抛物线中的最值问题

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,抛物线中的最值问题,例一、,点,P,在抛物线,y,2,=x,上，定点,A(3,0),求,|PA|,的最小值。,法一、目标函数法,法二、判别式法,过作同心圆,当圆与抛物线相切时,到点的距离最小,设为,r,练习：,若,P,为抛物线,y,2,=x,上一动点，,Q,为圆（,x-3),2,+y,2,=1,上一动点，求,|PQ|,的最小值,例二、,设,P,为抛物线,y= x,2,上的一动点，求,P,点到直线,L:,3x-4y-6=0,的距离的最小值。,法一、目标函数法,y=x,2,P(x,y,),x,y,o,法二、判别式法,解：当,L,平移到与抛物线,y=x,2,只有一个公共点时,设此时的直线为,L1,，其方程为,3x-4y-b=0,。则,L,与,L1,的距离即为所求。,3x-4y+b=0 ,y=x,2,代入可得：,4x,2,-3x+b=0, =(-3),2,-44b=0,可得,L,y=x,2,x,y,o,L1,练习：,已知抛物线,y,2,=4x,，以抛物线上两点,A(4,4),、,B(1,-2),的连线为底边,ABP,，其顶点,P,在抛物线的弧,AB,上运动，求： ,ABP,的最大面积及此时点,P,的坐标。,A(4,4),B(1,-2),x,y,o,分析,1,：,动点在弧,AB,上运动，可以设出点,P,的坐标，只要求出点,P,到线段,AB,所在直线,AB,的最大距离即为点,P,到线段,AB,的最大距离，也就求出了,ABP,的最大面积。,分析,2,：,我们可以连接,AB,，作平行,AB,的直线,L,与抛物线相切，求出直线,L,的方程，即可求出直线,L,与,AB,间的距离，从而求出,ABP,面积的最大值和点,P,的坐标。,L,P,小结：,对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法求解；也可以通过一些几何性质和已知条件,构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案。,已知定点,M,（,3,，,2,），,F,是抛物线,y,2,=2x,的焦点，在此抛物线上求一点,P,，,使,|PM|+|PF|,取得最小值，求点,P,的坐标,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。,即,|PF| = |PN|,|PM|+|PF|= |PM|+|PN|,当,M,、,P,、,N,三点共线时距离之和最小。,F,M,例三、,如图，由抛物线的定义：,分析：,F,M,P,N,解：,如图所示,|PF|= |PN|,即：,|PF|+|PM|= |PN|+|PM|,|PM|+ |PN| |PM|+|PN|= |PM|+|PF|,又点,P,的纵坐标等于点,M,的纵坐标，即,y=2,所以，点,P,的坐标为（,2,，,2,）,在抛物线,y,2,= 2x,上任取一点,P,(x,y,),作,P,N,准线,L,，作,MN,L,，,MN,交抛物线于,P,（,x,，,y,）,由抛物线的定义得：,当,P,和,P,重合时，即,PNL,，,N,、,P,、,M,三点共线，,F,M,P,N,P,N,y,x,O,F,A,P,y,x,O,F,A,P,Q,练习、,P,为抛物线,x,2,=4y,上的一动点，定点,A,（,8,7,）,求,P,到,x,轴与到点,A,的距离之和的最小值,所求,p,点位置,9,几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解,小结：,练习：,2,、求抛物线,y,2,=64x,上的点到直线,4x+3y+46=0,距离最小值，并求取得最小值时抛物线上的点的坐标,课堂小结：,在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要有以下几种：,函数法：,选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，再探求目标函数的最值方法。,几何法：,利用数形结合的思想，借助于几何图形中的一些特点，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。,判别式法：,利用已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案。,