一命题的有关概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,简易逻辑,1,一、命题的有关概念,1.,命题,可以判断真假的语句,.,“非,p,”形式的复合命题与,p,的真假相反;,2.,逻辑联结词,“,或,”、“,且,”、“,非,”,.,3.,简单命题,不含逻辑联结词的命题,.,4.,复合命题,含有逻辑联结词的命题,.,5.,复合命题真值表,“,p,或,q,”形式的复合命题当,p,与,q,同时为假时为假, 其它情形为真;,“,p,且,q,”形式的复合命题当,p,与,q,同时为真时为真, 其它情形为假.,p,非,p,真,假,假,真,p,q,p,或,q,真,真,真,真,假,真,假,真,真,假,假,假,p,q,p,且,q,真,真,真,真,假,假,假,真,假,假,假,假,2,二、命题的四种形式,逆否命题: 若,q, 则,p,.,原命题: 若,p, 则,q,;,逆命题: 若,q, 则,p,;,否命题: 若,p, 则,q,;,互逆,互逆,互,否,互,否,否命题 若,p,则,q,逆否命题,若,q,则,p,原命题,若,p,则,q,逆命题,若,q,则,p,互,为,逆,否,否,逆,为,互,注: 互为逆否命题的两个命题同真假.,3,三、反证法,1.一般步骤,反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;,归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾;,结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.,2.命题特点,结论本身以否定形式出现;,结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;,结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;,结论的反面比原结论更具体或更易于证明.,4,3.特殊结论的反设,原结论词,大于(),小于(),都是,都不是,至少,n,个,至多,n,个,反设词,不大于(,),不小于(,),不都是,至少有一个是,至多,n,-,1,个,至少,n,+1,个,原结论词,有无穷多个,存在唯一的,对任意,x, 使恒成立,反设词,只有有限多个,不存在或至少存在两个,至少有一个,x, 使不成立,4.引出矛盾的形式,由假设结论,q,不成立, 得到条件,p,不成立;,由假设结论,q,不成立, 得到结论,q,成立;,由假设结论,q,不成立, 得到一个恒假命题;,分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.,5,典型例题,用反证法证明下列各题,:,1.某班有,49,位学生, 证明: 至少有,5,位学生的生日同月.,3.设,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b, 求证: |,f,(1)|、|,f,(2)|、|,f,(3)|,中至少有一个不小于 .,1,2,4.设三个正数,a,b,c,满足条件 + + =2, 求证:,a,b,c,中至少有两个不小于,1.,b,1,a,1,c,1,2.若,p,1,p,2,=2(,q,1,+,q,2,), 证明关于,x,的方程,x,2,+,p,1,x,+,q,1,=0,与,x,2,+,p,2,x,+,q,2,=0,中, 至少有一个方程有实根.,6,证: 假设至多有,4,位学生的生日同月, 即:,生日在,1, 2, 12,月的学生人数都不超过,4,人.,则该班学生总数,m,4,12=48人,与该班有,49,位学生的条件矛盾,假设不成立.,至少有,5,位学生的生日同月.,1.某班有,49,位学生, 证明: 至少有,5,位学生的生日同月.,7,证: 假设这两个方程都没有实根, 则,1,0,且,2,0, 从而有:,1,+,2,0.,又,1,+,2,=(,p,1,2,-,4,q,1,)+(,p,2,2,-,4,q,2,)=,p,1,2,+,p,2,2,-,4(,q,1,+,q,2,),=,p,1,2,+,p,2,2,-,2,p,1,p,2,=(,p,1,-,p,2,),2,0,与,1,+,2,0,矛盾.,即,1,+,2,0,假设不成立.,故这两个方程至少有一个有实根.,2.若,p,1,p,2,=2(,q,1,+,q,2,), 证明关于,x,的方程,x,2,+,p,1,x,+,q,1,=0,与,x,2,+,p,2,x,+,q,2,=0,中, 至少有一个方程有实根.,8,证: 假设,|,f,(1)|、|,f,(2)|、|,f,(3)|,全小于 , 即:,1,2,-,1+,a,+,b,1,2,1,2,-,4+2,a,+,b,1,2,1,2,-,9+3,a,+,b,1,2,1,2,-,a,+,b,-,3,2,1,2,-,2,a,+,b,-,9,2,7,2,-,3,a,+,b,-,2,19,2,17,3,2,1,2,由式得,-,a,-,b, ,与,式相加得,-,4,a,-,2 ,与式相加得,-,6,a,-,4 ,9,2,7,2,由式得,-,2,a,-,b, ,显然与矛盾,假设不成立.,故,|,f,(1)|、|,f,(2)|、|,f,(3)|,中至少有一个不小于 .,1,2,3.设,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b, 求证: |,f,(1)|、|,f,(2)|、|,f,(3)|,中至少有一个不小于 .,1,2,9,4.设三个正数,a,b,c,满足条件 + + =2, 求证:,a,b,c,中至少有两个不小于,1.,b,1,a,1,c,1,a,b,c,三数均小于,1,证: 假设,a,b,c,中至多有一个数不小于,1, 这包含两种情况:,即,0,a,1, 0,b,1, 0,c,1, 1, 1,b,1,a,1,c,1,+ +,3,b,1,a,1,c,1,也与已知条件矛盾.,a,b,c,中恰有两数小于,1, 不妨设,0,a,1, 0,b,1, 1,b,1,a,1,c,1,+ +,2+ 2,b,1,a,1,c,1,假设不成立.,a,b,c,中至少有两个不小于,1.,10,课堂练习,1.已知,abc,0,求证,: 三个方程,ax,2,+,bx,+ =0、,bx,2,+,cx,+ =0,与,a,4,c,4,cx,2,+,ax,+ =0,中至少有一个方程有实数根.,b,4,2.对于函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b,(,a,b,R,), 当,x,-,1, 1,时, |,f,(,x,)|,的最大值为,M,求证: M,.,1,2,3.方程,x,2,-,mx,+4=0 在,-,1, 1,上有解, 求实数,m,的取值范围.,1.证,: 设三个方程的判别式分别为,1, ,2, ,3,由 ,1,+,2,+,3,=,b,2,-,ac,+,c,2,-,ba,+,a,2,-,cb,= (,a,-,b,),2,+(,b,-,c,),2,+(,c,-,a,),2,0,1,2,即 ,1,+,2,+,3,0.,故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.,1, ,2, ,3,中至少有一个非负.,11,2.对于函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b,(,a,b,R,), 当,x,-,1, 1,时, |,f,(,x,)|,的最大值为,M,求证: M,.,1,2,|,f,(,-,1)|=|1,-,a,+,b,|,.,1,2,证: 假设,M, 则,|,f,(1)|=|1+,a,+,b,|, |,f,(0)|=|,b,|,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,|1+,a,+,b,|+|,-,2,b,|+|1,-,a,+,b,|,+2, + =,2,即,|1+,a,+,b,|+|,-,2,b,|+|1,-,a,+,b,|2.,又,|1+,a,+,b,|+|,-,2,b,|+|1,-,a,+,b,|,|(,1+,a,+,b,),-,2,b,+(1,-,a,+,b,),|=2,即,|1+,a,+,b,|+|,-,2,b,|+|1,-,a,+,b,|,2,与,式,矛盾.,假设不成立.,1,2,M,.,12,3.方程,x,2,-,mx,+4=0 在,-,1, 1,上有解, 求实数,m,的取值范围.,解,: 先考虑,x,2,-,mx,+4=0,在,-,1, 1,上无解时,m,的取值范围.,包含两种情况: 方程,x,2,-,mx,+4=0,无实数解;,方程有实数解, 但解不在,-,1, 1,上.,设,f,(,x,)=,x,2,-,mx,+4, 则等价于,=m,2,-,160;,等价于:,0;,0.,0;,1;,2,m,f,(1)0.,或,-,1,1;,0;,2,m,f,(,-,1)0;,f,(1)0.,或,解得实数,m,取值的集合,A=(,-,5, 5).,故所求实数,m,的取值范围是:,C,R,A=(,-,-,5,5, +,).,13,