医药数理统计六

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,医药数理统计六,定义,设离散型随机变量X的概率分布为,P,X,=,x,k,=,p,k,，,k,=1,2,3,若级数,，则称级数和,为随机变量,X,的数学期望（或均值），,记作,E,（,X,）,随机变量,X,的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受,X,的可能取值的排列次序的影响，因此要求,否则，称随机变量的数学期望不存在,解 易知,X 1 3,P,0.4 0.6,例1 设随机变量,X,的分布列为,求,若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则,E,(,X,) = 1.4 是指甲队平均每次可得分,定义,设连续型随机变量,X,的概率密度为,f,(,x,)，若积分,说明：如果积分 不收敛 ，,则称随机变量,X,的数学期望不存在。,收敛，则称积分值 为,X,的数学期望（或均值）。记作,E,(,X,),，,2. 连续型随机变量的数学期望,试证,X,的数学期望不存在,证 因为,例2 设随机变量,X,服从柯西分布,其密度函数为,即 不收敛，所以,X,的数学期望,不存在,求,X,的数学期望（page 56）.,例3 设随机变量X的概率密度函数为,解,3.,随机变量函数的数学期望,如果级数,收敛，则有,定理3 设,X,是随机变量，,Y,=,g,(,X,)是,X,的连续函数，则有,(1) 若 为离散型变量，其概率函数为,(2)如果,X,为连续型随机变量，其概率密度为,f,(,x,),如果积分 收敛,则有,求E(X,2,)及E(2X-1).,例3.5 设随机变量X的概率密度函数为,证 可将,C,看成离散型随机变量，分布律为,P,X,=,C,=1，故由定义即得,E,(,C,)=,C,.,2. 设,C,为常数，,X,为随机变量，则有,E,(,CX,)=,CE,(,X,),证 设,X,的密度函数为 ，则有,3. 设 为任意两个随机变量，都有,1.,设,C,为常数，则有,E,(,C,)=,C,4. 数学期望的性质,4. 设,X,Y,为相互独立的随机变量，则有,注：3、4可以推广到有限个的情形,解:,二项分布的均值,Poisson 分布,解:,解:,均匀分布,指数分布,解:,常见随机变量的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),分布,期望,概率密度,区间(,a,b,)上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),例,为普查某种疾病,n,个人需验血, 可采用两种,方法验血：,(1) 分别化验每个人的血, 共需化验,n,次；,(2) 将,k,个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性, 则此,k,个人的血只需化验一次；若为阳性, 则对,k,个人的血逐个化验，找出有病者, 这时,k,个人的血需化验,k +,1 次.,设某地区化验呈阳性的概率为,p,，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数,为简单计，设,n,是,k,的倍数，设共分成,n / k,组,第,i,组需化验的次数为,X,i,X,i,P,1,k +,1,解:,若,则,EX,n,例如，,中位数、众数和分位点,定义,定义,定义,例,例,解:,解:,双侧,分位数的概念,设,X,为连续型随机变量,其概率密度函数为,f,(,x,),则对于满足,0 , 1/2,的,则称,x, /,2,为,X,所服从的分布的双侧,分位数,若,标准正态分布的上,分位数,z,u,常用,数字,/2,-u,/,2,=,u,1-,/,2,/2,u,/,2,-u,/,2,四分位数指,例：page63 例3.11,若,E,X - E,(,X,),2,存在, 则称其为随机,称,为,X,的,均方差,或,标准差.,方差的定义,定义1,即,V,(,X,) =,E,X - E,(,X,),2,变量,X,的,方差,记为,V,(,X,) 或,Var,(,X,),两者量纲相同,D,(,X,) 描述 随机变量,X,的取值偏离平均值的平均偏离程度,数,若,X,为离散型,随机变量，,分布律为,若,X,为连续型,随机变量,，概率密度为,f,(,x,),计算方差的常用公式：,(1),V,(,C,) = 0,(2),V,(,aX,) =,a,2,V,(,X,),（3）若,X ,Y,相互独立，则,方差的性质,若,相互独立，,为常数,则,常见随机变量的方差(P.70 ),分布,方差,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,(,1-p,),B,(,n,p,),np,(1-,p,),P,(,),分布,方差,概率密度,区间(,a,b,)上,的均匀分布,E,(,),N,(,2,),例1,设,X P,(,), 求,V,(,X,).,解,方差的计算,例2,设,X B,(,n , p,)，求,V,(,X,).,解,引入随机变量,相互独立，,故,例3,设,X N,(, ,2,), 求,V,(,X,),解,仅知 r.v.的期望与方差,并不能确定其分布,P,-1 0 1,0.1 0.8 0.1,P,-2 0 2,0.025 0.95 0.025,与,有相同的,期望方差,但是分布,却不相同,例如,K阶原点矩和K阶中心矩的概念,