概率论与随机过程2.3

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,2.3,随机变量及其概率密度,1,1.,定义,设,随机变量,X,的分布函数,为,F(x),，,若存在非负,函数,f(x),，使对于任意实数,x,，有,则称,X,为,连续型随机变量,，其中函数,f(x),称为随机变量,X,的概率密度函数，简称为,概率密度,。,例如：在,0,，,1,取点的例，设,X,为取得点的坐标，则随机变量,X,的分布函数为,2.3.1,连续型,随机变量及其概率密度,2,则,X,为连续型随机变量。,2.,连续型随机变量的分布函数,F(x),性质,（,1,）连续型,随机变量的分布函数,F(,x,),是连续函数。,（,2,）对于,连续型随机变量,X,来说，它取任一指定实数,a,的概率均为零，即,PX=,a,=0,。,事实上，设,X,的分布函数为,F(,x,),，则,P,X,=,a,=F(,a,)-F(,a,-0),而,F(,x,),为连续函数，所以有,F(,a,-0)=F(,a,),，即得：,PX=,a,=0.,这里,PX=,a,=0,，而事件,X=,a,并非不可能事件。就是说，若,A,是不可能事件,则有,P(A)=0,；反之，若,P(A)=0,，,A,并不一定是不可能事件。同样的，对必然事件也有类似的结论。,3,（,3,）在计算连续型随机变量,X,落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有,P,a,Xb=P,a,X b = P,a, X b=P,a,Xb,3.,概率密度,f,(,x,),的性质,:,（,1,）,f,(,x,)0,（,2,）,反之，满足（,1)(2,）的一个可积,函数,f,(,x,),必,是某连续型随机变量,X,的概率密度，因此，常用这两条性质,检验,f,(,x,),是否,为概率密度。,几何意义：曲线,y,=,f,(,x,),与,x,轴之间的面积等于,1,f,(,x,),x,o,4,(,3),X,落在区间,(,x,1,，,x,2,的,概率,几何意义：,X,落在区间,(,x,1,，,x,2,的,概率,P,x,1,0.1,。,解,: (1),由于,，解得,k,=3,.,于是,X,的概率密度为,7,(2),从而,8,例,2:,确定常数,A,，,B,使得函数,为连续型随机变量,X,的分布函数，并求出,X,的概率密度及概率,P-1X0,为,常数，则称,X,服从参数为,的指数分布。,容易验证,:,指数分布的分布函数为,17,f(x),及,F(x),的图形,f(x),x,1,F(x),x,指数分布的一个重要特性,是,“,无记忆性,”,：,设随机变量,X,满足：对于任意的,s0,，,t0,有,则称,随机变量,X,具有无记忆性。,18,设随机变量,X,服从参数为,的指数分布，则,因此,PXs+t|X,s,=,PXt,，即指数分布,具有,“,无记忆性,”,.,例 设设备在任何长为,t,时间内发生故障的次数,N(t),(,t,),的,Possion,分布,求相继两次故障间的时间间隔,T,的分布函数。,19,解,：关键,：,t0,时,Tt=N(t)=0,.,时间间隔大于,t,，在,0,，,t,时间内未发生故障。,因为,Tt=N(t)=0,服从参数为,的指数分布。,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,20,高,尔,顿,钉,板,试,验,这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。,21,22,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布,.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是,正态分布的首次露面,.,23,如我们遇到过的年降雨量和身高,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布,.,24,验证,f(x),是一个合理的概率密度函数,:,显然，,f(x)0,；,下面验证,（,1,）定义,1,：设随机变量,X,的概率密度为,其中,，,（,0,）,为常数，则称,X,服从参数为,2,的,正态分布,记为,X,N(,2,),。,3,正态分布,25,对于积分 ，作代换 ，则,定义,2,：,当,=0,，,=1,时称,X,服从,标准正态分布,，记为,X,N(0,，,1),，其概率密度为,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,.,26,(2),正态密度函数,f(,x,),的几何特征 因为,得：驻点：,x,=,为函数的极大值点； 拐点,：,x,=,.,作图如下,27,所以, 曲线关于,x,=,对称，这表明对于任意,h0,，,有,P-hX= Pc,=,2PX,c,。,解,:,34,例,3,假设测量的随机误差,XN(0 , 10,2,),试求在,100,次独立重复测量中至少有三次测量的绝对值大于,19.6,概率,并利用,Possion,分布求,的近似值。,解：设,p,为每次测量误差绝对值大于,19.6,的概率,p=P|X|19.6=P|X|/10 19.6/10,=P|X|/101.96 =1- P|X|/10,1.96,=1-,(1.96)+(-1.96),=1-,(1.96)+1-(1.96),=2-2(1.96),=0.05,35,设,Y,表示,100,次独立测量中事件,A,出现的次数,则：,Yb(100 , 0.05,),36,性质,已知,X N(, ,2,),.,37,例,4,已知,X N(, ,2,),.,求：,2,）,P|X-,|2,=2,(2)-1=0.9544,3,）,P|X-|3=2(3)-,1=0.9974,说明：,X N(, ,2,),落在,(-3,3,),内的概率为,0.9974,这一事实称为,“,3,规则”这也是,N(0 , 1),表只作,(-3 , 3),内的概率的原因。,38,例,2,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,设男子身高,X,N,(,170,6,2,),问车门高度应如何确定,?,解,:,设车门高度为,h,cm,按设计要求,P,(,X h,)0.01,或,P,(,X,h,),0.99,，,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,再看一个应用正态分布的例子,:,因为,X,N,(,170,6,2,),故,P,(,X,0.99,所以,=,2.33,即,h,=170+13.98 184,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布,.,40,例,2:,设分布函数,F(x),为严格递增的分布函数，,F,-1,(x),为,F(x),的反函数，若,X,U (0,，,1),证明,Y=F,-1,(X),的分布函数为,F(y),。,证明,:,设,Y,的分布函数为,F,Y,(y),，由分布函数的定义有,F,Y,(y)=PYy=P F,-1,(X)y=P XF(y)=F(y),这个结论在随机模拟中具有基本的重要性。,41,4.,其它常用的连续型分布有以下几个：,（,1,）,分布：设,X,具有概率密度,其中,0,，,0,为参数，则称,X,服从,分布，记为,X,(, ),。,其中,0,为常数，称,X,服从参数为的瑞利分布。,（,2,）瑞利,(Ragleiqh),分布,:,设,X,具有概率密度,42,