有限元法在内燃机上的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,有限元法在内燃机上,的应用入门,前言,有限元法简介,内燃机设计提出的问题,曲轴的扭振（曲轴的固有频率、振型、扭振的振幅）,轴承的计算（轴心轨迹、油膜厚度、压力）,曲轴强度（强度：应力）,活塞（温度场：热应力、机械强度：应力）,连杆（强度：应力）,机体（刚度：变形量、强度：应力）,缸盖（鼻梁区：热应力）,配气机构动力学（零部件刚度）,工具,-,有限元法（,FEA ),，而不是,FEM,理论,有限元法简介,有限元法的概念,有限元法（有限单元法、有限元素法）,Finite Element Method( FEM ),Finite Element Analysis( FEA ),无限元法,:(,发动机辐射噪声场）,Infinite element method,（,IFEM,）,有限元法是可以求解工程、数学、物理方面具有初值、边值条件的微分方程的一种近似的数值计算方法。（数学）,经典有限元法求解思路,数理方程,、,传热学,中内部无热源的平面温度场方程,区域,A,可以得到微分方程的解析解（转为齐次方程）,区域,B,、,C,难以得到解析解，可得近似数值解。如有限差分法、有限元法、边界元法等，有限元法为最主要的方法之一。,轴承用有限差分法。噪声用边界元法。流体用有限容积法,有限元解微分方程方法,整个区域中温度,T,的分布复杂，难以找到一个函数来描述,T,的分布，可把复杂的区域划分为较小的规则的区域（单元,element,）,则在每个较小的区域温度,T,的分布简单，可用假定的简单函数来表示，可以通过有关的数学变换（本课主讲内容）将求解微分方程问题变为求解线性方程组的问题（应用线性代数）。,有限元发展过程,工程方面,1956,年,Boeing,公司的,Turner Clough,分析飞机的结构（采用自然离散的方法）,1960,年,Clough,处理平面连续弹性体问题，提出,Finite Element Mthod,1956,年,-,其它大学、公司,数学方面,1943,年,Courant,研究分片连续和最小势能问题,1963-1964,年,Besseling,，,Melosh,，,Jones,研究,FEM,和,Ritz,法的关系和变分原理,有限元法实现方法,有限元法将函数定义在简单几何形状（标准件）的单元域上，且不考虑整个定义域的复杂边界条件，是有限元法优于其他近似方法的原因之一,离散的概念,曲轴的离散,曲轴的离散：二维（质量单元,+,梁单元）,三维：四面体单元（棱锥）,or,六面体单元（砖）,哪些方面可用,FEA,固体力学（力学和土木）,流体力学（可用,FEA,，但多用有限容积法）,声场（可用,FEA,，但多用边界元法,BEM,）,传热学,电磁学,FEA,在内燃机方面应用,刚度（变形）和强度（应力）：,曲轴、连杆、活塞、机体、缸盖、配气等所有机械零件,振动和噪声：整机振动、曲轴扭振、整机噪声,传热：活塞、缸盖、缸套的热负荷,流体：进气、排气、缸内的流场、消声器（可用）,车辆的振动、驾驶室噪声（可用）,几个内燃机方面实例,潍柴,6170,连杆、曲轴,几个内燃机方面实例（,1,）,潍柴,6170,机体,玉柴,6108,机体,几个内燃机方面实例（,2,）,潍柴,6160,表面辐射噪声,几个内燃机方面实例,上汽通用五菱,B15D,其他方面实例,广州五羊,125,摩托车架,汽研中心汽车碰撞试验,其他方面实例（,2,）,天津扎努西冰箱压缩机,桥梁安全,其他方面实例（,3,）,2002,年,3,月,6,日伯克利大学环境工程,A. Astanehasl,教授在美国众议院科学委员会作证时做了美国,911,世贸大厦破坏仿真（包括碰撞分析、热分析）认为：大楼倒塌的原因是因为内部钢梁上的防火物质在高温的情况下被破坏，导致失去支撑力量,其他方面实例（,3,）,其他方面分析实例（,4,）,1,CAD-CAE-CAM,FEA,商业软件,SAP,（,79,年）,-,Algor,:structural analysis program,最早,NASTRAN,：,NASA,structure analysis,（动力分析,、航空航天,NSYS,：国内高校学生,其它的软件：,MARC,、,ABAQUS,、,ADINA,详细请见网络论坛。,内燃机商业软件,工作条件：,气门间歇性启闭冲击载荷,（惯性力,+,气门弹簧力）,凸轮面的接触力磨损,24,LMS.Sysnoise,（,LMS.vituallab,）：噪声分析有限元（,FEA,）、无限元（,IFEA,）、边界元（,BEA,）软件,第一章：弹性力学基础,第二章：一个有限元法的简单例子,第三章：平面问题的有限元法（最简单的三角形单元）,第四章：平面问题的高次单元,第五章：三维实体单元的简介（选讲）,第六章：平面温度应力有限元法简介（选讲）,课程内容,其他,课时安排：,总共,32,学时，讲课,12,学时，上机练习,20,学时,考试方式：,1,、上机,2,、期末随堂堂考试,学习本课程后达到的要求,1,、掌握有限元法的入门阶段的理论基础知识,2,、了解有限元分析的基本步骤，学会用,Patran,软件中的一些基本建模功，能做一些简单零件的静强度分析和有限元模态分析,参考书,有限元法基础,蒋友凉 国防工业出版社,有限元法在,ICE,上的应用,讲义 天津大学教材科,有限元法在动力机械上的应用,机械工业出版社,有限元及边界元法基础,北航出版社,有限元法基础,蒋孝煜,清华大学出版社,工程有限单元法基础,石油大学出版社,车用发动机设计,吴兆汉 国防工业出版社,第一章 弹性力学基础,本章目的,说明：推导出弹性力学问题的微分方程,可用,FEA,解微分方程,可用,FEA,求解弹性力学问题,非变形体,-,刚体,变形体,-,材料力学和弹性力学,材料力学和弹性力学的区别,研究对象：,材料力学：研究对象杆、柱、梁、板，长度远远大于厚度、,宽度。,弹性力学,:,任意形状弹性变形体（,5,个基本假设），可喜的是内燃机大多零件是弹性体。,研究方法：,材料力学：对整个截面建立三组方程。梁弯曲截面变形假设,弹性力学：对任意点建立三组平衡方程。,弹性体的基本假设和变量,5,个基本假设,3,组变量：位移、应力、应变,各种应力名称,任意截面的正应力、剪应力、,主应力（第,1,、,2,、,3,主应力）,最大拉应力、最大剪应力、米塞斯应力、最大主应力、,弯曲应力、扭转应力、拉压应力,x,、,y,、,z,方向应力,切向应力和法向应力,平面应力和平面应变,弹性体内一点应力状态,3,个正应力,+6,个剪应力,=9,个应力,考虑到剪应力互等，共有,6,个应力,全部确定了该点的应力状态,弹性体平衡方程,3,个方向合力,=0,3,个方向合力矩,=0,，共可列,6,个方程,3,个方向合力矩,=0,，实际上是剪应力互等，只有,3,个平衡方程,3,个方向合力,=0,的推导：,弹性体平衡方程,轮换,xyz,可得到其他,2,个方向方程,弹性体平衡方程,共,3,个平衡方程,弹性体几何方程,几何方程：弹性体任一点位移和应变的关系,以,x,向应变为例推导，,y,、,z,及剪应变参照,弹性体几何方程,X,方向的应变,共有,3,个正应变,+3,个剪应变,=6,个几何方程,用矩阵和向量表示物理方程,物理方程,广义虎克定律,应力和应变之间的关系，只和材料有关（弹性模量和泊松比）,弹力三组方程：方程数,=,变量数,变量,3,个正应力,+3,个剪应力,+3,个位移,+6,个应变,=15,个变量,目前有,3,个几何方程,+6,个几何方程,+6,个物理方程,=15,个方程,但只能得到一组通解，必须有边界条件才能有唯一特解,两类边界条件,力边界条件,位移边界条件,用圣维南原理简化内燃机边界条件：曲轴、连杆、活塞的接触边界,弹性力学方程的求解,力法：,位移法：（多用，本文用）教材：,1-22,到,1-25,页,理论上弹性力学方程可求解,实际上简单区域的可得理论解，复杂区域只能得到近似数值解,FEA,弹性力学虚功原理,弹性体在外力作用下变形后处于平衡状态，假设物体在此基础上发生一个任意小位移，外力在虚位移上做的功等于变形体接受的虚变形功。,平面应力问题虚功方程公式,第二章,一个有限元法的简单例子,有限元解变形、应力、应变问题,弹性力学：位移解法。通过弹力三组方程，把应力、应变转换为位移，求解得到位移，再得到应变，再得到应力。,求解步骤：,1,、将弹性体离散化为标准件（单元），得到单元和节点。单元间只能通过节点传递力，（只考虑节点力和节点位移）,2,、单元内假设一简单的位移函数，利用,3,组基本方程建立节点力和节点位移关系，结果是线性代数方程组,3,、将边界条件（力和位移约束）转化到节点力和节点位移,4,、线代方程组，得节点位移,-,插值得任一点位移,-,应变,应力,商用有限元软件求解步骤,1,、,建立几何模型,2,、,离散化（网格划分）,3,、单元属性的指定（包含材料,）,3.1,单元刚阵的生成,3.2,总体刚阵的组装,4,、边界条件的施加,（,4.1,实用总刚阵的获得）,5,、分析求解,6,、读入分析结果,7,、查看分析结果,商用有限元软件单元类型,0,维单元：集中质量单元、点弹簧、阻尼单元（接地）,1,维单元：拉压（扭转）杆、梁单元,2,维单元：板、壳单元（三角形、四边形）,平面问题单元,3,维单元（,4,面体、,5,面体、,6,面体）,用实例说明上述应用,1,阶单元和,2,阶单元（略）,FEA,中考虑的几个问题,1,、离散化,单元维数,单元形状,单元大小、疏密（静态计算、瞬态计算）,节点位置选取,单元和节点的编号,单元质量的检查（长度边比、最小角度、翘曲）,简单例子,刚度的概念,弹簧振子：刚度系数,2,个弹簧振子,刚度矩阵,k,：矩阵中的元素：刚度系数,刚度系数,-,柔度系数,柔度矩阵,如图弹性体各点作用广义力,F1,、,F2,Fn,，各点位移为,定义柔度系数 为在,j,点作用的单位力时在,i,产生的位移，则力 在,i,点产生的位移为 ，所有力在,i,产生的总位移则为,则所有力在各点产生的位移为：,柔度矩阵,柔度矩阵,C,刚度矩阵,如图弹性体各点作用广义力,F1,、,F2,Fn,，各点位移为,定义柔度系数 为在,j,点产生单位位移，需要在,i,施加的力，则力在,j,点产生 位移需要在,i,施加的力为 ，所有点都产生位移，需要在,i,加的力为,则要在各点产生的位移，需要在各点加的力为：,刚度矩阵,刚度矩阵,k,结论：如果知道刚度矩阵,k,在力,F,作用下各点的位移就可以求得，其他各点位移可以插值得到，这就是有限元法的思想。关键是求得,k,，也就是,单元刚度矩阵,对单元建立此关系，单元刚度矩阵,有限元种单元（标准件），如果能求得此关系。任意复杂件离散为这种标准件（单元），则大大简化运算,FEA,法的核心在于求得单元刚阵,k,标准件之一：弹簧单元简例（,1,）,用有限元法求拉伸杆的应力、应变和位移,将杆离散化为,2,个单元，单元,1,长,l1,和单元,2,长,l2,3,个节点，,1,、,2,、,3,。,假定节点,1,、,2,、,3,处的节点力为,F1,、,F2,和,F3,，位移为,u1,、,u2,和,u3,，单元,1,刚度系数,k1,，单元,2,为,k2,。,取单元,1,，有,标准件之一：弹簧单元简例（,2,）,例子：建立弹簧单元的刚度矩阵,用有限元法求拉伸杆的应力、应变和位移,将杆离散化为,2,个单元，单元,1,和单元,2,3,个节点，,1,、,2,、,3,。,假定节点,1,、,2,、,3,处的力为,F1,、,F2,和,F3,，位移为,u1,、,u2,和,u3,，单元,1,刚度系数,k1,，单元,2,为,k2,，,取单元,1,，有,至此已经得到单元,1,的单元刚阵,标准件之一：弹簧单元简例（,3,）,单元,1,刚阵可写为（注意上标和下标）,单元,2,刚阵可写为（注意上标和下标）,标准件之一：弹簧单元简例（,4,）,（,1,）,+,（,2,）为,可写为，注意,F1 F2 F3,是节点力，是单元对节点的力,这是整个结构的总体刚度矩阵,标准件之一：弹簧单元简例（,5,）,施加边界条件,1,、力：节点,1 2 3,处分别受节点力合力，,F1 F2 F3,，还有节点,3,受外力,P,，考虑到各节点受力平衡，得出,F1=0 F2=0 F3=-P,2,、位移：,u1=0,方程可写为，,k1 k2 P,已知，,2,个方程，,2,个未知量,u1 u2,可求,位移已知，由几何方程可求应变，由物理方程可求应力,可见弹力问题是微分方程问题，但最后解代数方程组,由单元刚阵组装总体刚阵,弹簧单元刚阵可以直接写出,其他单元尚未求得，第,3,章和第,4,章将,由单元刚阵获得总体刚阵,在每个单元刚阵 基础上，把属于总体结构但不在本单元上的所有节点（编号）对应的行（第,n,行）、列（第,n,列）矩阵元素补,0,后，把所有单元刚阵相加即可得到总体刚阵。,边界条件施加,1,、力,P,：节点号对应的力向量中元素为,-P,，其他为,0,2,、位移：去掉节点号对应的行、列,总体刚阵的特点,（,1,）对称性,总体刚阵元素关于对角线对称，,可以从力的互等作用定理解释,（,2,）任一行（列）元素代数和,=0,。从结构发生,x,向和,y,向刚体运动（此时节点力,=0,）解释,（,3,）对角线元素为正,（,4,）总体刚阵奇异， 必须施加边界条件后才有唯一解，,第三章,平面问题有限元法,平面问题有限元法,有限元法的概念,具有初值、边值调节的微分方程的近似数值解法。,求解步骤：,1,、将弹性体离散化单元和节点。,2,、单元内假设一简单的位移函数，利用,3,组基本方程建立节点力和节点位移关系，结果是线性代数方程组,3,、将所有单元的线代方程装成整个结构的线性代数方程组,3,、将边界条件（力和位移约束）转化到节点力和节点位移,4,、线代方程组，得节点位移,-,插值得任一点位移,-,应变,应力,单元类型、形状和疏密,0,维单元：集中质量单元、点弹簧、阻尼单元（接地）,1,维单元：拉压（扭转）杆、梁单元,2,维单元：板、壳单元（三角形、四边形）、平面问题单元,3,维单元（,4,面体、,5,面体、,6,面体）,网格大小、疏密,体单元每个节点,3,个自由度，,3,个方程，整个结构计算时间大约和单元尺寸的,3,次方成反比,单元节点数（,1,阶单元和高阶单元）,3,节点三角形单元和,6,节点三角形单元、,4,节点四面体单元和,10,节点四面体单元，,8,节点六面体单元（最常用）,和,20,节点六面体单元,单元位移函数,单元位移函数：,概念，一般为多项式，积分和微分方便。,单元有几个节点，多项式位移函数则有几个未知系数,单元位移函数的确定（试着凑出单元节点力和节点力关系）,1,、单元的节点坐标是已知的,2,、单元内任一点都满足位移函数,3,、假定节点位移是已知量，目的建立节点力和节点位移关系,4,、用待定系数法求解单元位移函数,3,节点平面三角形单元（,1,）,每个节点有,x,，,y2,个方向,，单元有几个节点，位移函数则有几个未知系数。,1,、右图节点坐标已知,i,（,xi,，,yi,），,j,（,xj,，,yj,），,k,（,xk,，,yk,）,2,、假定节点位移已知：,i,：,ui,，,vi,，,j,：,uj,，,vj,k:uk,vk,3,、单元节点也满足位移函数，代入单元位移函数,4,、未知量为,a1-a6,，,6,个方程,6,个位置量，用待定系数法,可求,a1-a6,3,节点平面三角形单元（,2,）,求得,a1-a6,把求得的,a1-a6,代入，可得三角形单元的位移函数,牢记求解的目的在于获得公式：,对本三角形单元来说为：,3,节点平面三角形单元（,3,）,把位移函数朝上式形式凑，整理成如下形式：,可证明整理结果为：,位移函数,u,，,v,都是,1,次多项式（,1,次函数）,所以,Ni,，,Nj,，,Nk,一定是一次函数,位移函数,u,，,v,只和节点坐标、节点位移、,x,、,y,有关，所以,Ni,，,Nj,，,Nk,一定是只和节点坐标有关的一次函数，而节点坐标决定单元三角形形状，因此,Ni,，,Nj,，,Nk,称为形函数,3,节点平面三角形单元（,4,）,把位移函数进一步整理为：,对比本章的求解目的，公式右边已经有所接近,平面问题应变和几何方程（,1,）,平面问题应变,代入,3,节点平面三角形单元位移函数，得到其应变,平面问题应变和几何矩阵,代入,3,节点平面三角形单元位移函数，得到其应变,上公式简写为,由于形函数,Ni,，,Nj,，,Nk,是一次函数，求导后为常数，所以矩阵,B,中元素一定为常数，也就是,3,节点三角形单元应变为常量，因此精度较差。,对应几何方程，矩阵,B,称为几何矩阵。,平面问题应力和弹性矩阵（,3,）,考虑平面问题物理方程（广义虎克定律）,矩阵,D,称为弹性矩阵，只和弹性模量,E,和泊松比,u,有关，也就是取决于材料。,矩阵,D,和,B,中元素都为常量，所以,3,节点三角形单元为常应力单元，精度较差。,平面问题虚功方程,平面问题虚功方程（作为定律直接应用），,t,为平面厚度,代入,3,节点三角形单元的应变和应力,得到,3,节点平面三角形单元刚阵（,1,）,三角形单元刚阵,考虑到虚位移可以是任意量，提到积分号外,考虑到节点位移也是任意的,3,节点平面三角形单元刚阵（,2,）,考虑到几何矩阵元素为常量，应力也是常量,代入物理方程，应力,考虑到节点位移也是任意的,3,节点平面三角形单元刚阵（,3,）,得到了三角形单元刚阵,即建立了单元节点力和节点位移见的关系，对比上下公式，,kij,已经可求,平面三角形单元有限元法（,1,）,1,、如右图平面问题，划分网格，,得到节点,1,、,2,、,3,、,4,和单元,1,、,2,2,、求出单元,1,和单元,2,的单元刚阵（,6x6,矩阵）,3,、将单元,1,和,2,的单元刚阵扩充相加，得总体刚阵。（,8X8,矩阵）,4,、施加边界条件,A,、节点,1,、,2,固定，位移为,0,，不用再求解，在总体刚阵中消去对应的行列（考虑到节点,1,、,2,都有,x,、,y2,个方向，所以消去,4,行,4,列，得实用总刚阵（,4X4,矩阵）,B,、由节点平衡方程，得知节点,4x,方向的节点力为,-P,，其他节点力,=0,，,可列出节点力和节点位移的线性代数方程组（,4,个方程）,平面三角形单元有限元法（,2,）,求解线性代数方程组，得到各节点位移（实际上只有节点,3,、,4,的,x,、,y,向位移，共,4,个，节点,1,、,2,位移为,0,）,节点位移已知后，平板上任一点的位移有位移函数求得,(,近似）,知道位移后，平板上任一点应变有几何方程求得，对位移求导，常应变。,平板上任一点应力有物理方程求得,所有量都已经求得,平面三角形单元有限元法（,3,）,至此所有关于变形、应变、应力的平面问题都已经可以求解。,考虑到三角形单元的常应变、常应力，细分网格提高精度,通过其他形状单元提高精度，四边形单元,第四章,平面问题高阶单元,3,节点平面三角形单元的局限,常应力、常应变单元，精度较差,可以细分网格提高精度，但求解量增加，每个节点,2,个方程。,采用高阶单元,1,、,6,节点三角形单元：精度高，求解量大,2,、矩形单元：精度高，求解量不大,3,、任意四边形单元,矩形单元位移函数,位移函数：,4,个节点，,4,个系数,参照三角形单元，用待定系数法求,a1-a8,得到位移函数,u,，,v,，整理成形函数的形式,因为位移函数为,2,次函数，所以,Ni,，,Nj,，,Nm,，,Np,也为,2,次函数，形函数。,矩形单元应变,位移函数：,4,个节点，,4,个系数,矩形单元应变。因为形函数为,2,次函数，求导后几何矩阵,B,元素为一次函数。所以矩形单元应变是一次函数,矩形单元应力,矩形单元应力（物理方程）,矩形单元应力。因为形函数为,2,次函数，求导后几何矩阵,B,元素为一次函数。所以矩形单元应力是一次函数,三角形单元应变、应力都是常量，矩形单元应变和应力都是一次函数，精度高于三角形单元，可以采用较粗的网格就可以得到较高的精度，而且求解量小,平面问题虚功方程,平面问题虚功方程（作为定律直接应用），,t,为平面厚度,代入矩形单元的应变,得到,矩形单元刚阵（,1,）,矩形单元刚阵,考虑到虚位移可以是任意量，提到积分号外,考虑到节点位移也是任意的,矩形单元刚阵（,2,）,考虑到几何矩阵元素为常量，应力也是常量,对比以下公式，矩形单元刚阵已经就得,矩形单元刚阵需要积分，几何矩阵,B,中元素为一次函数，积分方便，这也是单元位移函数采用多项式的原因,矩形单元应力,矩形单元应力（物理方程）,矩形单元应力。因为形函数为,2,次函数，求导后几何矩阵,B,元素为一次函数。所以矩形单元应力是一次函数,三角形单元应变、应力都是常量，矩形单元应变和应力都是一次函数，精度高于三角形单元，可以采用较粗的网格就可以得到较高的精度，而且求解量小,矩形单元有限元法（,1,）,1,、如右图平面问题，划分网格，,得到节点,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,和单元,1,、,2,2,、求出单元,1,和单元,2,的单元刚阵（,8x8,矩阵）,3,、将单元,1,和,2,的单元刚阵扩充相加，得总体刚阵。（,12X12,矩阵）,4,、施加边界条件,A,、节点,1,、,2,固定，位移为,0,，不用再求解，在总体刚阵中消去对应的行列（考虑到节点,1,、,2,都有,x,、,y2,个方向，所以消去,4,行,4,列，得实用总刚阵（,8X8,矩阵）,B,、由节点平衡方程，得知节点,4x,方向的节点力为,-P,，其他节点力,=0,，,可列出节点力和节点位移的线性代数方程组（,8,个方程）,矩形单元有限元法（,2,）,求解线性代数方程组，得到各节点位移（实际上只有节点,3,、,4,、,5,、,6,的,x,、,y,向位移，共,8,个，节点,1,、,2,位移为,0,）,节点位移已知后，平板上任一点的位移有位移函数求得,(,近似）,知道位移后，平板上任一点应变有几何方程求得，对位移求导，常应变。,平板上任一点应力有物理方程求得,所有量都已经求得,矩形单元有限元法（,3,）,可以只用,1,个矩形单元，,4,个节点，和三角形单元节点数相同，但，精度高于三角形单元,矩形单元的局限性,矩形单元不适于划分曲边边界处，需要借用三角形单元,任意四边形单元适于划分曲边边界，不需要借用三角形单元,单元的变形协调性要求（,1,）,相邻的两个单元变形后在公共边处既不能开裂，也不能重叠，这称为单元变形的协调性，这样的单元称为协调单元,如果单元的位移函数在公共边上退化为一次函数（或低于一次），则单元变形协调,1,、三角形单元位移函数本身就是一次函数，所以单元变形协调,2,、矩形单元位移函数为,2,次函数，但是在如下坐标系下，最右边,方程为,x=a,，在该边上位移函数退化为一次函数,单元的变形协调性要求（,2,）,3,、任意四边形单元，公共边的位移函数仍然为,2,次函数，单元变形后，在相邻的公共边处会开裂或重叠，任意四边形变形不协调,4,、任意四边形采用自然坐标系可以解决单元变形协调性问题，,内容略,第四章,体单元简介,三种形状体单元,四面体单元,(,棱锥）,五面体单元（楔形单元），只用于四面体和六面体的过度,六面体单元（砖形单元）,内容略,4,节点四面体单元位移函数,4,个节点，,4,个未知系数,位移函数为一次函数，类似,3,节点三角形单元，可以推知其单元的应变和单元应力都是常量，即,4,节点四面体单元是常应变、常应力单元，精度较差,类似可得到,4,面体单元刚阵。（略）,四面体单元法可以求解所有关于体的应力、应变和位移问题（略）,高阶体单元,10,节点四面体单元,8,节点六面体单元,20,节点六面体单元,四面体与六面体单元的选择,4,节点四面体单元常应变、常应力，精度差。细化网格才能提高精度，但会使得求解量增加,10,节点四面体单元应变、应力不是常量，精度高，但是求解量大。每个节点有,3,个方程,8,节点六面体单元不需要细化网格即可获得较高精度，求解量不大。,四面体单元的最大优点是,FEA,软件自动划分网格容易，而六面体单元较难自动划分网格，投入的人力大大增加,建议,:,静态应力计算可用,10,节点的,4,面体网格。,动态应力计算和迭代计算量大的采用六面体网格,第五章,平面温度应力问题简介,平面温度场的控制方程,控制方程,平面温度场温度边界条件,1,、第一类边界条件,2,、第二类边界条件,3,、第三类边界条件,平面温度场问题涉及到泛函的极值函数，研究生数学内容（略）,补充,弹簧单元,弹簧单元的位移函数和形函数,弹簧单元刚阵已知，,k,为弹性系数，可直接使用,弹簧单元位移函数：,2,个节点，可确定,2,个系数，为一次函数,假定节点位移,u1,，,u2,已知，待定系数法求,a1,和,a2,，得位移函数,将位移函数整理成如下形式，矩阵中元素则为形函数，是一次函数,弹簧单元的应变和应力,知道位移后，应用几何方程，可得应变和几何矩阵,可得弹簧单元应力,利用虚功方程可得弹簧单元刚阵,弹簧单元有限元法,单元刚阵扩充相加，可得总体刚阵,施加位移边界条件，可得到使用总刚阵,施加力边界条件，利用平衡方程，可得节点力向量,求解可得节点位移,由位移函数可得弹簧单元内任一点位移,由几何方程可以单元任一点应变,由物理方程可得单元内任一点的应力,至此应力、应变、位移都可求,上机练习,有限元法在内燃机上的应用,