动量矩定理

第十一章 动量矩定理,Theorem of Angular Momentum,Law of Moment of Momentum,问题的提出：,图示定轴转动刚体，质心,C,过转轴，恒有,可见：,动量只能反映刚体随质心运动的强弱，不能反映刚体绕质心转动运动强弱。,本章基本内容：,1.,质点、,质点系,对点和轴的的动量矩概念及计算；,2.,质点、,质点系,对于,固定,点、,固定,轴及,质心,的动量矩定理；,3.,刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。,4.,转动惯量概念及计算。,C,11 1,动量矩,(moment of momentum, Angular Momentum),一、质点的动量矩,对点的动量矩,O,x,z,y,A,F,B,M,O,(,F,),r,d,力对点,O,之矩：,O,x,z,y,L,O,=,M,O,(,m,v,),r,质点的动量对点,O,之矩,（,11-1,）,质点的动量对,O,点的动量矩,A,m,v,B,d,固定矢量,指向：按右手法则确定,大小：,方向：,几何表示：,度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量,对轴的动量矩,类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系：,质点的动量,m,v,对,x,轴之矩 ：,质点的动量,m,v,对,x,轴之矩,代数量,。,其正负由,右手法则确定,。,动 量 矩 单位（,SI,）：,二、质点系的动量矩,对点,O,的动量矩,质点系各质点的动量对某点,O,之矩的矢量和,质点系对,O,点 的 动 量 矩,对轴的动量矩,质点系各质点的动量对某轴之矩的代数和,质点系对某轴的动量矩,三、定轴转动刚体对转轴的动量矩,取质点,M,i,:,质点,M,i,对转轴,z,的动量矩,:,刚体,对转轴,z,的动量矩,:,记,:,（,11-15,）,称为,刚体对转轴,z,的转动惯量,（,11-16,）,定轴转动刚体对转轴,z,的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积，转向与角速度的转向相同。,11 2,转动惯量,(Mass Moment of Inertia),刚体各质点的质量与它们到转轴,z,垂直距离的平方的乘积之和,一、转动惯量的基本概念,称为刚体对转轴,z,的转动惯量,转动惯量,J,z,的特点：,J,z,0,恒正的标量,影响,J,z,的因素：,与转轴,z,的位置有关；,与质量,m,i,的分布有关；,改变,J,z,的方法：,1.,改变质量（密度）,；,2.,改变质量分布情况。,物体转动运动,惯性,的度量,.,J,z,的单位（,SI,）：,转动惯量改变的一个实例,二、转动惯量的计算,1.,积分法,由定义：,可得,适用于质量连续分布，几何形状简单的物体。,若已知密度函数：,则有,常见规则形状的均质物体，转轴过质心,C,的,J,z,由有关工程手册查得。,z,C,均质杆：,均质圆盘（轮）：,z,r,C,（,11-19,）,2.,组合法,代数和,O,杆,圆盘,如：,x,y,孔,1,孔,2,短形板,适用于均质、简单形状组合的物体,3.,实验测定法,适用于任意不规则形状，质量分布不均匀的物体。,复摆测定法；,落体观测法。（物理实验）,4.,转动惯量的工程实用计算公式,(11-17),m,为刚体的质量；,z,为回转半径,Radius of gyration,。,注意：,z,相当长度。,（假想将刚体的质量全部集中离转轴距离,z,的质点上，而此质点对轴,z,的转动惯量,J,z,与原刚体对轴,z,的转动惯量,J,z,相同。）,其中,m,、,J,z,由计算或实验测定，然后反算,z,。,（注意：,z,并不是质心,C,到转轴的距离,）,三、转动惯量的平行轴定理,O,x,z,y,C,M,i,h,设,z,轴过刚体的质心,C,，,z,与,z,轴平行，两轴间的距离为,h,，由转动惯量的定义，有,将,代入，有,mh,2,?,由质心坐标的计算公式，有,(11-20),转动惯量的平行轴定理,几点说明：,轴,z,与轴,z,必须平行；,z,轴必须过质心,C,；,过质心,C,的转动惯量最小。,均质杆，质量,m,z,C,如：,r,e,O,C,均质圆盘，质量,m,Theorem of Angular Momentum,Sample Problem 1,mass of lever :,m,1,mass of plate:,m,2,In this initial time, angular velocity equals,w,compute,angular momentum about axis pass through point,O,perpendicular to the surface.,solution,mass of the,homogeneous,plate with yellow color:,m,r,=,R,/3,Compute,J,A,Theorem of Angular Momentum,Sample Problem 2,solution,11 3,质点的动量矩定理,一、对固定点的动量矩定理,质点动量对某固定点,O,的矩,将上式两边对时间求导，有,由于,O,点为固定点，,r,为绝对运动矢径，有,另一方面由质点的动量定理：,将上述关系代入，有,（,11-7,）,质点的动量对任一固定点的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定点的矩。,质点对,固定点,的动量矩定理,二、对固定,轴,的动量矩定理,x,y,z,（,11-7,）,将上式两边同时向坐标轴投影，有,（,11-8,）,质点的动量对任一,固定轴,的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该,固定轴,的矩。,质点对,固定轴,的动量矩定理,三、动量矩守恒定理,(Conservation of Moment of Momentum),（,1,）若：,（,11-9,）,质点的动量对该固定点的矩矢保持不变。,质点运动轨迹为平面曲线；,质点的矢径单位时间内扫过的面积相等，质点运动轨迹为椭圆。,有心力：,力的作用线始终过某一固定点，该点称为,力心,。,有心力作用下的质点，对,力心,的动量矩矢始终保持不变（大小、方向）。,r,m,v,F,M,O,h,三、动量矩守恒定理,(Conservation of Moment of Momentum),（,2,）若：,（,11-10,）,若作用于质点的力对某固定点（或轴）的矩恒等于零，则质点的动量对该固定点（或轴）的矩保持不变。,动量矩守恒定理,11 4,质点系的动量矩定理,一、对固定点的动量矩定理,质点系：,n,个质点,质点,M,i,：,外力,内力,由质点对固定点的动量矩定理，有,简写成：,n,个方程,将上述方程组两边相加,得：,考虑到：,有：,（,11-11,）,（内力系的主矩恒等于零）,质点系对任一,固定点,的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该,固定点,矩的矢量和（主矩）。,质点系对,固定点,的动量矩定理,二、对固定轴的动量矩定理,将式（,11-11,）向固定坐标轴投影，得,（,11-12,）,质点系对任一,固定轴,的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该,固定轴,矩的代数和（主矩）。,质点系对,固定轴,的动量矩定理,注：,与动量定理类似，质点系的,内力,不影响质点系总动量矩,三、质点系动量矩守恒,（,1,）若：,（,11-13,）,（,2,）若：,（,11-14,）,（各力与,z,轴平行或相交）,质点系动量矩守恒定理,四、应用,（,1,）有关转动运动的动力学问题,转动碰撞问题；,流体对叶轮的冲击力矩计算。,（,2,）动量矩守恒时，求刚体的转动角速度或速度等,注：,定理中各运动量均为绝对运动量。,例,3,：,两个转子,A,和,B,分别以角速度,A,、,B,绕同一轴线,Ox,、,且同方向转动，转动惯量分别为,J,A,和,J,B,，现用离合器将两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。,解：,两转子,A,、,B,受力：,质点系对,x,轴的动量矩守恒,计算结合前后系统对轴,x,的动量矩：,结合前：,结合后：,由 质点系对,x,轴的动量矩守恒，有,（这里假定,与,A,、,B,转向相同）,例,4,：,均质圆盘，其绕轴,O,的转动惯量为,J,，可绕通过其中心的轴,无摩擦地转动,，另一质量为,m,2,的人由,B,点按规律 沿距,O,轴半径为,r,的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。,解：,圆盘与人一起,研究对象,受力分析：,动量矩关于,z,轴守恒,计算质点系的动量矩：,初始时：,任意瞬时：,负号说明实际转向与图中相反,例 题,5,求：此时系统的角速度,z,a,a,l,l,A,B,C,D,o,z,A,B,C,D,例 题,6,均质圆轮半径为,R,、,质量为,m,，,圆轮对转轴的转动惯量为,J,O,。圆轮在重物,P,带动下绕,固定轴,O,转动，已知重物重量为,W,。,求：重物下落的加速度,O,P,W,O,P,W,m,g,解：取系统为研究对象,F,Ox,F,Oy,v,应用动量矩定理,:,Mass of the Chain Wheel: MMass of the Block A and B: m,1,m,2,suppose m,1, m,2,Compute,the acceleration of block A,Theorem of Angular Momentum,Sample Problem 7,solution,analyze the forces and kinematics of the system, as the figure shown:,Theorem of Angular Momentum,Sample Problem 7,solution,例,8,：,高炉上运送矿料的卷扬机。半径为,R,的卷筒可绕水平轴,O,转动，它关于转轴,O,的转动惯量为,J,。沿倾角为,的斜轨被提升的重物,A,重,W,。作用在卷筒上主动转矩为,M,。,设绳重和摩擦均可不计,。试求重物的加速度。,解：,(1),研究对象,卷筒与重物,A,整个系统,(2),受力：（所有外力）,(3),分析运动，计算系统对轴,O,的动量矩：,以顺时针方向为正,(4),外力对轴,O,的矩：,s,对重物,A,，有,(5),代入动量矩定理：,方向与速度方向相同,例 题,9,水流通过固定导流叶片进入叶,轮，入口和出口的流速分别为,v,1,和,v,2,，,二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为,1,和,2,，水的,体积流量,为,q,V,、,密度为,，,水流入口和出口处叶轮的半径分别为,r,1,和,r,2,，,叶轮水平放置,。,求：水流对叶轮的驱动力矩。,a,b,c,d,a,b,c,d,解：在,dt,时间间隔内，水流,ABCD,段的水流运动到,abcd,时，,所受的力以及他们对,O,轴之矩：,重力,由于水轮机水平放置，重力,对,O,轴之矩等于,0,；,相邻水流的压力,忽略不计；,叶轮的反作用力矩,与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。,a,b,c,d,应用动量矩定理,:,M,z,115,刚体定轴转动微分方程,设定轴转动刚体作用有力：,F,1,、,F,2,、,、,F,n,，转动角速度：,，转动惯量：,J,z,，其绕轴的动量矩,其转向与,相同,代入动量矩定理，有,（,11-21a,）,（,11-21b,）,（,11-21c,）,刚体定轴转动微分方程,（转动定理）,刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用于刚体上的所有外力对转轴矩的代数和。,讨论：,（,1,）方程建立了,与,M,z,的瞬时关系,（须在任意瞬时建立方程）,（,2,）,匀变速转动,匀速转动,角速度,取极值,（,3,）,则有,此时,取决于,J,z,J,z,大,小,说明转动运动状态,不易改变,J,z,小,大,说明转动运动状态,容易改变,惯性大,惯性小,J,z,是刚体转动运动惯性的度量,应用：,（,1,）已知外力矩,M,z,，求,、,、,=,(,t,),。,（,2,）已知,、,、,=,(,t,),，求与力矩,M,z,有关的量（力、距离等）。,注意事项：,（,1,）不能求轴承反力；,（须由质心运动定理求）,（,2,）方程两边,、,、,与力矩,M,z,正转向规定一致；,（,3,）只适用于同一轴转动的刚体。（一般适用于单个定轴转动刚体）,例,10,：,复摆,compound pendulum,（物理摆,physical pendulum,）如图。已知摆的重量为,P,，摆关于转轴,O,的转动惯量为,J,O,，悬挂点（轴）,O,到质心的距离为,a,，求：复摆作微幅摆动时的运动规律。,解：,复摆,运动分析：,任意瞬时,OC,与,x,轴的夹角为,（,注：,以增大方向为正转向）,建立定轴转动微分方程，并求解,（,1,）,两边同除以,J,O,，并整理得,（,2,）,当作微幅摆动（,很小）时，,（,3,）,其解为：,（,4,）,式中：,常数,A,、,由初始条件确定。,摆动周期：,（,5,）,讨论：,转动惯量的复摆测定法原理,注意：,方程两边,正转向规定必须一致。,0,O,F,N,F,例 题,11,求：,制动所需的时间。,已知：,J,O,，,0,，,F,N,，,f,。,解：取飞轮为研究对象,解得,:,x,y,例,12,：,高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为,R,，重量为,G,。沿倾角为,的斜轨被提升的重物,A,重,W,。作用在卷筒上主动转矩为,M,。,斜面与重物间摩擦因素为,，绳重可不计。,试求重物的加速度。,解：,(1),研究对象,卷筒,O,O,M,（,1,）,A,(2),研究对象,重物,A,（,2,）,（,3,）,（,4,）,(3),运动学关系：,（,5,）,联立求解，得,如何求轴承反力？,需对卷筒用质心运动定理。,讨论：,M,1,M,2,例 题,13,已知：,J,1,，,J,2,，,R,1,，,R,2,，,i,12,=,R,2,/,R,1,，,M,1,，,M,2,。,求：,轴,的角加速度。,M,1,M,2,M,2,M,1,1,2,F,F,n,F,F,n,解：分别取轴,和,为研究对象,解得：,例,14,：,转子,对自身转轴的转动惯量为,J,1,=1,kg,m,2,，转子,对其转轴的转动惯量为,J,2,= 1.5,kg,m,2,，两轴的齿数之比,k,=,z,1,/z,2,=1/2,，如图所示。设转子,上作用有转矩为,M,的力偶，使转子,自静止开始匀加速转动，经过,10,s,转速达,n,1,=1500,r/min,。已知轴,上齿轮的节圆半径为,r,1,=100,mm,，轴承摩擦不计。试计算转矩,M,和齿轮的圆周力,F,t,。,解：,运动分析：,转向与,M,相同,（,1,）,轴,外啮合，,1,与,2,转向相反,两边都以,逆时针,为正,（,2,）,两边都以,顺时针,为正,由传动比概念，有,轴,利用：,联立求解（,1,）（,2,）得,几点注意：,（,1,）对每一轴分别列方程；,（,2,）方程两边正转向规定一致；,（,3,）,1,与,2,转向协调。,例,15,：,图示系统。均质圆轮,A,：质量,m,1,，半径,r,1,，以角速度,绕轴,A,转动；均质圆轮,B,：质量,m,2,，半径,r,2,，绕轴,B,转动，初始静止；现将轮,A,放置在轮,B,上，问,自,A,轮放在,B,轮上到两轮间无相对滑动为止，需用多少时间,。,设两轮间的摩擦因素为,，略去轴承摩擦和杆,OA,的质量。,解：,A,B,假设两轮的角加速度分别为：,转向如图,轮,A,（,1,）,y,（,2,）,（,3,）,求解得,任意瞬时角速度：,轮,B,（,4,）,（,5,）,（,6,）,无相对滑动的条件：,将式（,4,）（,6,）代入得：,A,B,y,（,4,）,其中：,O,F,Ox,F,Oy,W,=,m,g,O,F,Oy,F,Ox,W,=,m,g,解除约束前：,F,Ox,=,0,F,Oy,=,mg,/2,突然解除约束瞬时：,F,Ox,=,？,F,Oy,=,？,关于突然解除约束问题,例,16,突然解除约束瞬时，杆,OA,将绕,O,轴转动，不再是静力学问题。,这时，,0,，, 0。,需要先,求出,，,再确定约束力。,O,F,Ox,F,Oy,W,=,m,g,A,C,应用定轴转动微分方程,应用质心运动定理,解除约束的前、后瞬时，,速度与角速度连续,，,加速度与角加速度将发生突变,。,突然解除约束问题的特点,系统的自由度一般会增加；,例,17,：,均质圆盘，质量为,m,，半径为,R,，,不计轴承摩擦,，图示位置，,OB,处于水平。,现将绳子,BD,突然切断,，求：切断瞬时轴承,O,处的反力。,B,C,O,D,解：,分析：,需先求圆盘角速度 与角加速度：,质心的加速度：,再求轴承反力。,圆盘,mg,n,列写定轴转动微分方程：,切断瞬时圆盘的角速度为：,质心的加速度：,以顺时针为正,代入质心运动定理：,实际方向与图中相反,11-6,质点系相对于质心的动量矩定理,m,i,r,i,O,y,x,z,r,i,y,x,z,C,v,i,r,C,由质心坐标公式，有,一、质点系对质心的动量矩计算,11-6,质点系相对于质心的动量矩定理,m,i,r,i,O,y,x,z,r,i,y,x,z,C,v,i,r,C,二、质点系对质心的动量矩定理,质点系相对于质心,(,平移系,),的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是,质点系相对于质心,(,平移系,),的动量矩定理。,这一表达式只有将质心取为定点才是正确,的。,当外力对质心的主矩为,0,时，,例,18,均质圆盘质量为,2,m,，,半径为,r,。,细杆,OA,质量为,m,，,长为,l,3,r,，,绕轴,O,转动的角速度为,w,、,求下列三种情况下系统对轴,O,的动量矩：,(a),圆盘与杆固结；,(b),圆盘绕轴,A,相对杆,OA,以角速度,w,逆 时针方向转动；,(c),圆盘绕轴,A,相对杆,OA,以角速度,w,顺 时针方向转动。,解：,(a),圆盘与杆固结,解：,(b),圆盘绕轴,A,相对杆,OA,以角速度,w,逆 时针方向转动,刚体的平面运动可以分解为随质心（以质心为基点）的平动和绕质心的转动。,m,i,r,i,O,y,x,z,r,i,y,x,z,C,v,i,r,C,先将前面质系动量矩的计算应用到刚体平面运动中来：,(b),(c),11-7,刚体的平面运动微分方程,由质心运动定理和相对于质,心的动量矩定理，有：,F,1,F,2,F,n,O,y,x,x,y,C,D,刚体平面运动微分方程,例 题,19,已知：,m,，,R, f,，,。,就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。,C,F,N,m,g,(,a,),斜面光滑,a,C,解：取圆轮为研究对象,圆盘作平动,C,(,b,),斜面足够粗糙,F,由,得：,满足纯滚的条件：,F,N,m,g,a,C,(,c,),斜面介于上述两者之间,圆盘既滚又滑,C,F,F,N,m,g,a,C,F,C,例 题,20,平板质量为,m,1,，受水平力,F,作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为,f,，平板上放一质量为,m,2,的均质圆柱，它,相对平板只滚动不滑动,。,求平板的加速度。,F,C,F,C,F,1,F,N1,F,N2,F,2,F,N2,F,2,m,1,g,m,2,g,a,a,C,a,r,解：,取圆轮和板为研究对象,对板：,对圆轮：,已知：,m,1,m,2,R, f,F,。,求： 板的加速度。,例,21,均质圆柱体,A,和,B,质量均为,m,，半径均为,r,。圆柱,A,可绕固定轴,O,转动。一绳绕在圆柱,A,上，绳的另一端绕在圆柱,B,上。,求,B,下落时，质心,C,点的加速度。,摩擦不计。,解,：取,A,分析，受力如图。,A,作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有,其中,a,A,F,T,m,g,F,Ox,F,Oy,O,A,F,T,m,g,a,B,C,D,B,a,C,取,B,分析，受力如图。,B,作平面运动。应用平面运动的微分方程有,由运动学关系,a,D,r,a,A,，,而由加速度合成定理有,D,例,22,均质杆质量为,m,，长为,l,，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。,解,：以杆,AB,为研究对象，分析受力。,y,B,q,C,A,m,g,x,B,q,C,A,F,A,F,B,杆作平面运动，设质心,C,的加速度为,a,Cx,、,a,Cy,，角加速度为,a,。,a,a,Cx,a,Cy,由刚体平面运动微分方程,m,g,B,q,C,A,y,x,以,C,点为基点，则,A,点的加速度为,再以,C,点为基点，则,B,点的加速度为,a,A,a,a,B,a,Cx,a,Cy,a,t,BC,a,t,AC,在运动开始时,w,0,故,将上式投影到,y,轴上，得,a,n,0,AC,同理，将上式投影到,x,轴上，得,a,n,0,BC,联立求解,(1),(5),式，并注意到,可得,注：,亦可由坐标法求出,(4),、,(5),式：,运动开始时， ，故,B,q,C,A,x,y,j,A,x,C,B,例,23,如图质量为,m,的均质杆,AB,用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为,j,。求,B,端绳断开瞬时，,A,端绳的张力。,解,：取杆分析，建立如图坐标。有,AB,作平面运动，以,A,为基点，则,j,j,A,B,F,T,因为断开初瞬时,v,A,0,w,0,故,a,n,0,A,a,n,0,CA,将上式投影到,x,轴上，得,a,n,CA,a,t,CA,a,t,A,a,n,A,a,j,A,x,C,B,a,a,Cx,m,g,例,24,长,l,，质量为,m,的均质杆,AB,和,BC,用铰链,B,联接，并用铰链,A,固定，位于平衡位置。今在,C,端作用一水平力,F,，求此瞬时，两杆的角加速度。,解：,分别以,AB,和,BC,为研究对象，受力如图。,AB,和,BC,分别作定轴转动和平面运动。对,AB,由定轴转动的微分方程得,C,B,A,F,A,B,F,Ax,F,Bx,F,By,a,B,W,a,AB,F,Ay,BC,作平面运动，取,B,为基点，则,将以上矢量式投影到水平方向，得,(4),由,(1),(4),联立解得,对,BC,由刚体平面运动的微分方程得,(2),(3,),B,G,C,a,BC,F,W,a,Gx,a,Gy,a,t,GB,F,By,F,Bx,例,25,行星齿轮机构的曲柄,OO,1,受力矩,M,作用而绕固定铅直轴,O,转动，并带动齿轮,O,1,在固定水平齿轮,O,上滚动如图所示。设曲柄,OO,1,为均质杆，长,l,、重,P,；齿轮,O,1,为均质圆盘，半径,r,、重,Q,。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。,解,：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程,O,O,1,M,O,1,O,a,F,n,F,t,R,n,R,t,M,由运动学关系，有,联立求解,(1), (,4),，得,O,1,F,n,F,t,T,N,a,t,a,n,a,1,取齿轮,O,1,分析，齿轮,O,1,作平面运动,M,O,1,O,a,F,n,F,t,R,n,R,t,Thank you,！,