构如图所示，已知主动力偶,M,，,哪种情况铰链的约束力小,并确定,约束力的方向（不计构件自重）,1、研究OA杆,2、研究AB杆,57,例:,已知,AB,=,2a,BD,=,a,不计摩擦。求当,系统,平衡时,力偶,M,1,M,2,应满足的关系,。,C,A,D,B,N,D,N,D,D,N,B,N,A,研究,BD,研究,AC,C,A,B,D,58,静力分析,例图示杆系，已知,m, l,求,A、B,处约束力。,解：,1、研究对象,二力杆：AD,2、研究对象： 整体,思考：CB杆受力情况如何？,m,练习：,59,静力分析,解：,1、研究对象,二力杆：BC,2、研究对象： 整体,m,AD杆,60,例题.图示物体系统中,AC,=,CD,=,BE,=,EF,=,a,且,CF,=,DE,. 物体重量不计. 求支座,A,和,B,的约束反力.,A,B,C,D,E,F,m,61,解:取整体为研究 对象画受力图。,A,B,C,D,E,F,m,R,A,R,B,d,R,A,=,R,B,=,R,m,i,= 0,R,A,=,R,B,=,R,=,62,静力分析,B,A,m,所以,练习,下图中，求,A、C,两点处的支座反力。,63,O,A,静力分析,练习,试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中,AO=d, AB=l。,B,曲柄,ACD,A,O,B,M,解：,1、研究对象：,滑块,B,M,2、研究曲柄,ACD,64,静力分析,思考题：,1、,m,可否又,BC,上移至,AC,上？,a,m,结构视为一体时，m可移动，若分开考虑，则m不能从一体移至另一体。,2.既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？,65,力偶不能和一个力平衡，为什么图中的轮子又能平衡？,O,P,r,M=P,r,O,P,M=P,r,P,力偶只能和力偶平衡，P、O两点的力应构成力偶，所以，这个力偶与M平衡。,66,静力分析,2、图示机构平衡时两力偶之间的关系？,m,1,杆,BC,分析整体,答案：,67,力沿作用线移动：,A,A,F,F,B,B,力是滑动矢量。只适用于刚体，不适用于变形体及刚体系统。,反例为：绳子，,A,B,C,P,A,B,C,P,?,A,F,B,A,F,B,M,B,力线平移,68,力偶等效,A,B,M,A,B,M,A,B,M,A,B,C,M,A,B,C,?,M,思考题：,1、图示两结构是否等效？,2、力矩与力偶矩的异同？（平时作业）,69,如图所示杆件结构中，,EF/AB，AE=EC，,EF,杆,E,端与,AC,铰接，,F,端光滑搁置在,BC,上，杆重不计，求,A、B,处的反力。,70,小结,力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩；,力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡；,力偶对刚体的转动效应决定于其三要素；,力偶等效条件，合力（偶）矩定理；,力偶系平衡的充要条件是： S,M i,=0。,71,结束,72,