导数与微分(高等数学)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数与微分(高等数学),1,、导数的定义,导函数,注意：,记为,例题1.设,存在，且,则,等于,A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5,分析：,导数定义的本质：,练习：,P43,第3题,2、,单侧导数,左导数,与右导数,:,在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式,可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。,例. 见教材,P42,页例6,例题2. 讨论,在,处的连续性与可导性.,分析：,所以,在,处连续,所以,因此,在,处可导。,题目的函数为：,当,时，,所以,因此,从而,在,处可导。,判断可导性的另一种方法：,3,、导数的几何意义：,函数,在点,处的导数,表示曲线在点,处切线的斜率。,曲线在点,处的切线方程为,法线方程为：,例,求曲线,在点（,2,，,8,）处得切线方程和法线方程。,解 在点（,2,，,8,）处的切线斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线斜率为,于是所求法线方程为,4,、导数与连续的关系 ：,定理(函数可导的必要条件) ：,在点,处可导,在点,处连续。,可导连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件，,但不是充分条件。,例子 见教材,P42,例题7，8,例 函数,在,x,=0,连续但不可导，,于是有,可导一定连续，但是连续不一定可导。,连续一定有极限，但是有极限不一定连续。,因为,例,解,练习：,P43,页第7题,5,、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,6,、求导法则,(1),函数的和、差、积、商的求导法则,(2),反函数的求导法则,或,注意：,与,的区别,表示复合函数对自变量,求导,（3）.复合函数的导数：,复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。,表示复合函数对中间变量,求导,例求下列函数的导数,例,设,，求,解,例设,，求,解,首页,上页,下页,(4),隐函数求导法则,隐函数求导法:方程两端同时对,x,求导,注意在求导过程中要,y=f(x),视为,x,的函数,即把,y,视为中间变量。,见,P53,页例3,例,求由方程,所确定的隐函数的导数,解,方程两端对,x,求导数，得,例,求椭圆,在点,处的切线方程,.,解,所求切线斜率为,方程两边对,x,求导,得,首页,上页,下页,例,求由方程,所确定的隐函数的二阶导数,(5),参变量函数的求导法则,解：,曲线上对应,t,=1,的点（,x, y,),为（,0,0,）,曲线,t,=1,在处的切线斜率为,于是所求的切线方程为,y,=,x,求曲线,在,t,=1,处的切线方程,例,例题：设,，求,(6),对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,.,适用范围,:,对数求导法适用于幂指函数,以及多因子乘积（或商）函数的导数,例. 见,P53,页例4，5，6,首页,上页,下页,两边对,x,求导数，得,解： 两边取对数，得,例,求函数,的导数,.,（,7,）抽象函数的求导法则,7,、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,),求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。,当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数,的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，,直至求出所求阶导数的方法。,当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数,的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，,再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的,高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数,。,例,求,的,n,阶导数,.,解,一般地，可得,例,解,求,的,阶导数,.,一般地，可得,首页,上页,下页,例,求,的,阶导数,.,解,一般地，可得,上页,下页,练习：,P51 2(1) (4) (5),8,、,微分,(,微分的实质,),（,1,）微分的定义,（,2,）、导数与微分的关系,定理,（,3,）、 微分的求法,求法,:,计算函数的导数,乘以自变量的微分,.,（,4,）基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,（,5,）、 微分的基本法则,微分形式的不变性,例,.,求函数的微分,(2),例. 设,求,分析 ：,是,R,上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接,应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用,导数定义。,解：方法一,方法二 分析函数的表达式特点及求导点为,令,其中,则,故,