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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教育部重点课题新教育子课题,在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践,1,二、恩格斯（,1820-1895,）曾于世纪年代提出过这样的论断：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”即数学是研究数与形的科学,著名的英国数学哲学家怀特海德（,1861-1947,）与数学家哈代（,1877-1947,提出了“数学是关于模式的科学”的观点。美国数学家斯蒂恩在,模式的科学,一文中也指出：“数学是关于模式的科学。数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象中的模式,一、 什么是数学观？有什么作用？高考考什么？,数学观就是对数学的看法和认识，每个人都会有对数学的看法和认识，有的人是无意识，有的人是有意识。有的人数学观先进影响大，有的 人数学观落后古怪粗浅幼稚。数学观有意识或无意识的指导我们解题。高考考的就是数学观的优劣和高低。,我国著名数学家华罗庚所说：“,数缺形,时少,直观,，形少数时难入微。”,一种无意识的数学观：小学只一步做出数学题，初中两三步，高中四五步，如果高中还是两三步那学不好高中数学,2,数学是关于模式的科学的例子：,一、一元二次不等式,二、二元一次不等式（组）,3,一家银行的信贷部计划年初投入元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来,30000,元的收益，其中从企业信贷中获益,12%,，从个人贷款中获益,10%,。那么，信贷部如何分配资金呢？,例题引入,学习数学可以培养思维的严密性，通俗点就是做事情不会丢三落四，同学们此题容易丢什么？这就是学习数学的作用之一。,4,我们知道数学知识有两个角度的本质即代数角度本质和几何角度本质即代数角度是什么东西，几何角度是什么东西。,1,、一元一次不等式（组）的几何角度本质是什么？,5,你知道不等式组,所表示的解集图形吗？,x,4,0,-3,思考,:,一元一次不等式,(,组,),的解集所表示的图形,-,数轴上的区间,2,、二元一次不等式的几何角度本质是什么？,6,问题,在平面直角坐标系中，直线,x+y-1=0,将平面分成几部分呢？,?,不等式,x+y-1,0,对应平面内哪部分的点呢？,答：分成三部分,:,（,2,）点在直线的右上方,（,3,）点在直线的左下方,0,x,y,1,1,x+y-1=0,想一想？,（,1,）点在直线上,7,右上方点,左下方点,区域内的点,x+y-1,值,的正负,代入点的坐标,（,1,1,）,（,2,0,）,（,0,0,）,（,2,1,）,（,-1,1,）,（,-1,0,）,（,-1,-1,）,（,2,2,）,直线上的点的坐标满足,x+y-1=0,，那么直线两侧的点的坐标代入,x+y-1,中，也等于,0,吗,?,先完成下表，再观察有何规律呢？,探索规律,自主探究,0,x,y,1,1,x+y-1=0,同侧同号，异侧异号,规律：,正,负,1,、点集,(x,y)|x+y-10,表示直线,x,+,y,1=0,右上方,的平面区域；,2,、点集,(x,y)|x+y-1,0,表示直线,A,x,+B,y,+C=0,某一侧,所有点组成的平面区域，我们把直线画成,虚线,以表示区域,不包含,边界,;,不等式,A,x,+B,y,+C,0,表示的平面区域,包括,边界，把边界画成,实线。,1,、,由于直线同侧的点的坐标代入,Ax+By+C,中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入,Ax+By+C,中，从所得结果的,正负,即可判断,Ax+By+C0,表示哪一侧的区域。,2,、,方法总结：,画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：,1,、线定界（注意边界的虚实）,2,、点定域（代入特殊点验证）,特别地，当,C0,时常把原点作为特殊点。,C,0,时，可取（,0,，,1,）或（,1,，,0,）作为特殊点。,9,x+4y4,x-y-40,x-y-40,典例精析,题型一：画二元一次不等式表示的区域,例,1,、画出,x+4y4,表示的平面区域,x+4y=4,x+4y4,（,2,）,x-y-40,o,x,y,x-y-4=0,10,例,2,、画出不等式组表示的平面区域。,题型二：画二元一次不等式组表示的区域,由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的,交集,，即,公共部分,。,分析,：,画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：,总结：,2.,点定域,3.,交定区,1.,线定界,x-y+5,0,x+y,0,x,3,x,o,y,4,-5,5,x-y+5=0,x+y=0,x=3,11,跟踪练习,如图,表示满足不等式,(x-y)(x+2y-2),0,的点,(x,y),所在区域应为：,( ),B,y,1,2,O,(C),y,1,2,O,(D),y,1,2,O,(A),y,1,2,O,(B),12,(0,1),(-4,-1),(2,-1),x,y,题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）,例,3,、写出表示下面区域的二元一次不等式组,13,解析：边界直线方程为,x+y-1=0,代入原点（,0,，,0),得,0+0-1,0,即所求不等式为,x+y-10,典例精析,题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）,例,3,、写出表示下面区域的二元一次不等式,x,y,-2,o,1,1,-1,x-2y+2,0,y-1,绿色区域,蓝色区域,x-2y+2,0,y-1,x+y-10,x+y-10,紫色区域,黄色区域,14,题型五：综合应用,解析：,由于在异侧，则（,1,，,2,）和（,1,，,1,）,代入,3x-y+m,所得数值,异号,，,则有（,3-2+m,）（,3-1+m,）,0,所以（,m+1,）,(m+2) 0,即：,-2m-1,试确定,m,的范围，使点（,1,，,2,）和（,1,，,1,）在,3x-y+m=0,的,异侧,。,例,4,、,变式,:,若在,同侧,，,m,的范围又是什么呢？,解析,：,由于在同侧，则（,1,，,2,）和（,1,，,1,）,代入,3x-y+m,所得数值,同号,，,则有（,3-2+m,）（,3-1+m,）,0,所以（,m+1,）,(m+2),0,即：,m -2,或,m,-1,15,题型四：综合应用,求二元一次不等式组,所表示的平面区域的面积,例,5,、,x,-,y,+,5,0,y,2,0,x,2,2,x,o,y,-5,5,D,C,B,A,x-y+5=0,x=2,y=2,2,如图，平面区域为直角梯形,易得,A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5),所以,AD=3,AB=2,BC=5,故所求区域的面积为,S=,解析：,16,题型四：综合应用,若二元一次不等式组,所表示的平面区域是一个三角形，求,a,的取值范围,变式：,x,-,y,+,5,0,y,a,0,x,2,17,变式训练,题型四：综合应用,若二元一次不等式组,所表示的平面区域是一个三角形，求,a,的取值范围,变式：,x,-,y,+,5,0,y,a,0,x,2,2,x,o,y,5,D,C,x-y+5=0,x=2,-5,y=,a,y=,a,y=,a,y=,5,y=,7,7,数形结合思想,答案,:,5a,0,y,0,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,3x +,y=10,x +,4,y=11,解：,由题意得可行域如图,:,由图知满足约束条件的,可行域中的整点为,(1,1),、,(1,2),、,(2,1),、,(2,2),故有四个整点可行解,.,28,二、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？,先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生产、生活问题。,所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背景知识。,应用题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难,应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。,应用题第三难,:,就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模型，这种抽象、提炼能力我们不会。,应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。,29,例,3,：某工厂生产甲、乙两种产品,.,已知生产甲种产品,1t,需消耗,A,种矿石,10t,、,B,种矿石,5t,、煤,4t,；生产乙种产品,1,吨需消耗,A,种矿石,4t,、,B,种矿石,4t,、煤,9t.,每,1t,甲种产品的利润是,600,元,每,1t,乙种产品的利润是,1000,元,.,工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗,A,种矿石不超过,300t,、 消耗,B,种矿石不超过,200t,、消耗煤不超过,360t.,若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量,(,精确到,0.1t),才能使利润总额,达到最大,?,简单的线性规划问题,这是第几难？答：第三难,30,某工厂生产甲、乙两种产品,.,已知生产甲种产品,1t,需消耗,A,种矿石,10t,、,B,种矿石,5t,、煤,4t,；生产乙种产品,1,吨需消耗,A,种矿石,4t,、,B,种矿石,4t,、煤,9t.,每,1t,甲种产品的利润是,600,元,每,1t,乙种产品的利润是,1000,元,.,工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗,A,种矿石不超过,300t,、 消耗,B,种矿石不超过,200t,、消耗煤不超过,360t.,若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量,(,精确到,0.1t),才能使利润总额达到最大,?,分,析,问,题,:,1.,本问题给定了哪些原材料,(,资源,)?,2.,该工厂生产哪些产品,?,3.,各种产品对原材料,(,资源,),有怎样的要求,?,4.,该工厂对原材料,(,资源,),有何限定条件,?,5.,每种产品的利润是多少,?,利润总额如何计算,?,原,材,料,每吨产品消耗的原材料,A,种矿石,B,种矿石,煤,甲产品,(t),乙产品,(t),10,5,4,4,4,9,原 材料限 额,300,200,360,利 润,600,1000,xt,yt,把题中限制条件进行转化：,约束条件,10x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600x+1000y.,目标函数,：,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z,元,31,解,:,设生产甲、乙两种产品,.,分别为,x t,、,yt,利润总额为,z,元,那么,10x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600x+1000y.,画,出以上不等式组所表示的可行域,作,出直线,L,600x+1000y=0,.,解得交点,M,的坐标为,(12.4,34.4),5x+4y=200,4x+9y=360,由,10x+4y=300,5x+4y=200,4x+9y=360,600x+1000y=0,M,答,:,应生产甲产品约,12.4,吨，乙产品,34.4,吨，能使利润总额达到最大。,(12.4,34.4),经过可行域上的点,M,时,目标函数在,y,轴上截距最大,.,90,30,0,x,y,10,20,10,75,40,50,40,此时,z=600x+1000y,取得最大值,.,把直线,L,向右上方平,移,32,例,4.,某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成,A,、,B,、,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示,：,解：,设需截第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，,钢板,总,张数为,Z,则,规格类型,钢板类型,第一种钢板,第二种钢板,A,规格,B,规格,C,规格,2,1,2,1,3,1,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顾客需要,A,B,C,三种规格的成品分别为,15,，,18,，,27,块，,若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。,x,张,y,张,分,析,问,题,:,目标函数,:,z=x+y,33,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,直线,x+y=12,经过的,整点是,B(3,9),和,C(4,8),，它们是最优解,.,作出直线,L:,x+y=0,，,目标函数,:,z=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(3.6,7.8),当直线,L,经过点,A,时,z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点,B,C,的坐标,B(3,9,),和,C(4,8),2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解,.,作直线,x+y=12,答（略）,约束条件,:,画可行域,平移,L,找交点及交点坐标,调整优解法,1.,满足哪些条件的解才是最优解,?,2.,目标函数经过,A(3.6,7.8),时,Z,的值是多少,?,你能否猜测一下,Z,的最小值可能是多少,?,3.,最优解的几何意义是什么,(,最优解可以转化为什么几何意义,)?,34,x,0,y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN,*,y0 yN,*,经过可行域内的整点,B(3,9),和,C(4,8),且和原点距离最近的直线是,x+y=12,，它们是最优解,.,作出一组平行直线,t,=,x+y,，,目标函数,t,=,x+y,B(3,9),C(4,8),A(18/5,39/5),打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点,A,时,t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线,x+y=11.4,继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,这是第几难？答：第三第四难,35,线性规划有关概念,由,x,，,y,的不等式,(,或方程,),组成的不等式组称为,x,，,y,的,约束条件,。关于,x,，,y,的一次不等式或方程组成的不等式组称为,x,，,y,的,线性约束条件,。欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x,，,y,的解析式称为,目标函数,。关于,x,，,y,的一次目标函数称为,线性目标函数,。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为,线性规划问题,。满足线性约束条件的解（,x,，,y,）称为,可行解,。所有可行解组成的集合称为,可行域,。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为,最优解,。,36,设,z=2x+y,求满足,时,求,z,的最大值和最小值,.,线性目标函数,线性约束条件,线性规划问题,任何一个满足不等式组的（,x,y,）,可行解,可行域,所有的,最优解,37,已知：,1x+y3,，,-1x-y1,，求,4x+2y,的取值范围。,线性规划简单应用,解法,1,：先求出,x,，,y,的取值范围，再得出,4x+2y,的取值范围。,反思：在已知中,x,，,y,是相互制约不独立的，你求出后，,x,，,y,是独立不制约，所以范围扩大了。通俗理解就是,x,取最大（小）值时，,y,并不能同时取最大,(,小）值,正确解法：把,x+y,、,x-y,看成整体，那,x+y,、,x-y,是相互独立不制约的，所以解法如下：,最后我们用线性规划解法来验证下。,38,咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉,9g,、咖啡,4g,、糖,3g,乙种饮料每杯含奶粉,4g,、咖啡,5g,、糖,10g,已知每天原料的使用限额为奶粉,3600g,，咖啡,2000g,糖,3000g,如果甲种饮料每杯能获利,0.7,元，乙种饮料每杯能获利,1.2,元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大,？,解：将已知数据列为下表：,原,料,每配制,1,杯饮料消耗的原料,奶粉,(g),咖啡,(g),糖,(g),甲种饮料,乙种饮料,9,4,3,4,5,10,原 料限 额,3600,2000,3000,利 润,(,元,),0.7,1.2,x,y,设每天应配制甲种饮料,x,杯，乙种饮料,y,杯，则,目标函数为：,z =0.7x +1.2y,达标,39,解,:,设每天应配制甲种饮料,x,杯，乙种饮料,y,杯，则,把直线,l,向右上方平移至,l,1,的位置时，,直线经过可行域上的点,C,，且与原点距 离最大，,此时,z =0.7x +1.2y,取最大值,解方程组,得点,C,的坐标为（,200,，,240,）,_,0,_,9,x,+,4,y,=,3600,_,C,(,200,240,),_,4,x,+,5,y,=,2000,_,3,x,+,10,y,=,3000,_,7,x,+,12,y,=,0,_,400,_,400,_,300,_,500,_,1000,_,900,_,0,_,x,_,y,目标函数为：,z =0.7x +1.2y,答,:,每天配制甲种饮料,200,杯,乙种饮料,240,杯可获取最大利润,.,作出可行域：,目标函数为：,z =0.7x +1.2y,作直线,l:0.7x+1.2y=0,，,这是第几难？答：第三第四难。,当我们知道了解线性规划题的套路时剩下来的已经不是难而是繁，所以请同学们不要怕繁。,40,
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