几类不同增长的函数模型1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,在书本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。,1859,年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到,100,年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到,75,亿只。可爱的兔子变得可恶起来，,75,亿只兔子吃掉了相当于,75,亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气,几类不同增长,的函数模型,方案一：每天回报,40,元；,方案二：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回报,10,元；,方案三：第一天回报,0.4,元，以后每天的 奖励比前一天翻一番,.,请问：你会选择哪种回报方案？,选择回报方案的标准,回报量,日 回报量,累计回报量,例,1,、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,X,思考：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,方案一：每天回报,40,元；,方案二：第一天回报,10,元，以后每天比前一天多回报,10,元；,方案三：第一天回报,0.4,元，以后每天的 回报比前一天翻一番,.,40,40,40,40,40,10,10+10,=102,10+10+10,=103,10+10+10+10,=104,10+10+10+10+10,=105,0.4,0.42,0.422,=0.42,2,0.4222,=0.42,3,0.42222,=0.42,4,方案一,方案二,方案三,1,2,3,4,5,则方案一可以用函数,_,进行描述；,方案二可以用函数,_,描述；,方案三可以用,_,描述。,设第,x,天的回报是,y,元，,y=40 (xN*),y=10x (xN*),y=0.42,x,-1,(xN*),x,天,方案一,方案二,方案三,y,元,增加量 元,y,元,增加量 元,y,元,增加量 元,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,300,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,12.8,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,102.4,204.8,214748364.8,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,0.4,25.6,51.2,102.4,107374182.4,图像,o,x,y,20,40,60,80,100,120,140,4,2,6,8,10,12,我们看到，底为,2,的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多,.,从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？,819,409,204,102,50.8,25,12,6,2.8,1.2,0.4,三,660,550,450,360,280,210,150,100,60,30,10,二,440,400,360,320,280,240,200,160,120,80,40,一,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,天数,回报,/,元,方案,429496729,4650,1200,13,12,三种方案的,累计回报量,16,天，应选择方案一；,7,天，应选择方案一或方案二；,810,天，应选择方案二；,11,天（含,11,天）以上，应选择方案三,.,结,论,常数函数,一次函数,指数型函数,几种常见函数的增长情况：,保持不变,直线上升,匀速增长,急剧增长,指数爆炸,没有增长,巴菲特是世人景仰的“股神”，但是在投资领域，其实有一个人的收益率在连续,17,年里远远超过了他。这个人不是索罗斯，也不是罗杰斯，而是同著名数学家陈省身一起提出“陈一西蒙斯理论”的世界级数学家詹姆斯,西蒙斯。 詹姆斯,西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对冲基金经理之一。,2005,年，西蒙斯成为全球收入最高的对冲基金经理，净赚,15,亿美元，差不多是索罗斯的两倍。从,1988,年开始，他所掌管的大奖章基金年均回报率高达,34,，,15,年来资产从未减少过。去年西蒙斯以,40,亿美元跻身,福布斯,400,富人榜第,64,位。,詹姆斯,西蒙斯,(James Simons),几乎从不雇用华尔街的分析师，他的“文艺复兴科技公司”（,Renaissance Technologies Corp.,）里坐满了数学和自然科学的博士。用数学模型捕捉市场机会，由电脑作出交易决策，是这位超级投资者成功的秘诀,老师殷切希望同学们学好数学，将来为社会创造更多财富，象,“,指数爆炸,”,一样，为祖国的繁荣富强作出更大的贡献,学以致用，用以致优,情景问题解答,假如某公司每天给你投资,1,万元，共投资,30,天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司,1,分钱，第二天给公司,2,分钱，以后每天给的钱都是前一天的,2,倍，共,30,天，你认为这样的交易对你有利吗？,你,30,天内给公司的回报为,:,0.01+0.012+0.012,2,+0.012,29,=10737418.23,1074(,万元,),30,万元,解答如下：公司,30,天内为你的总投资为,:,实际应用问题,分析、联想、抽象、转化,构建数学模型,解答数学问题,审 题,数学化,寻找解题思路,还原,（,设,）,（,列,）,（,解,）,（,答,）,解答例,1,的过程实际上就是建立函数模型的过程，,建立函数模型的程序大概如下：,某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y,(,单位：万元,),随着销售利润,x,(,单位：万元,),的增加而增加，但资金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y,=,0.25,x,，,y,=,log,7,x,+1,，,y,=,1.002,x,，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,本题中涉及了哪几类函数模型,?,实质是什么,?,思考,例,2,你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗,?,销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且,部门销售利润一般不会超过公司总的利润,1000,万元，,所以销售利润,x,可用不等式表示为,_.,依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的,25%,，,所以奖金,y,可用不等式表示为,_.,依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过,5,万元，,所以奖金,y,可用不等式表示为,_.,10x1000,0y5,0y25%x,通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,200,400,600,800,1000,2,3,4,5,6,7,8,1,0,对于模型,y=0.25x,它在区间,10,1000,上递增,当,x20,时,y5,因此该模型不符合要求,;,对于模型,y=1.002,x,它在区间,10,1000,上递增,观察图象并结合计算可知,当,x806,时,y5,因此,该模型不符合要求,;,对于模型,y=log,7,x+1,它在区间,10,1000,上递增,观察图象并结合计算可知,当,x=1000,时,y=log,7,1000+14.555,所以它符合奖金总数不超过,5,万元的要求；,按模型,y=log,7,x+1,奖励时，奖金是否不超过利润的,25%,呢？,解：当,x10,1000,时,要使,y0.25x,成立,令,f(x)= log,7,x+1,0.25x,当,x10,1000,时,是否有,f(x) 0,恒成立,?,即当,x10,1000,时,f(x)= log,7,x+1,0.25x,的,图象是否在,x,轴下方,?,作,f(x)= log,7,x+1,0.25x,的图象如下：,只需,log,7,x+10.25x,成立，,即,log,7,x+1,0.25x 0,。,根据图象观察,f(x)=log,7,x+1,0.25x,的图象在区间,10,1000,内的确在,x,轴的下方,.,f(x)=log,7,x+1,0.25x,这说明,按模型,y=log,7,x+1,奖励,奖金不会超过利润的,25%.,y,x,1,2,3,4,5,6,7,8,0,f(x)=log,7,x+1,0.25x,1,-1,实际应用问题,审 题,（,设,）,分析、联想、抽象、转化,构建数学模型,数学化,（,列,）,寻找解题思路,（,解,）,解答数学问题,还原,（,答,）,1,.,请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（,一次函数、指数函数、对数函数,）差异的认识。,2,.,几类增长函数建模的步骤,列解析式,具体问题,画出图像（,形,）,列出表格（,数,）,不同增长,确定模型,预报和决策,控制和优化,3,.,你还有其他感悟吗？,随 堂 小结,常数函数,一次函数,指数函数,对数函数,增长量为零,增长量相同,增长量迅速增加,增长量减少,没有增长,直线增长,指数爆炸,对数增长,在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！,毕达哥拉斯,