极值与凹凸性

*,3.4,极值与凹凸性,3.4.1,函数的极值,1,定义,3.1,的一个极大值,(,或极小值,),如果在,x,0,的,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数,取得极值的点,x,0,称为,极值点,.,设 在,x,0,附近有定义,某个空心邻域内,恒有,注意,:,极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉,及函数在一点附近的性质,.,2,定理,3.4,(,极值的,必要条件,),注意,:,可导函数的极值点必定是驻点,例如,但驻点不一定是极值点,.,则必有,设 在点 处可导,且在 处取得极值,的,驻点,.,另外,:,连续函数的不可导点,也可能是极值点,.,例如,3,设函数 在,x,0,处连续,定理,3.5 (,极值的第一充分条件,),在,x,0,的某个空心,邻域内可导,则,(1),如果 有,而,有,则,在 处取得极大值,;,(2),如果 有,而,有,则,在 处取得极小值,;,(3),如果当 及 时,符号相同,则 在 处无极值,.,4,是极值点情形,不是极值点情形,5,求函数极值的基本步骤,:,(3),求出各极值点处的函数值,得到相应的极值,.,(1),求出,的所有可能的极值点,即的不可导,的点和 的点,;,(2),对,(1),中求得的每个点,根据,在其左、,右是否变号,确定该点是否为极值点,.,如果是极值点,进一步确定是极大值点还是,极小值点,;,6,例,1,求函数 的极值,.,解,极大值,极小值,函数在其,定义域 内连续,.,导数不存在,;,不存在,无极值,不存在,7,定理,3.6 (,极值的第二充分条件,),注意,:,则,设,在,处具有二阶导数,且,(1),当 时,函数 在 处取得极大值,;,(2),当 时,函数 在 处取得极小值,.,此时仍需用,定理,3.5.,极大值,极小值,8,解,定义域为,例,2,求函数 的极值,.,9,图形上任意弧段,位于所张弦的上方,3.4.2,曲线的凹凸性及拐点,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段,位于所张弦的下方,10,恒有,设 在区间,I,上连续,定义,3.2,如果,恒有,如果,11,定理,3.7,解,定义,3.3,连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线,的,拐点,.,例,3,判断,曲线,的凹凸性,.,12,定理,3.8 (,拐点的第一充分条件,),设函数 在,x,0,的某邻域 内连续，,在空心邻域 内 存在,(1),(2),定理,3.9 (,拐点的第二充分条件,),曲线 的拐点,.,13,解,凹的,凸的,凹的,拐点,不是拐点,例,4,求曲线 的拐点及凹凸区间,.,函数在其,定义域 内连续,.,不存在,14,例,5,证明,证,所以曲线在 上是严格向下凸的,.,有,即,15,性质,有,则,其中,16,证,例,6,证明当,设,则,即,17,1.,铅直渐近线,(,垂直于,x,轴的渐近线,),3.4.3,函数图形的描绘,一条,渐近线,.,移向无穷点时,如果点,P,到某定直线,L,的距离,趋向于零,如果,18,例如,有两条铅直渐近线,:,19,2.,水平渐近线,(,平行于,x,轴的渐近线,),例如,有两条水平渐近线,:,如果,20,3.,斜渐近线,斜渐近线求法,如果,或,若,且,21,注意,:,解,如果,定义域为,例,7,求 的,渐近线,.,不存在,;,不存在,;,可以断定 不存在斜渐近线,.,22,所以,是曲线的铅直渐近线,.,所以,是曲线的一条,斜渐近线,.,23,(1),确定函数的定义域、间断点,、,奇偶性和周期性,.,和拐点,.,(2),确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势,.,确定,曲线的凹凸性,(4),适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点,的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点,.,函数作图的具体步骤可归纳如下,:,(3),求出函数的单调性和极值,24,例,8,描绘函数 的图形,.,解,函数非奇非偶,.,定义域为,水平渐近线,:,25,不存在,拐点,极小值,间断点,无斜渐近线,.,列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点,:,铅直渐近线,26,作图,拐点,极小值,补充点,不存在,拐点,极小值,间断,点,水平渐近线,:,垂直渐近线,:,27,