电磁场与电磁波02

Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,电磁场与电磁波,第二章 静电场和恒定电场,前言,电场与磁场的基本定律是麦克斯韦在,1873,年建立的,麦克斯韦依据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨法尔、法拉第等人的一系列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系,电磁场理论主要包括三大部分：,库仑定律,研究静电场,安培定律,研究恒定电流产生的磁场,法拉第定律,研究时变电磁场,2,2.1,电场强度与电位函数,电磁场的源,电荷,电荷有正电荷和负电荷之分,当带电体的尺度远远小于研究尺度，可以把带电体看做点电荷,库仑定律,表明两个点电荷之间的作用力,其中,F/m,称为真空介电常数,3,2.1,电场强度与电位函数,2.1.2,电场强度,点电荷的电场强度,设,q,为位于点,S,(,x,y,z,),处的,点电荷,，在其电场中点,P,(,x,y,z,),处引入试验电荷,qt,。根据库仑定律，,qt,受到的作用力为,F,，则该点处的电场强度定义为,4,2.1,电场强度与电位函数,2.1.2,电场强度,场点,源点,源点到场点的距离,大小为,而,所以,5,2.1,电场强度与电位函数,2.1.2,电场强度,当空间同时存在,n,个点电荷时，场点,r,处的电场强度等于各电荷在该点产生的电场强度的矢量和,6,2.1,电场强度与电位函数,如果带电体的尺度和研究尺度相比并不可以忽略，那么就不能看作是点电荷。从宏观的角度看，电荷通常是连续分布的,线电荷密度,面电荷密度,体电荷密度,7,2.1,电场强度与电位函数,分布电荷产生的电场强度,体电荷分布情形：,面电荷分布情形,线电荷分布情形,8,2.1,电场强度与电位函数,电位函数,在静电场中，某点,P,处的电位定义为把单位正电荷从,P,点移到参考点,Q,的过程中静电力所作的功。若正试验电荷,q,t,从,P,点移到,Q,点的过程中电场力作功为,W,，则,P,点处的电位为,当电荷不延伸到无穷远处时，一般把电位参考点,Q,选在无限远处，这将给电位的计算带来很大的方便。此时，任意,P,点的电位为,9,对于点电荷，其电场强度为,所以电位为,因为 ，电场可写为,所以电场强度与电位之间的关系为,2.1,电场强度与电位函数,10,2.1,电场强度与电位函数,分布电荷对应的电位,体电荷分布情形：,面电荷分布情形,线电荷分布情形,电位是标量函数，而标量运算比矢量运算方便，所以在已知电荷分布时，可以先求电位，再用梯度运算求得电场强度,11,2.1,电场强度与电位函数,电偶极子,相距很近的两个等值、异号的电荷,设每个电荷的电量为,q,，它们相距为,d,。这里我们选用球坐标来求电偶极子在点,P,的电位及电场。,首先，根据点电荷电位的表达式，电偶极子在,P,点的电位为,当电荷间距远远小于到观察点距离,即 ，那么,从而得到,12,2.1,电场强度与电位函数,电偶极子,相距很近的两个等值、异号的电荷,对于电偶极子，我们可以定义一个电偶极矩矢量，大小为,pd,，方向由负电荷指向正电荷,则 ，,电位可写为,和点电荷的电位相比较，,电偶极子的 与 成反比,13,2.1,电场强度与电位函数,电偶极子,相距很近的两个等值、异号的电荷,电偶极子的电场强度可以用电位的梯度来计算,在球坐标系下，梯度的计算公式为,所以电场为,14,2.1,电场强度与电位函数,电偶极子电场强度的 与 成反比,所以电偶极子比单个点电荷的电场衰减的更快,此外，电偶极子的电场和电位具有轴对称性,15,2.2,真空中静电场的基本方程,电力线,电场强度的方向,电力线的条数规定为电荷的大小（以库仑为单位）,形象的说，电力线的条数，或者说电荷的大小代表电通量。,如果我们引入一个新的场矢量，定义单位面积内通过的电力线的条数叫电通量密度（也称电位移矢量） ，那么电通量为,16,2.2,真空中静电场的基本方程,电通量有以下特性：,与媒质无关,大小仅与发出电通量的电荷有关,如果点电荷被包围在半径为,R,的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面,单位面积上的电通量，即电通密度，反比于,R,2,17,2.2,真空中静电场的基本方程,真空中，点电荷的电场强度为：,那么对于一个球面，,在我们的定义中，我们要求电通密度满足,所以，电通密度为,而点电荷,q,在半径,R,处的电通密度为,18,2.2,真空中静电场的基本方程,如果电荷以连续分布形式存在，那么电通量写为,该式称为高斯定律，它表明从封闭面发出的总电通量在数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷,高斯定理的应用,如果已知封闭面上的电场强度或电通密度，通过高斯定理可求出封闭面内的总电荷,反过来，如果已知电荷分布是对称的，则可以很简单的求出电场强度,19,例,用高斯定律求无限长线电荷,l,在任意,P,点产生的电场强度。,无限长线电荷的场,2.2,真空中静电场的基本方程,20,2.2,真空中静电场的基本方程,应用高斯散度定理，该式也可写成,即,上式为高斯定律的微分形式，同时也是麦克斯韦方程组中的第一方程,如果在真空中，还可以写为,物理含义：自由空间中的电场是自由电荷作用的结果,21,2.2,真空中静电场的基本方程,电场强度的环量,电场强度沿闭合路径的积分,根据斯托克斯定理，有,即,表明电场强度为无旋场或保守场,22,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,什么是电介质？,理想的电介质,即绝缘体，内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电荷,(,Bound Charge,),。,电介质的分子分为无极分子和有极分子两类,无极分子，比如,CS,2,，,CCl,4,，在没有外电场作用时，电介质中正负电荷的中心是重合的,有极分子，比如,H,2,O,，,NaCl,，正负电荷中心不重合，从而形成一个电偶极子，但由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩取向是不规则的，宏观上看总的电偶极矩矢量为零,23,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,电介质的极化,在外电场作用下：,无极分子的正负电荷的作用中心发生分离（位移极化）,有极分子的电偶极矩矢量发生转向（取向极化）,这种情况称为电介质的极化。,极化的结果是在电介质内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激发出与外电场相反的场，从而削弱介质内的电场,24,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,电介质中和真空中的电通量,真空中：,电介质中呢？,由于电介质中的电场被削弱，如果我们仍然定义电位移矢量,D=,0,E,，,那么按照上面的计算，所得到的电通量将小于真空中的电通量，这不满足电通量的定义,为了描述介质的极化给二者带来的差别，我们引入,极化强度矢量,的概念,+,25,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,极化强度矢量,定义单位体积内的电偶极矩为极化强度矢量,若单位体积中有,N,个相同的分子偶极矩 ，则极化强度可写为,微小体积元 中分子偶极矩的矢量和可以写为：,26,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,束缚体电荷密度,设每个分子由长度为,l,的电偶极子构成，分子的电偶极矩为,取一个面元,dS,，那么介质极化后会有一些偶极子跨过这个面元。,当偶极子的负电荷位于体积,ldS,内，则正电荷就穿出,dS,外边,假定单位体积内有,n,个分子，则穿出,dS,外边的正电荷为,对该闭合曲面进行积分,得到,27,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,束缚体电荷密度,该积分的含义是穿出该闭合曲面的正电荷数。,由于介质是电中性的，该量也等于体积,V,内的负电荷。,这种由于极化而出现的电荷分布被称为束缚体电荷。,现在假定束缚体电荷密度为,则有,利用高斯散度定理，得到,即,28,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,束缚面电荷密度,在电介质表面，由于电介质发生极化，而真空不会发生极化，导致分界面上出现面束缚电荷。,对于电介质表面上的一个面元,dS,，在两侧取一定厚度的薄层使电介质表面的面元,dS,被包含在其中。,那么：,从左侧界面进入薄层的正电荷为,从薄层右侧界面穿出的正电荷为,所以，薄层中净电荷为,定义束缚面电荷密度为 ，,则,或,29,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,电介质中的电场强度,自由空间中的电场是自由电荷作用的结果,电介质中的电场是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果,即,我们定义介质中的电位移矢量为,则,30,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,任意介质中静电场满足的方程,积分形式,微分形式,媒质的本构关系,其中,称为介质的电极化率,称为介质的相对介电常数,31,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,电介质的极化强度对介质的依赖性,如果极化强度与外加电场强度成正比，称该介质是线性的。此时极化强度写为,其中电极化率 可能是一个矩阵张量,如果电极化率矩阵张量的非对角元不等于零，意味着极化强度的大小和方向依赖于外加电场的方向,32,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,电介质的极化强度对介质的依赖性,若介质特性与外加电场强度的方向无关，则称这种介质为各向同性介质。,当 不相等，意味着,P,与,E,的方向是不相同的,当 ，意味着,P,与,E,的方向相同，此时称介质为均匀介质。此时极化强度与电场强度的关系写为,其中 退化为常数,33,2.3,电介质的极化及介质中的场方程,总之，,在线性、均匀、各向同性的介质中：,极化强度与电场强度满足下列关系：,电位移矢量满足,其中 称为相对介电常数,自由空间中， ，所以 。,34,2.4,导体的电容,很多情况下，电荷分布在导体上或导体系统中，因此导体是储存电荷的容器。储存电荷的容器称为电容器。,相互接近但不接触的导体都可以构成电容器。,电容的表达式为,35,双导线与同轴线,(,a,),双导线；,(,b,),同轴线,2.4,导体的电容,常用的传输系统,36,2.4,导体的电容,双导线的电容,单导线的电场强度为,那么，双导线间的电场强度为,导线间电压为,所以双导线单位长度的电容为,37,2.4,导体的电容,同轴线的电容,同轴线间的电场强度为,导线间电压为,所以同轴线单位长度的电容为,38,2.4,导体的电容,单导线的电容,单导体也可计算电容，其以大地为参照。,单导线的电场强度为,导线间电压为,所以单导线单位长度的电容为,39,2.5,静电场的边界条件,电通量密度,D,的法向分量,在介电常数分别为,1,与,2,的媒质,1,与媒质,2,的分界面上作一个小的柱形闭合面，分界面的法线方向,n,由媒质,2,指向媒质,1,。假设柱形面的高,h,0,，则其侧面积可以忽略不计。,设分界面上存在的自由面电荷密度为,S,，根据高斯定理有,写为电位形式，为,或,40,2.5,静电场的边界条件,对于理想电介质之间的分界面，该分界面上一般不存在自由面电荷，所以，此时电通量密度,D,的法向分量连续，即,或,41,2.5,静电场的边界条件,当媒质,2,为导体，因为导体是一个等势体，所以,D,2,必然为零。若媒质,1,中存在,D,1,的法向分量，则导体表面必然存在自由面电荷密度，即,即导体表面附近的电通密度的法向分量等于导体表面的面电荷密度,或,42,2.5,静电场的边界条件,电场强度,E,的切向分量,由于静电场是保守场，因而 。将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径,ab,c,da,。图中,h,0,，因而,bc,和,da,对线积分的贡献可忽略不计。因此有,或,43,2.5,静电场的边界条件,电场强度,E,的切向分量,假定闭合路径包围的矩形平面的方向为,s,，则有,所以边界条件又可以写成,由矢量恒等式,得到：,即 或写成电位形式,44,2.5,静电场的边界条件,电场强度,E,的切向分量,如果媒质,1,是介质，媒质,2,是导体，由于导体是等势体，其内部不存在电场，因此导体表面的切向分量必然为零。即导体表面的静电场总是垂直于导体表面。,45,2.5,静电场的边界条件,分界面上电场的方向,边界条件为,两式相除得,46,2.6,恒定电场,电路中的三大要素：电流、电阻、电动势,电荷在电场作用下作定向运动形成电流,任取一个面积,S,，如果在,t,时间内穿过,S,的电量为,q,，则电流的大小定义为,若电流不随时间变化，称为恒定电流（也称直流电流）,恒定电流在空间中存在的电场，称为恒定电场,电流是一个标量,47,2.6,恒定电场,电流密度矢量,假定体电荷密度为,V,的电荷以速度,v,沿某方向运动。设在垂直于电荷流动的方向上取一面积元,S,，若流过,S,的电流为,I,，则定义矢量,J,的大小为,J,的方向规定为正电荷的移动方向。矢量,J,称为电流密度矢量，它用于描述电流在体空间中的流动,任意面积上通过的电流量为,电流,I,是电流密度矢量,J,的通量,48,2.6,恒定电场,电流密度矢量与电荷密度的关系,设体电荷密度,V,在,t,时间内流过的距离为,l,，如下图所示，圆柱形体积内总的电荷为,q,=,V,l,S,，而,q,在,t,时间内全部通过面积,S,，故穿过面积,S,的电流为,式中,v,为电荷流动的速度,由电流密度的定义得,写成矢量表达式：,49,2.6,恒定电场,如果电流只分布于导电媒质的表面，可以用面电流密度矢量来描述。,在垂直于电荷流动的方向上取一线元,l,，若流过线元,l,的电流为,I,，则定义面电流密度矢量,J,S,的大小为,同样可以得到面,电流密度矢量,与面电荷密度的关系,50,2.6,恒定电场,电流连续性方程,根据电荷守恒定律，电荷既不能产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，因此从任意闭合面,S,流出的电流应等于由,S,所包围的体积,V,中单位时间内电荷减少的数量， 即,应用散度定理，该式改写为,即,电流连续性方程的积分形式,电流连续性方程的微分形式,51,2.6,恒定电场,恒定电场的基本方程,对于流过恒定电流（直流）的导电媒质，其中电荷密度不随时间变化， 此时电流连续性方程简化为,上式表明，导电媒质通过恒定电流时，其内部电流密度是无散或连续的。,由于电流恒定时，电荷分布,V,不随时间变化，所以恒定电场必定与静止电荷产生的静电场具有相同的性质，即它也是保守场，或者说恒定电场沿任一闭合路径的积分等于零， 即,或,52,2.6,恒定电场,在导电媒质中，电流密度与电场强度满足关系：,其中 为导电媒质的电导率（电阻率的倒数）,该式为欧姆定律的微分形式,当电流密度,J,已知时，电场强度可以表示为：,导体内单位体积的功率损耗为,该式为焦耳定律的微分形式,53,2.6,恒定电场,综上所述，恒定电场基本方程的积分形式和微分形式分别为,：,54,2.6,恒定电场,电气装置的接地,所谓接地，就是将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接。埋在地内的导体或导体系统称为接地体或接地电极。,接地电阻,电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接地电阻。,当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近电流密度最大。所以接地电阻主要集中在电极附近。,实际上，求接地电阻就是研究大地中的电流分布。,55,2.6,恒定电场,半球形接地电极的接地电阻,设经引线由,O,点流入半球形电极的电流为,I,，则距球心为,r,处的地中任一点的电流密度为,相应的电场强度为,电极在大地中的电压为,所以接地电阻为,56,2.6,恒定电场,例,一个半径为,10 cm,的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，如下图所示。已知土壤的导电率,=10,-2,S/m,。 求：,(1),接地电阻；,(2),若有短路电流,100A,流入地中，某人正以,0.5 m,米的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为,2 m,，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率。,57,2.6,恒定电场,电动势,电场是驱使电荷运动不可缺少的。以金属为例，金属中的电流是自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成的。,由于自由电子在运动中会有能量损耗，因而需要有源来补充这种损耗，即电源。,电源的作用是将其他形式的能量转换为电能。,58,2.6,恒定电场,电动势,电源内部有非静电力存在。,电流是静电力与非静电力共同作用的结果。因此，包含电源的欧姆定律的微分形式为,若回路中有恒定电流,I,且是均匀分布的，则相应的总功率为,回路中的电动势定义为,59,2.7,导电媒质的边界条件,电流密度矢量的法向分量,根据,恒定电场基本方程,有,写为电位形式，为,或,60,2.7,导电媒质的边界条件,电场强度,E,的切向分量,由于静电场是保守场，因而 。将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径,ab,c,da,。图中,h,0,，因而,bc,和,da,对线积分的贡献可忽略不计。因此有,或,61,2.7,导电媒质的边界条件,电场强度,E,的切向分量,假定闭合路径包围的矩形平面的方向为,s,，则有,所以边界条件又可以写成,由矢量恒等式,得到：,即 或写成电位形式,62,2.7,导电媒质的边界条件,分界面上电场的方向,边界条件为,两式相除得,63,