模糊控制理论基础(第二章)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,主讲人：段金英,第二章 模糊控制论,9/20/2024,2.,1,引言,1.,模糊控制的发展,以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。,在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制,。,9/20/2024,模糊控制的发展概况,时间,事件,备注,20,世纪,60,年代,1965,年美国加利福尼亚大学,L.A.zadeh,教授在他,fuzzyset,中首先提出了模糊数学的概念。随之，模糊控制理论及其应用也迅速发展起来。,标志着模糊控制论的诞生,20,世纪,70,年代,1974,年，,E.H.mamdani,首先用模糊控制语句组成模糊控制器，对一个试验性的蒸汽机使用了,24,条”,if a then b then c”,形式的语言规则实现了控制。,1975-1976,年，荷兰、丹麦等国家在工业过程中应用了模糊控制，取得了满意的成果。,表明模糊控制领域的潜力,20,世纪,80,年代,日本的工程师用模糊控制技术首先控制一家富士电子水净化工厂，又开发了仙台地铁模糊系统，创造了了当时世界上最先进的地铁系统。,引起了模糊控制领域的一场巨变,20,世纪,90,年代,除了以往的的工业控制过程外，各种商业民用场合也大量采用模糊控制技术，如模糊洗衣机，模糊微波炉，模糊空调等。,模糊控制的领域的更加广泛,9/20/2024,2.,模糊控制的特点,模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。,9/20/2024,模糊控制理论具有一些明显的特点：,（,1,）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。,（,2,）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如,“,高,”,、,“,中,”,、,“,低,”,、,“,大,”,、,“,小,”,等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。,9/20/2024,（,3,）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如,“,今天气温高，则今天天气暖和,”,，易于被一般人所接受。,（,4,）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。,（,5,）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。,9/20/2024,3.,模糊控制器构造技术,(1),硬件：采用传统的单片机,软件：实现模糊推理和控制,(2),模糊单片机或集成电路芯片,(3),可编程门阵列,9/20/2024,模糊现象,“下雨”是个自然现象，从程度上度量它的时候会出现模糊性，从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”,.,人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中形成的概念往往是模糊概念，即这些概念的类属边界是不清晰的,.,由此形成的划分、判断与推理也都具有模糊性,.,描述雨下的程度：“小雨”、“中雨”、“大雨”,.,人们会根据雨下的程度推测今年的收成是“好”、“一般”，还是“坏”。人脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。人们为了表达和传递知识而使用的自然语言巧妙地渗透着模糊性，能用最少的词汇表达尽可能多的信息,。,9/20/2024,9/20/2024,模糊未必不精确,当我们判断走过来的是谁时，只要把来人的高矮、胖瘦、走路姿势等，与储存在大脑中的样本进行比较，就不难得出可靠的结论。,这件事如果让电子计算机来做，那就得测量来人的身高、体重、手臂摆动的角度、频率、鞋底与地面间的摩擦力、正压力、速度、加速度等一系列数据，而且非要精确到小数点后几十位才肯罢休，计算机的过分精确会在这种场合闹出“翻脸不认人”的笑话。,9/20/2024,模糊概念在自然界和人类社会中是普遍存在的,空间：巨大，很大，大，中，小，微小，,时间：长短，很久，最近，,天气：阴晴，气温高低，风力大小，,人 ：性别，年龄，文化，, (,清晰,),健康，性格，外表，, (,模糊,),音乐：优美，舒缓，激昂，雄壮，,模糊概念集中于：生物，生命，人文，社会，艺术，文学，经济，政治，法律，军事，,9/20/2024,精确性与模糊性关系,模糊性是绝对的，广泛存在的,精确性是相对的，有条件的,9/20/2024,模糊集理论的提出,模糊量的数学表示？,描述模糊性的自然语言如何量化？,9/20/2024,2.2,模糊集合论基础,1.,经典集合的定义与运算,集合表示方法：,(1),列举法：将集合的元素全部列出的方法。,(2),定义法：用集合中元素的共性来描述集 合的方法。,(3),归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。,(4),特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。,9/20/2024,例,1,设集合,U,由,1,到,5,的五个自然数组成，用上述前三种方法写出该集合的表达式。,解,(1),列举法,U,=1,2,3,4,5,(2),定义法,U,=,u,|,u,为自然数且,1,u,5,(3),归纳法,U,=,ui+,1,=ui+,1,i,=1,2,3, 4,u1=,1,特征函数表示法：集合,U,通过特征函数来,TU(u,),表示,9/20/2024,经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。,用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。,对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。,9/20/2024,2.,模糊集合,模糊集合是模糊控制的数学基础。,1,特征函数和隶属函数,例如：集合,A,由,4,个离散值,x1,，,x2,，,x3,，,x4,组成。,A=x1,x2,x3,x4,例如：集合,A,由,0,到,1,之间的连续实数值组成,。,9/20/2024,以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素,x,，,只有两种可能：属于,A,，,不属于,A,。,这种特性可以用特征函数,来描述：,9/20/2024,例,2,：人对温度的感觉,(0,C,40,C,的感觉,),：,经典集合：,14.99,C,属于“冷”；,15.01 C,属于舒适。,与人的感觉一致吗？,9/20/2024,为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数的概念：,其中,A,称为模糊集合，由,0,1,及 构成，,表示元素,x,属于模糊集合,A,的程度，取值范围为,0,1,，称 为,x,属于模糊集合,A,的隶属度。,9/20/2024,在模糊集合的表达中，符号“,/”,、“,+”,和“”不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。,模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念是模糊集合理论的基石。,9/20/2024,例,3,设论域,U=,张三，李四，王五,，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得,95,分，李四得,90,分，王五得,85,分，三人都学习好，但又有差异。,若采用普通集合的观点，选取特征函数,9/20/2024,此时特征函数分别为,(,张三,)=1,，,(,李四,)=1,，,(,王五,)=1,。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取,0,，,1,区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集,A,的程度，就能够反映出三人的差异。,采用隶属函数 ，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为,(,张三,)=0.95,，,(,李四,)=0.90,，,(,王五,)=0.85,。用“学习好”这一模糊子集,A,可表示为：,9/20/2024,其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是,0.95,，,0.90,，,0.85,。,例,4,以年龄为论域，取 。,Zadeh,给出了“年轻”的模糊集,Y,，,其隶属函数为,通过,Matlab,仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线如图所示。,9/20/2024,图 “年轻”的隶属函数曲线,9/20/2024,模糊集合的表示方法,1,、论域,U,为离散域（即论域,U,是有限集合）,(1),扎德表示法,F,=,例：集合,F,表示接近于,0,的整数（已知论域,U=0,1,2,3,4,5,）,9/20/2024,(2),序偶表示法,F,=(,u,1,(,u,1,),),(,u,2 ,(,u,2),(,u,n ,(,u,n),例,F,=(,0,1.0,), (,1,0.9,),(,2,0.75,),(,3,0.5,),(,4,0.2,), (,5,0.1,) ,(3),向量表示法,F,=,(,u,1,),(,u,2),(,u,n),（元素,u,按次序排列）,例：,F,=,1.0,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1,9/20/2024,3.,模糊集合的运算,（,1,）模糊集合的基本运算,由于模糊集是用隶属函数来表征的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。,1,）空集,模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为,0,，即,9/20/2024,2,）全集,模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为,1,，即,3,）等集,两个模糊集,A,和,B,，,若对所有元素,u,，,它们的隶属函数相等，则,A,和,B,也相等。即,9/20/2024,4,）补集,若 为,A,的补集，则,例如，设,A,为“成绩好”的模糊集，某学生 属于“成绩好”的隶属度为：,则 属于“成绩差”的隶属度为：,9/20/2024,5,）子集,若,B,为,A,的子集，则,6,）并集,若,C,为,A,和,B,的并集，则,C=AB,一般地，,9/20/2024,7,）交集,若,C,为,A,和,B,的交集，则,C=AB,一般地，,8,）模糊运算的基本性质,模糊集合除具有上述基本运算性质外，还具有下表所示的运算性质。,9/20/2024,运 算 法 则,1,）幂等律,AA=A,，,AA=A,2,）交换律,AB=BA,，,AB=BA,3,）结合律,(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC),9/20/2024,4,）吸收律,A(AB)=A,A(AB)=A,5,）分配律,A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB) (AC),6,）复原律,9/20/2024,7,）对偶律,8,）两极律,AE=E,，,AE=A,A=A,，,A=,9/20/2024,例,6,设,求,AB,，,AB,则,9/20/2024,例,7,试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即 ，,证：设 ，,则,9/20/2024,4,模糊算子,模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算过程。采用隶属函数的取大（,MAX,）,-,取小（,MIN,）,进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。但还有其它公式，这些公式统称为“模糊算子”。,设有模糊集合,A,、,B,和,C,，,常用的模糊算子如下：,9/20/2024,（,1,）交运算算子,设,C=AB,，,有三种模糊算子：,模糊交算子,代数积算子, 有界积算子,9/20/2024,（,2,）并运算算子,设,C=AB,，,有三种模糊算子：,模糊并算子,概率或算子, 有界和算子,9/20/2024,（,3,）平衡算子,当隶属函数取大、取小运算时，不可避免地要丢失部分信息，采用一种平衡算子，即“算子”可起到补偿作用。,设,C=,AoB,，,则,取值为,0,，,1,。,当,=0,时， ，相当于,AB,时的算子。,9/20/2024,当,=1,时，,相当于,AB,时的算子。,平衡算子目前已经应用于德国,Inform,公司研制的著名模糊控制软件,Fuzzy-Tech,中。,9/20/2024,上次课内容复习,1.,什么是隶属度，隶属度函数,隶属度,即论域元素属于模糊集合的程度。用 来表示。隶属度的值为,0,，,1,闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低,。,计算隶属度的函数称为,隶属函数,。用 表示,2.,模糊集合的定义,3.,模糊集合的表示方法,设论域,U=,钢笔，衣服，台灯，纸,，他们属于学习用品的隶属度分别为,:1,，,0,，,0.6,，,0.8,，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示,9/20/2024,2.2.4,隶属函数的建立,一、几种典型的隶属函数,在,Matlab,中已经开发出了,11,种隶属函数，即双,S,形隶属函数（,dsigmf,）、,联合高斯型隶属函数（,gauss2mf,）、,高斯型隶属函数（,gaussmf,）、,广义钟形隶属函数（,gbellmf,）、,II,型隶属函数,(,pimf,),、双,S,形乘积隶属函数（,psigmf,）、,S,状隶属函数（,smf,）、,S,形隶属函数（,sigmf,）、,梯形隶属函数（,trapmf,）、,三角形隶属函数（,trimf,）、,Z,形隶属函数（,zmf,）。,9/20/2024,在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下,6,种隶属函数。,（,1,）高斯型隶属函数,高斯型隶属函数由两个参数 和,c,确定：,其中参数,b,通常为正，参数,c,用于确定曲线的中心。,Matlab,表示为,9/20/2024,(2),广义钟型隶属函数,广义钟型隶属函数由三个参数,a,，,b,，,c,确定：,其中参数,b,通常为正，参数,c,用于确定曲线的中心。,Matlab,表示为,9/20/2024,(3) S,形隶属函数,S,形函数,sigmf(x,a,c),由参数,a,和,c,决定：,其中参数,a,的正负符号决定了,S,形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。,Matlab,表示为,9/20/2024,（,4,）梯形隶属函数,梯形曲线可由四个参数,a,，,b,，,c,，,d,确定：,其中参数,a,和,d,确定梯形的“脚”，而参数,b,和,c,确定梯形的“肩膀”。,Matlab,表示为：,9/20/2024,(5),三角形隶属函数,三角形曲线的形状由三个参数,a,，,b,，,c,确定：,其中参数,a,和,c,确定三角形的“脚”，而参数,b,确定三角形的“峰”。,Matlab,表示为,9/20/2024,（,6,）,Z,形隶属函数,这是基于样条函数的曲线，因其呈现,Z,形状而得名。参数,a,和,b,确定了曲线的形状。,Matlab,表示为,有关隶属函数的,MATLAB,设计，见著作：,楼顺天，胡昌华，张伟，基于,MATLAB,的系统分析与设计,-,模糊系统，西安：西安电子科技大学出版社，,2001,9/20/2024,例,3,隶属函数的设计：针对上述描述的,6,种隶属函数进行设计。,M,为隶属函数的类型，其中,M=1,为高斯型隶属函数，,M=2,为广义钟形隶属函数，,M=3,为,S,形隶属函数，,M=4,为梯形隶属函数，,M=5,为三角形隶属函数，,M=6,为,Z,形隶属函数。如图所示。,9/20/2024,图,1,高斯型隶属函数（,M=1,）,9/20/2024,fisMat,=,newfis(tipper,);,fisMat,=addvar(fisMat,input,service,0 10);,fisMat,=addmf(fisMat,input,1,poor,gaussmf,1.5 0);,fisMat,=addmf(fisMat,input,1,good,gaussmf,1.5 5);,fisMat,=addmf(fisMat,input,1,excellent,gaussmf,1.5 10);,plotmf(fisMat,input,1);,9/20/2024,图,2,广义钟形隶属函数（,M=2,）,9/20/2024,x=0:0.1:10;,y=gbellmf(x,2 4 6);,plot(x,y,);,xlabel(gbellmf,p,=2 4 6);,9/20/2024,图,3 S,形隶属函数（,M=3,）,9/20/2024,x=0:0.1:10;,y=sigmf(x,2 4);,plot(x,y,);,xlabel(sigmf,p,=2 4);,9/20/2024,图,4,梯形隶属函数（,M=4,）,9/20/2024,图,5,三角形隶属函数（,M=5,）,9/20/2024,图,6 Z,形隶属函数（,M=6,）,9/20/2024,二、隶属函数的仿真,例,设计一个三角形隶属函数，按,-3,，,3,范围七个等级，建立一个模糊系统，用来表示,负大，负中，负小，零，正小，正中，正大,。,仿真结果如图所示。,9/20/2024,图,7,三角形隶属函数曲线,9/20/2024,例,8,设计评价一个学生成绩的隶属函数，在,0,，,100,之内按,A,、,B,、,C,、,D,、,E,分为五个等级，即,不及格，及格,，中，良，优,。,分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。,9/20/2024,图,8,高斯型隶属函数曲线,9/20/2024,三、隶属函数的建立,模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集,合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数也就是隶属度函数的取值范围在,0,1,区间。 如果确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。,9/20/2024,1,、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合,图,2-3,非凸模糊集合隶属度函数,9/20/2024,2,、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的,。,3,、隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不 恰当的重叠,9/20/2024,除以上三条，模糊控制系统隶属度函数的选择通常：,1,）论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数区域，同时它一般应属于至多不超过两个隶属度函数的区域。,2,）对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。,3,）当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。重叠指数也是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。为了定量研究隶属度函数之间的重叠，有重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属函数的重叠关系，如下图右图。它们的定义如下,9/20/2024,9/20/2024,9/20/2024,隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。通常的方法是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和实践来不断地调整和完善。遵照这一原则的隶属函数选择方法有以下几种。,9/20/2024,（,1,）模糊统计法,根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集,A,，,通过统计实验，确定不同元素隶属于,A,的程度。,9/20/2024,模糊统计法的具体步骤,（,1,）确定一个论域,U,；,（,2,）在论域中选择一个确定的元素,v,0,；,（,3,）考虑,U,上的一个边界可变的普通集合,A*,；,（,4,）就,v,0,是否属于,A*,的问题针对不同对象调查统计，并记录结果；,（,5,）根据模糊统计规律计算,v,0,属于模糊集合,A,的隶属度,9/20/2024,模糊统计法举例,例：用模糊统计法确定,27,岁的人属于“青年人”模糊集合的隶属度。,武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：,9/20/2024,表,2-1,关于“青年人”年龄的调查,9/20/2024,由张教授调查统计结果可知，共调查统计,129,次，其中,27,岁的人属于“青年人”这个边界可变的普通集合的次数为,101,次。根据模糊统计规律计算隶属度为：,9/20/2024,隶属函数的确定,求取论域中足够多元素的隶属度，根据这些隶属度求出隶属函数。具体步骤为,：,求取论域中足够多元素的隶属度；, 求隶属函数曲线。以论域元素为横坐标，隶属度为纵坐标，画出足够多元素的隶属度（点），将这些点连起来，得到所求模糊结合的隶属函数曲线；, 求隶属函数。将求得的隶属函数曲线与常用隶属函数曲线相比较，取形状相似的隶属函数曲线所对应的函数，修改其参数，使修改参数后的隶属函数的曲线与所求隶属函数曲线一致或非常接近。此时，修改参数后的函数即为所求模糊结合的隶属函数。,9/20/2024,例：根据张南伦教授的统计结果，求 青年人模糊集合的隶属函数,。,由表,2-1,可分别计算出,15,35,岁的人属于模糊集合“青年人”的隶属度，计算结果如下表：,表,2-2 15,35,岁的人属于青年人的隶属度,9/20/2024,根据表,2-2,的计算结果，以年龄为横坐标，隶属度为纵坐标，绘出隶属函数曲线如下图所示,。,年龄,（岁,）,15,20,25,30,35,隶属度,1,9/20/2024,所求隶属函数曲线与降半哥西型函数曲线较相似，降半哥西型隶属函数为：,修改降半哥西型隶属函数参数，使其函数曲线与所求隶属函数曲线非常接近。此时取,=1/25,，,a=24.5,，,=2,。参数修改后的降半哥西型函数即为模糊集合“青年人”的隶属函数。即,：,9/20/2024,(2),例证法,从有限个隶属度值，来估计,U,上的模糊集,A,的隶属度函数。,(3),专家经验法，有专家给出隶属度函数值。,(4),二元对比排序法,9/20/2024,9/20/2024,9/20/2024,在相及矩阵中取每一行有最小值，按所得值的大小排列得,1,3/54/7,结论是长子最像父亲（,1,），三子次之（,0.6,），次子最不像父亲（,0.57,）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。,9/20/2024,（,5,）主观经验法,当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。,（,6,）神经网络法,利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的值。,9/20/2024,2.2.5,模糊关系,一、模糊关系,1.,集合关系,集合论中,关系,的概念：,反映,不同集合,的,元素,之间的关联,9/20/2024,普通,关系,用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联,例：,东西亚足球对抗赛，分两个小组：,小组,A,中国，日本，韩国,小组,B,伊朗，沙特，阿联酋,R,：抽签决定的,两个小组的对阵关系,明确的关系,r(i,j,)=1,；,r(i,j,)=0,9/20/2024,模糊,关系,人和人之间关系的“亲密”与否？,儿子和父亲之间长相的“相像”与否？,这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为,在多大程度上,“是”或,在多大程度上,“否”。,模糊关系,9/20/2024,模糊关系,例,1,我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设,:,儿子与父亲的相像程度为,0.8,，,儿子与母亲的相像程度为,0.3,；,女儿与与父亲的相像程度为,0.3,，,女儿与母亲的相像程度为,0.6,。,则“相像”关系可描述为,9/20/2024,模糊,关系的表示,（,1,）模糊集合表示法,当,AB,为连续有限域，二元模糊关系,R,的模糊集合表示方法为,同样，对于,n,元模糊关系表示为,9/20/2024,例,2,9/20/2024,（,2,）模糊矩阵表示方法,9/20/2024,例,3,设有一组同学,X,，,X=,张三，李四，王五,，他们的功课为,Y,，,Y=,英语，数学，物理，化学,。他们的考试成绩如下表：,9/20/2024,表 考试成绩表,取隶属函数 ，其中,u,为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个,x,y,上的一个模糊关系,R,，,见下表。,9/20/2024,表 考试成绩表的模糊化,将上表写成矩阵形式，得：,9/20/2024,该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在,0,，,1,闭环区间上取值。矩阵,R,也可以用关系图来表示，如图所示。,图,R,的关系图,9/20/2024,（,3,）模糊图表示,9/20/2024,9/20/2024,9/20/2024,二、模糊矩阵运算,设有,n,阶模糊矩阵,A,和,B,， ，,，,且 。则定义如下几种模糊矩阵运算方式：,9/20/2024,例,4,设,9/20/2024,9/20/2024,三、模糊矩阵的合成,模糊矩阵的合成类似于普通矩阵的乘积。将乘积运算换成“取小”，将加运算换成“取大”即可。,设矩阵,A,是,x,y,上的模糊关系，矩阵,B,是,y,z,上的模糊关系，则,C=A,B,称为,A,与,B,矩阵的合成，合成算法为：,9/20/2024,例,5,设， ，,则,A,和,B,的合成为：,其中,9/20/2024,9/20/2024,练习：,假设模糊关系,R,描述了子女与父亲、叔叔长相的“相像”关系，模糊关系,S,描述了父亲、叔叔与祖父、祖母长相的“相像”关系，,R,和,S,分别描述为,：,求子女与祖父、祖母长相的“相像”关系,C,9/20/2024,2.3,模糊逻辑，模糊推理及合成,对一句话，如果能够判断它表述的意思是真是假时，,就可以称为,命题,。,一个简单的语句叫“简单命题”，用命题联结词把两个以上的简单命题联结起来叫“复合命题”。,命题联结词有：析取 、合取 、否定,、蕴涵,等价,2.3.1,二值逻辑,一、命题的概念,9/20/2024,二、二值逻辑,非是即非,析取 ：意思是“或” 。,复合命题,P Q,只有在,P,和,Q,都是假时，才是假。,例如：,P,她喜欢吃雪糕，,Q,她喜欢喝可乐。,P Q,她喜欢吃雪糕,或,喜欢喝可乐。,合取 ：意思是“与” 。,复合命题,P Q,只有在,P,和,Q,都是真时，才是真。,例如：,P,她喜欢吃雪糕，,Q,她喜欢喝可乐。,P Q,她喜欢吃雪糕,和（与）,喝可乐。,9/20/2024,蕴涵 ： 意思是 “如果,.,那么,.”,例如：,P,是女孩子，,Q,她喜欢漂亮。,PQ,如果,是女孩子,那么,她喜欢漂亮。,等价 ：意思是“当且仅当”,例如：,P,A,是等边三角形，,Q,A,是等角三角形。,P Q,A,是等边三角形,当且仅当,A,是等角三角形。,9/20/2024,二值逻辑的运算规则称为布尔代数，布尔代数是描述逻辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若,、,、,0,，,1,，则,布尔代数具有如下的运算性质：,1),幂等律,2),交换律,3),结合律,4),吸收律,5),分配律,6),双否律,7),互补律,8),德,摩根律,9),常数运算法则,9/20/2024,2.3.2,模糊逻辑及其基本运算,一、模糊逻辑的产生于发展,经典集合与二值逻辑遇到了一些不能解决的问题。例如，古希腊的垛堆,佯谬,问题：从一堆沙子中取一粒沙，仍然还是一堆；再取一例，还是一堆；一直取下去，最后还剩下一粒沙子，还是一堆吗？再取走这一粒就什么也没有了，还是一堆吗？如果这不能算一堆，那么什么时候停止取时留下的才算是一堆呢？,佯谬就是看上去是一个错误，但实际上不是。,9/20/2024,这种问题在经典集合论和二值逻辑中都是进退两难的问题。实际上，所有在实践上连续变化的事物和现象都存在这种矛盾。,首先突破二值逻辑的先行者时波兰的逻辑学家和哲学家,J.,卢卡斯维兹,(,JanLukasewiez,),（,1878-1955,），,1920,年他在二值逻辑的基础上，扩展成一个三值逻辑世界。他用,1,表示真，,0,表示假，另外用,1/2,表示可能性。这看起来好像仅仅是插入一个值，然而却是一个突破，它导致了某事物的反面与其本身等效的“谬论”。,9/20/2024,经典逻辑这样表达命题：“明天将下雪是真”；其反面则是：“明天将不会下雪是真”。,J.,卢卡斯维兹加上另外一种表述：“明天将下雪是可能的”，这种表述的逻辑值是,1/2,；其反面是：明天将不会下雪是可能的，这种表述的逻辑值也是,1/2,，当然，“,1/2,1/2”,，这就是说“状态反状态”。,9/20/2024,在二值逻辑中插入的第三个逻辑值就像一个楔的作用，一旦这个口子被打开，就没有理由只能在其中插入一个值，那就可以插入任意多的值，这就构成了多值逻辑，这实际上是模糊逻辑的亚结构。,用多值逻辑就可以表述一个命题的真的程度，这就为人们能更细致、更精确、更准确地进行逻辑判断提供了基础和基本条件。,9/20/2024,模糊逻辑是在,J.,卢卡斯维兹多值逻辑基础上发展起来的，它承认从,0,到,1,之间有无穷多个相互重叠渗透的中介。,用模糊逻辑结构就可以解决那些在二值逻辑中感到棘手而尴尬的问题。例如，模糊逻辑就可以很容易地解决“垛堆佯谬”问题。随着每取走一粒沙，沙堆在堆的集合中的隶属度就越来越小，它从,1,开始，慢慢减到,0.8,、,0.6,、,0.2,，最后到,0,。,9/20/2024,模糊逻辑是通过模仿人的思维方式来表示与分析不确定、不精确信息的方法和工具。在模糊控制中的每一个特定的输入都对应着一个实际的输出，并且，这个输出值是完全可以预测的。,模糊逻辑并不是“模糊”的逻辑，而是用来对“模糊”进行处理，以达到消除模糊的逻辑。模糊逻辑是一种精确地解决不精确、不完全信息的方法，其最大特点就是用它可以比较自然地处理人的概念。,9/20/2024,比如说“重庆的桥多,”,这显然是一个命题，但是这个命题究竟是真是假？那要看跟谁比较了，如果说“重庆的桥比较多”可能更为合适。,也就是说如果命题的真值不是简单的取“,1”,或“,0”,，而是可以在,0,，,1,区间连续取值，这样对此类命题的描述就更切合实际了。这就是模糊命题。,模糊命题是指带有模糊概念或模糊性的陈述句，是普通命题的推广，而模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。,9/20/2024,模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。,普通命题的真值相对于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以模糊逻辑的基本运算，即真值的运算，就是隶属度函数的运算。,二、模糊逻辑的基本运算,9/20/2024,设,P,、,Q,、,R,是三个模糊命题，那么,1,、模糊逻辑补： 对命题否定，,2,、模糊逻辑析取：,P Q,max,（,P,，,Q,）,3,、模糊逻辑合取：,P Q,min,（,P,，,Q,）,4,、模糊逻辑蕴涵： 如,P,是真的，则,Q,也是真的。,P Q,（,1,P,Q,）,1,min 1,（,1,P,Q,）,5,、模糊逻辑等价： 如,P,是真的，则,Q,也是真的。,P Q,（,P Q,）,（,Q P,）,模糊逻辑的基本运算,9/20/2024,模糊逻辑的基本运算,6,、模糊逻辑限界积：,7,、模糊逻辑限界和：,8,、模糊逻辑限界差：,9/20/2024,P,她是个刁蛮的人，其真值,P,0.8,Q,她是个泼辣的人，其真值,Q,0.6,那么,P Q,min,（,P,，,Q,）,min(0.8 , 0.6)=0.6,P,Q,max,（,P,，,Q,）,max(0.8 , 0.6)=0.8,P,Q,(1,P,Q,）,1,(1,0.8,0.6) 1=0.8,模糊逻辑的基本运算,例,1,：设有模糊命题,9/20/2024,根据模糊逻辑的基本运算定义，可以得出模糊逻辑运算满足模糊运算的基本定律，除了互补律外，其它八条定律与二值逻辑类似，,模糊运算的互补律不成立，其互补运算满足：,作用：,利用模糊逻辑运算满足的基本定律公式可以化简模糊逻辑函数。,9/20/2024,2.3.3,模糊语言逻辑,所谓语言，通常指自然语言和人工语言。自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词,(,如黎明、模范、优美、拥护等,),。人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的,C,语言、汇编语言等。人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。,显然，,模糊语言主要是指自然语言,。,一、模糊语言的概念,9/20/2024,广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用模糊语言来表达具有模糊性的现象和事物。可见，模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把大约在,1.75 1.85 m,之间的人归结于“高个子”模糊概念里，而在欧洲，大约在,1.80,一,1.90 m,之间的人才能算作“高个子”。,9/20/2024,综上所述，模糊语言实质上是具有模糊性的语言。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。要将模糊语言表达出来，使机器能模拟人的思维、推理和判断，就需要了解,模糊数,、,语言值,、,语言变量,和,语气算子,这些概念,.,二、模糊数,连续论域,U,中的一模糊数,F,是一个,U,上的正规凸模糊集。 也就是说，,以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数,。,模糊数实质上是一个模糊子集。而所谓“正规集合”的含义就是隶属度函数的最大值为,1,，即,通俗地讲，模糊数就是那些诸如“大约,5”,、“,10,左右”等具有模糊概念的数值。,9/20/2024,三 、语言值,在语言系统中，那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、轻、重、大、小等或者由他们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。,例如，成年男子身高的论域：,E=130,140,150,160,170,180,190,200,210 = e,1,e,2,e,9,在论域上定义语言值：,个子高,=0.2/e,4,+0.4/e,5,+0.6/e,6,+0.8/e,7,+0.95/e,8,+1/e,9,个子矮,=1/e,1,+0.7/e,2,+0.5/e,3,+0.3/e,4,+0.1/e,5,9/20/2024,四、语言变量,语言变量是用一个五元素的集合来表征的：,其中,：,X,语言变量名（如速度、年龄、颜色）；,T,（,X,）,语言变量名的集合；,U,语言变量,x,的论域；,G,语法规则（用于产生语言变量,x,的值）；,M,算法规则（与每个语言变量含义相联系）。,所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不是以数值作为变量。,9/20/2024,1,0,语言变量元素之间的关系示意图,9/20/2024,语言变量用以表征那些十分复杂或无法用精确术语进行描述的现象，其必须遵守语法规则和算法规则。,为了能够更加确切地描述模糊语言变量，进一步区分和刻划模糊值得程度，常常还借用自然语言中的修饰词，如“很”、“较”、“非常”、“有点”、“大约”、“稍微”等来描述模糊值，为此引入模糊语言算子的概念。,语言算子分为语气算子、模糊化算子和判定化算子三类：,9/20/2024,语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，可加在其他模糊词的前面进行修饰。,加强语气,的词称为集中算子，如“特别”、“很”、“相当”等等；,减弱语气,的词称为散漫化算子，如“较”、“稍微”、“有点”等。,1,、语气算子,记,H,为语气算子运算符，则原语言值,A,经语气算子,H,的作用，形成一个新的语言值,H,(A),。设原语言值,A,的隶属度函数为,A,，新的语言值,H,(A),的隶属度函数为,H,(A),，,则,9/20/2024,极,4,非常,3,很,2,相当,1.5,比较,0.8,略,0.6,稍,0.4,常用的语气算子,定义为：,当然，语气强弱的程度因人而异，对于某一特定语气的词,其,的取值不完全一样，但是其取值应与语气的强弱程度一致。,9/20/2024,以“年老”这个词,(,语言值,),为例，来说明语气算子的作用,则,例,2,：,以及,9/20/2024,假设有两个人，一个是,60,岁，另一个是,70,岁，那么他们分别属于“年老”、“很老”、“有点老”这三个语言值的隶属度可用公式求出为：,从上面的隶属度可以得出这样的结论：,70,岁的人比,60,岁的人 “年老”、,“,很老”和“有点老”的程度都高，也就是说,70,岁的人比,60,岁的人更老。,9/20/2024,9/20/2024,9/20/2024,2,、模糊化算子,模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者将原来就已经是模糊概念的词义更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大约”等，,如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数,.,例如数字“,5”,是一个精确数，而如果将模糊化算子“,F”,作用于“,5”,这个精确数就变成“,F(5)”,这一模糊数。若模糊化算子“,F”,是“大约”，则“,F(5)”,就是“大约,5”,这样一个模糊数。,在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。,9/20/2024,设模糊前的集合为,A,，模糊化算子为,F,，则模糊化变换可表示为,F(A),，并且它们的隶属函数关系满足,如果,A,是清晰集，则,A,(,x,),就是特征函数。,R,(,x,，,c,),是表示,模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线,即,参数,的取值,大小取决于模糊化算子的强弱程度。,9/20/2024,例,:,论域,X,上的清晰集,A,（,x,）的特征函数为,取,c,5,，则,”,大约是,5”,这一语言值的隶属度函数可以定义为,如右图所示：,9/20/2024,3,、判定化算子,判定化算子与模糊化算子的作用相反。它是将原来具有模糊词义的词进行肯定化处理。如“趋向于”、“大半是”、“偏向于,”,等。,设判定化前的集合为,A,，它的隶属函数为,A,(,x,),，,判定化算子为,P,，则判定化变换可以表示为,P,（,A,），它们的隶属函数关系满足,当取,=1/2,时，,P,1/2,可用来表示“趋向于”。,9/20/2024,2.3.4,模糊逻辑推理,一、模糊变换,基于模糊关系的模糊变换是模糊控制中极为重要的运算过程。,所谓模糊变换，是指给定两个集合之间的一个模糊关系，据此将一个集合上的模糊子集经运算得到另一个集合上的模糊子集的过程。在模糊控制中，通过模糊变换可以从输入的模糊量求出所需的输出模糊量。,R=A,B,A,B,如图所示，当控制器的模糊关系,R,确定之后，若输入为,A,，则可经运算，求得控制器的输出,B,。,9/20/2024,上式就是模糊变换，结果,B,实际上是模糊子集,A,和模糊关系矩阵,R,的合成，它把,X,中的模糊集,A,变为,Y,上的模糊集,B,，实现了论域的转换。,当,R,表示的是某种逻辑因果关系时，则模糊变换就是一种模糊推理,。,设,R,为,X,Y,上的模糊关系，,A,是,X,上的模糊子集， 则可求出相应的,B,为,9/20/2024,二、模糊逻辑推理,常规的逻辑推理方法如演绎推理、归纳推理都是严格的。用传统二值逻辑进行推理时，只要推理规则是正确的，小前提是肯定的，那么就一定会得到确定的结论。例如，前提：如果,A,，则,B,，如果,B,，则,C,。结论：如果,A,，则,C,。,然而，在现实生活中人们常常获得的信息是不精确的、不完全的、或者事实本身就是模糊而不能完全确定的。但又需要人们利用这些信息进行判断和决策。,例如，若,A,大，则,B,小。已知,A,较大，则,B,应该多少,?,显然这样一类问题利用传统的二值逻辑是无法得到结果的，而人们在大部分情况下能够对其进行推理和判断，那么这种不确定性推理的规则是什么呢,?,目前有关这方面的理论和方法还不成熟，尚在发展之中,9/20/2024,目前已知的主要不确定性推理方法可归结为四类：,MYCIN,法、主观贝叶斯方法、证据理论法和,模糊逻辑推理法,模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。虽然它的数学基础没有形式逻辑那么严密，但用这种推理方法得到的结论与人类的思维推理结论是一致或相近的，并在实际使用中得到了验证，因此模糊逻辑推理方法已经受到了广泛的重视。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法。例,大前提：腿长则跑步快,小前提：小王腿很长,结论：小王跑步很快,9/20/2024,大前提：腿长则跑步快,小前提：小王腿很长,结论：小王跑步很快,它近似于二值逻辑的三段论推理模式。在这里,“,腿长,”,和,“,跑步快,”,都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似逻辑地推出的结论。通称为,假言推理,或是,似然推理,。,判断是否属于模糊逻辑推理的标准是看推理过程是否具有模糊性，具体表现看为推理规则是不是模糊的。,9/20/2024,在模糊逻辑推理中有两种重要的推理方法，广义取式（肯定前提）推理和广义拒式（否定结论）推理：,（,1,）广义取式（肯定前提）推理,前提,1,：如果,x,是,A,，则,y,是,B,前提,2,：如果,x,是,A,，,结论：,y,是,B,（,2,）广义拒式（否定结论）推理,前提,1,：如果,x,是,A,，则,y,是,B,前提,2,：如果,y,不是,B,，,结论：,x,不是,A,其中,A,，,B,，,A,，,B,均为模糊集合，,x,和,y,为语言变量。,后面的介绍将以广义取式为例,9/20/2024,模糊逻辑的推理方法还在发展之中，比较典型的有扎德,(,Zadeh,),方法、玛达尼,(,Mamdani,),方法、鲍德温,(Baldwin),方法、耶格,(,Yager,),方法、楚卡莫托,(Tsukamoto),方法。,从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可分为四种模糊推理规则：近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理。,值得指出的是，这四种推理规则都可以选用不同的推理方法,(,如扎德法、玛达尼法、鲍德温法等,),，但通常最简单、最方便的推理法还是玛达尼的极大极小推理法。,下面以模糊取式推理为例，从近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理四种推理方法来进行介绍。,9/20/2024,一、近似推理规则,if A then B,在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将该是多少呢,?”,。很自然用人们的常识可以推知： “如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达：,要得到结论,B,关键在于如何计算模糊关系矩阵,R= A,B,前提,1,：如果,x,是,A,，则,y,是,B,前提,2,：如果,x,是,A,，,结论：,y,是,B,=,A,R,=,A,(,A,B,),9/20/2024,1,、,Zadeh,推理法,根据不同的推理方法可以得到,模糊关系矩阵,R,的元素,A,B,(x, y),的不同计算方法，主要有两种：,R,=,（,A,B,）,=,（,A,B,）,（,1 -,A,）,其隶属度函数为,推理结果为,B = A,R,=,A,（,A,B,）,（,1 -,A,）,其隶属度函数为,9/20/2024,2,、,Mamdani,推理法,R,=,（,A,B,）,=,A,B = A,B,其隶属度函数为,Mamdani,把模糊蕴涵关系用,A,和,B,的笛卡尔积（直积）表示：,推理结果为,B = A,R,=,A,（,A,B,）,其隶属度函数为,9/20/2024,论域,X,Y, 1,，,2,，,3,，,4,，,5 ,，在,X,和,Y,上有三个模糊子集 “大”、 “小”、 “较小”，分别如下：,“大”,0.4/3 + 0.7/4 + 1/5,“,小“,1/1 + 0.7/2 + 0.3/3,“,较小”,1/1 + 0.6/2 + 0.4/3 + 0.2/4,已知规则：为若,x,小，则,y,大，,那么当,x,较小时，,y,？,例,4,9/20/2024,已知,解：,（,1,）由,Zadeh,推理法,且,可以得到,x,小到,y,大的模糊关系矩阵,R,zd,9/20/2024,由上面的隶属度值可知，当,x,较小时“,y,较大,”，因此可以得到,x,较小时的推理结果：,从中可以看出，,Zadeh,的推理结果与人们的思维是一致的。,模糊关系合成：,9/20/2024,（,2