概率论第十三讲协方差与相关系数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,教学目的,：,1,.矩的概念,.,2,.协方差与相关系数,3,切贝谢夫不等式,第十三讲 协方差与相关系数,教学内容,：,第三章， 3.6 3.7 。,1,一,矩,设,X,为离散 r.v. 分布为,X,连续 r.v. ，d.f. 为,定义,2,二,协方差和相关系数,问题,对于二维随机变量(,X ,Y,):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自,的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系,.,数,反映了随机变量,X , Y,之间的某种关系,3,称,为,X ,Y,的,协方差.,记为,称,为（,X , Y,）的,协方差矩阵,可以证明,协方差矩阵 为 半正定矩阵,协方差和相关系数的定义,定义,4,若,D,(,X,) 0,D,(,Y,) 0 ,称,为,X ,Y,的,相关系数,，记为,事实上，,若,称,X ,Y,不相关,.,无量纲,的量,5,若,(,X ,Y,),为离散型，,若,(,X ,Y,),为连续型，,协方差和相关系数的计算,6,求 cov (,X ,Y,),XY,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,例1,已知,X ,Y,的联合分布为,X,Y,p,ij,1 0,1,0,p,0,0,q,0 ,p 0,D,(,Y,) 0 时，当且仅当,时, 等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,证,令,对任何实数,t ,12,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,显然,13,即,即,Y,与,X,有线性关系的概率等于1, 这种,线性关系为,14,完全类似地可以证明,当,E,(,X,2,) 0,E,(,Y,2,) 0 时,当且仅当,时, 等式成立.,15,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式,的等号成立,即,Y,与,X,有线性关系的概率等于1，,这种线性关系为,16,如例1中,X ,Y,的联合分布为,X,Y,p,ij,1 0,1,0,p,0,0,q,0 ,p 0, 不等式 成立，,或,返回主目录,19,返回主目录,20,例4,假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。,21,性质 4 的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,) =,E,(,X,),E,(,Y,)，,X ,Y,不一定独立,反例 1,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p, j,p,i,附录1,22,X Y,P,-1 0 1,但,23,反例2,24,但,25,几个重要的 r.v. 函数的数学期望,X,的,k,阶原点矩,X,的,k 阶绝对原点矩,X,的,k 阶中心矩,X,的,方差,附录,2,26,X ,Y,的,k + l 阶混合原点矩,X ,Y,的,k + l 阶混合中心矩,X ,Y,的,二阶原点矩,X ,Y,的,二阶混合中心矩,X ,Y,的,协方差,X ,Y,的,相关系数,27,作业 P.117 习题三,23 24,25 26,28,