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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二维随机变量的边缘分布和条件分布,1,二维随机变量的联合分布函数,定义,设(,X,Y,),为二维随机变量，对于任何,一对实数(,x,y,),事件,定义了一个,二元实函数,F,(,x,y,)，,称为二维随机变量,(,X,Y,),的分布函数，即,(记为 ),的概率,2,二维随机变量的边缘分布函数,由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆不真,.,x,y,x,x,y,y,3,例,1,设二维随机变量(,X,Y,),的联合分布函数为,其中,A,B,C,为常数.,确定,A,B,C,；,求,X,和,Y,的边缘分布函数；,求,P,(,X ,2),4,解,(1),(2),5,(3),可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概念,推广到,n,维随机变量及其联合分布函数与边缘,分布函数,6,定义,若二维随机变量(,X,Y,),的所有可能的,取值为有限多个或无穷可列多个, 则,称(,X,Y,),为,二维离散型随机变量,.,要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与,每个随机变量之间的关系常用其,联合概率分布,和,边缘概率分布,二维离散型随机变量的边缘分布,7,联合概率分布,(,联合分布律,),设(,X,Y,),的所有可能的取值为,则,显然，,二维离散型随机变量的联合分布函数,8,二维离散型随机变量的边缘分布律,已知联合分布律可以求出边缘分布律；,已知边缘分布律一般不能唯一地求出联合,分布律,9,例3,把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的,三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记,X,为落入 1 号盒的球数，,Y,为落入 2 号盒的,球数，求,(,X,Y,),的联合分布律与边缘分布,律；,解,联合分布律的求法：利用乘法公式,常用列表的方法给出,10,(1) 本例中，,其联合分布与边缘分布如下表所示,11,X,Y,p,ij,0 1 2 3,0,1,2,3,0,0,0,0,0,0,P,i,1,p,j,12,例4,把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为,1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无,限, 记,X,为落入1号盒的白球数,Y,为落入 1,号盒的红球数. 求(,X ,Y,),的联合分布律和,边缘分布律.,解,见下表,13,X,Y,p,ij,0 1 2 3,0,1,2,3,p,i,1,p, j,14,本例与前例有相同的边缘分布，但它们的,联合分布却不同. 故,联合分布可以唯一确定边缘分布,但边缘分布却不能唯一确定联合分布,15,二维连续型随机变量的边缘分布,定义,设二维随机变量(,X ,Y,),的分布函数为,F,(,x ,y,),若存在非负可积函数,f,(,x,y,) ,使得对于任意实数,x,y,有,则称(,X ,Y,),为,二维连续型随机变量,，,f,(,x,y,),为(,X ,Y,),的,联合密度函数,简称为,联合密度,或,概率密度,16,边缘分布函数与边缘密度函数,与离散型随机变量相同，已知联合分布可以,求得边缘分布；反之则不能唯一确定.,X,的,边缘分 布,：,X,的,边缘密度,：,Y,的,边缘分布,：,Y,的,边缘密度,：,17,例,5,设二维连续型随机变量(,X,Y,),的联合密度为,其中,k,为常数. 求,常数,k,;,联合分布函数,F,(,x,y,);,边缘分布函数与边缘密度函数,18,当 0,x,1,0,y,x,时,(,下半三角形,),，,1,解,:(3),当,x ,0,或,y,0,时，,F,(,x,y,) = 0,当 0,x,1,x,y,1,时,(,上半三角形,),，,v=u,1,0,u,v,19,当 0,x,1,y,1,时，,v=u,1,0,u,v,1,20,当,x,1,0,y,1,时，,v=u,1,0,u,v,1,当,x,1,y,1,时，,21,F,(,x,y,) =,0,x ,0,或,y, 0,y,4, 0,x,1,0,y,x,，,2,x,2,y,2,y,4,0,x,1,x,y,1,，,2,x,2,x,4, 0,x,1,y,1,，,y,4, x,1,0,y,1,，,1,x,1,y,1,，,22,(4),=,0,x ,0，,2,x,2,x,4, 0,x,1,1,x,1,0,y, 0,y,4, 0,y,1,1 ,y,1,=,23,F,(,x,y,) =,0,x ,0,或,y, 0,y,4, 0,x,1,0,y,x,，,2,x,2,y,2,y,4,0,x,1,x,y,1,，,2,x,2,x,4, 0,x,1,y,1,，,y,4, x,1,0,y,1,，,1,x,1,y,1,，,24,25,也可以直接由联合密度求边缘密度，再积分,求边缘分布函数。,v=u,1,0,u,v,1,26,边缘密度和边缘分布的求解,边缘密度求解,：,(,1),利用联合分布函数，求出边缘分布函数，再求导。,(2),对联合密度积分。通常（,2,）更简单。,边缘分布求解：,3.2 二维随机变量的 条件分布, 将条件概率的概念推广到随机变量,设已知二维离散型随机变量(,X ,Y,),的概率分布,若,则称,为,在,X = x,i,的条件下，,Y,的条件分布律,二维离散型随机变量的条件分布律,28,若,则称,为,在,Y = y,j,的条件下，,X,的条件分布律,类似于乘法公式,29,类似于全概率公式,30,例,6,（续）,把三个球等可能地放入编号为1，,2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限.,记,X,为落入 1 号盒的球数，,Y,为落入 2 号,盒的 球数，求,(,X,Y,),的联合分布律与边缘分布律；,P,(,X,=,i,|,Y =,0,),与,P,(,Y = j | X =,2,);,联合分布律的求法：,由乘法公式,在3,.,1已计算过,31,由问题的意义可知,X,0 1 2 3,32,Y,0 1,33,例,7,一射手进行独立射击, 已知每次他击中目标,的概率为,p,( 0 ,p, 1 ),射击一直进行到击,中两次目标为止. 令,X,表示他首次击中目标,所进行射击的次数,Y,表示他总共进行射击的,次数. 求,X,和,Y,的联合分布律、条件分布律,和边缘分布律,.,解, 第,n,次击中目标，前,n ,1,次恰,有一次击中目标,故联合分布律为,34,边缘分布律为,35,条件分布律为,对每个,n,对每个,m,36,作 业,习题三,10,，,11,，,12,37,
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