匈牙利算法示例2009

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,匈牙利算法示例,1,（二）、解题步骤：,指派问题是,0-1,规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，,0-1,规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即,系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。,第一步：变换指派问题的系数矩阵（,c,ij,）为(,b,ij,)，使在(,b,ij,)的各行各列中都出现0元素，即,(1) 从（,c,ij,）的每行元素都减去该行的最小元素；,(2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。,2,第二步：进行试指派，以寻求最优解。,在(,b,ij,)中找尽可能多的独立0元素，若能找出,n,个独立0元素，就以这,n,个独立0元素对应解矩阵(,x,ij,)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：,(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作,。然后划去,所在列(行)的其它0元素，记作,；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。,(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作,；然后划去,所在行的0元素，记作,(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。,3,(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。,（5）若,元素的数目,m,等于矩阵的阶数,n,，那么这指派问题的最优解已得到。若,m,n, 则转入下一步。,第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。,(1)对没有,的行打号；,(2)对已打号的行中所有含,元素的列打号；,(3)再对打有号的列中含,元素的行打号；,4,(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止；,(5)对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数,l,。,l,应等于,m,，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若,l,m,n,，须再变换当前的系数矩阵，以找到,n,个独立的0元素，为此转第四步。,第四步：变换矩阵(,b,ij,)以增加0元素。,在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打各行都减去这最小元素；打各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。,5,例一：,任务,人员,A,B,C,D,甲,2,15,13,4,乙,10,4,14,15,丙,9,14,16,13,丁,7,8,11,9,6,2,4,9,7,7,4,2,8,9,有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作,A,、,B,、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,任务,人员,A,B,C,D,甲,6,7,11,2,乙,4,5,9,8,丙,3,1,10,4,丁,5,9,8,2,例二、,10,求解过程如下：,第一步，变换系数矩阵：,5,第二步，试指派：,找到 3 个独立零元素,但 m,=,3,n =,4,11,第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：,独立零元素的个数,m,等于最少直线数,l,，即,l,m,=3,n,=4,；,第四步，变换矩阵(,b,ij,)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,12,0,0,0,0,0,0,得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：,15,13,练习：,11,5,7,6,4,戊,6,9,6,3,7,丁,8,6,4,5,8,丙,9,11,7,12,9,乙,11,8,9,5,7,甲,E,D,C,B,A,费 工作,用,人员,14,-1,-2,15,16,l,=,m,=4 ,n,=5,17,18,19,l,=,m,=4 ,n,=5,20,21,此问题有多个最优解,28,22,23,24,用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：,25,