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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机械制图教学课件,机,械,制,第五章 机件的表达方法,第六章 标准件和常用件,第四章 轴侧图,第七章 零件图,第三章 组合体,第八章 装配图,第二章 正投影基础,结束,机,械,制,2.1,投影的形成及常用的投影方法,2.2,点、线、面的投影,2.3,几何元素的相对位置,2.4,换面法,2.5,体的投影及三视图,2.6,平面体与回转体的截切,2.7,两立体相交,正投影基础,返回,2.2.1,点的投影,2.2.2,直线的投影,2.2.3,平面的投影,点线面,返回,2.6.1,平面立体的截切,2.6.2,回转体体的截切,截切,返回,3.1,组合体的组成方式,3.2,组合体的画图方法,3.3,组合体的看图方法,3.4,组合体的尺寸标注,组合体,返回,4.1,轴侧图的基本知识,4.2,正等轴侧图,4.3,斜二轴侧图,4.4,轴侧图中剖切画法,轴侧图,返回,5.1,视图,5.2,剖视图,5.3,剖面图,5.4,简化画法,机件表达方法,返回,6.1,螺纹和螺纹紧固件,6.2,齿轮,6.3,键与销,6.4,弹簧,6.5,滚动轴承,标准件常用件,返回,7.1,零件图的作用与内容,7.2,零件图的视图选择,7.3,零件结构工艺性,7.4,零件图的尺寸标注与工艺性,7.5,画零件图的步骤与方法,7.6,零件图的看图方法与步骤,7.7,零件图的技术要求,零件图,返回,8.4,装配图的尺寸标注零件编号和明细表,8.3,装配图的视图选择,8.2,装配图的表达方法,8.1,装配图的作用与内容,8.5,装配结构的合理性,8.6,画装配图的方法和步骤,8.7,装配图的读图和拆画零件图,装配图,返回,21,投影的形成及常用的投影方法,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,返回,下页,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,度量性较差,投影特性,投射线,投射中心,物体,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,返回,下页,上页,平行投影法,斜角投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,投射线互相平行且垂直于投影面,投射线互相平行且倾斜于投影面,直角（正）投影法,返回,下页,上页,P,b,A,P,采用多面投影,。,过空间点,A,的投射线与投影面,P,的交点即为点,A,在,P,面上的投影。,B1,B2,B3,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,2.2.1,点的投影,解决办法？,返回,下页,上页,H,W,V,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正,面或,V,面）,水平投影面（简称水,平面或,H,面）,侧面投影面（简称侧,面或,W,面）,投影轴,o,X,Z,OX,轴,V,面与,H,面的交线,OZ,轴,V,面与,W,面的交线,OY,轴,H,面与,W,面的交线,Y,三个投影面互相垂直,返回,下页,上页,W,H,V,o,X,空间点,A,在三个投影面上的投影,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的侧面投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,a,a,a,A,Z,Y,返回,下页,上页,W,V,H,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,a,a,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,a,z,x,返回,下页,上页,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律,:,a,aOX,轴, aa,x,= a,a,z,=y=A,到,V,面的距离,a,a,x,= a,a,y,=z=A,到,H,面的距离,aa,y,=,a,a,z,=x=A,到,W,面的距离,x,a,a,z,a,y,Y,Z,a,z,a,X,Y,a,y,O,a,a,x,a,y,a,a,a,OZ,轴,返回,下页,上页,a,a,a,x,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一,:,通过作,45,线使,a,a,z,=aa,x,解法二,:,用圆规直接量取,a,a,z,=aa,x,a,返回,下页,上页,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的,上下、前后、左右,位置关系。,判断方法：,x,坐标大的在左,y,坐标大的在前,z,坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B,点在,A,点之前、之右、之下。,X,Y,H,Y,W,Z,返回,下页,上页,四、重影点：,空间两点在某一投影面上的,投影重合为一点,时，则称此两点为,该投影面,的重影点。,A,、,C,为,H,面的重影点,a,a,c,c,被挡住的投影加,( ),( ),A,、,C,为哪个投影面的重影点呢？,a c,返回,下页,上页,a,a,a,b,b,b,2.2.2,直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,A,B,a,b,直线垂直于投影面,投影重合为一点,积聚性,直线平行于投影面,投影反映线段实长,ab=AB,直线倾斜于投影面,投影比空间线段短,ab=ABcos,A,B,a,b,A,M,B,abm,返回,下页,上页, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,返回,下页,上页,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，,并反映直线与另两投影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影,轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与,H,面的夹角,:,与,V,面的角,:,与,W,面的夹角,: ,实长,实长,实长,b,a,a,a,b,b,返回,下页,上页,反映线段实长。且垂直,于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影,，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性,。,投影特性,:,c,(,d,),c,d,d,c,a,b,a(b),a,b,e,f,e,f,e,(,f,),返回,下页,上页, 一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短。即,:,都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,a,b,b,a,b,a,返回,下页,上页,二、直线与点的相对位置, 若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法,：,AC/CB=ac/cb=,a,c,/ c,b,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,返回,下页,上页,点C不,在直线,AB上,例,1,：判断点,C,是否在线段,AB,上。,a,b,c,a,b,c,c,a,b,c,a,b,点,C,在直线,AB上,返回,下页,上页,例,2,：判断点,K,是否在线段,AB,上。,a,b,k,因,k,不在,a,b,上，,故点,K,不在,AB,上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,另一判断法,?,返回,下页,上页,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行,、,相交,、,交叉,。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各,同名投影,必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,返回,下页,上页,a,b,c,d,c,a,b,d,例,1,：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,返回,下页,上页,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行。,例,2,：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？,返回,下页,上页,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，,则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律,。,交点是两直线的共有点,返回,下页,上页,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,例：过,C,点,作水平线,CD,与,AB,相交。,先作正面投影,返回,下页,上页,d,b,a,a,b,c,d,c,1,(,2,),3(4 ), 两直线交叉,投影特性,：, 同名投影可能相交，但,“交点”,不符合空间一个点的投影规律,。,“交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、,是面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,为什么？,1,2,3,4,两直线相交吗？,返回,下页,上页, 两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面,因 BCAB,同时,BCBb,所以,BCABba,平面,直线在,H,面上的投影互相垂直,即 abc,为直角,因此,bcab,故,bc ABba,平面,又因,BCbc,A,B,C,a,b,c,H,a,c,b,a,b,c,.,证明：,返回,下页,上页,d,a,b,c,a,b,c,d,例：过,C,点作直线与,AB,垂直相交。,AB,为正平线,正面投影反映直角。,.,返回,下页,上页,小 结,点与直线的投影特性，尤其是,特殊位置,直线的投影特性,。,点与直线及两直线的相对位置的判断方,法及投影特性。,定比定理。,直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,返回,下页,上页,一、点的投影规律,a,a,Z,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,x,a,z,a,a,aOX,轴, aa,x,= a,a,z,=y=A,到,V,面的距离,a,a,x,= a,a,y,=z=A,到,H,面的距离,aa,y,=,a,a,z,=x=A,到,W,面的距离,a,a,OZ,轴,返回,下页,上页,二、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,返回,下页,上页,三、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影,成定比,定比定理。,四、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,返回,下页,上页,五、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该,投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，,在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，,在三个投影面上的投影都不,反映直角。,直角定理,返回,下页,上页,2.2.3,平面的投影,一、,平面的表示法,a,b,c,a,b,c,不在同一直线上的三个点,a,b,c,a,b,c,直线及线外一点,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,a,b,c,a,b,c,平面图形,返回,下页,上页,二、平面的投影特性,平行,垂直,倾斜,投 影 特 性, 平面平行投影面,-,投影就把实形现,平面垂直投影面,-,投影积聚成直线, 平面倾斜投影面,-,投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,返回,下页,上页, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类,：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,返回,下页,上页,a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,是什么位置的平面？,返回,下页,上页,a,b,c,a,b,c,a,b,c, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,返回,下页,上页,a,b,c,a,c,b,a,b,c, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,返回,下页,上页,三、平面上的直线和点,判断直线在平面内的方法,定 理 一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定 理 二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。, 平面上取任意直线,返回,下页,上页,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,d,m,n,n,m,d,例,1,：已知平面由直线,AB,、,AC,所确定，试,在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有多少解？,有无数解。,返回,下页,上页,例,2,：在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H,面的距 离为,10mm,。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,有多少解？,返回,下页,上页, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例,1,：已知,K,点在平面,ABC,上，求,K,点的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,k,面上取点的方法：,首先面上取线,a,b,c,a,b,k,c,d,k,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,返回,下页,上页,b,c,k,a,d,a,d,b,c,a,d,a,d,b,c,k,b,c,例,2,：已知,AC,为正平线，补全平行四边形,ABCD,的水平投影。,解法一,解法二,返回,下页,上页,2.3,几何元素的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,包括, 直线与平面平行,定理：,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。,返回,下页,上页,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例,1,：过,M,点作直线,MN,平行于平面,ABC,。,有无数解,有多少解？,返回,下页,上页,正平线,例,2,：过,M,点作直线,MN,平行于,V,面和平面,ABC,。,c,b,a,m,a,b,c,m,n,唯一解,n,返回,下页,上页, 两平面平行, 若一平面上的,两相交直线,对应平行于另一平面上的,两相交直线,，则这两平面相互平行。, 若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具有积聚性,的那组投影必相互平行。,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,返回,下页,上页,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交, 直线与平面相交,直线与平面相交，其,交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可,见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,返回,下页,上页,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线,MN,与平面,ABC,的交点,K,并判别可见性。,空间及投影分析,平面,ABC,是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与,mn,的交点即为,K,点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，,KN,段在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,还可通过重影点判别可见性。,k,1,(,2,),作 图,k,2,1,返回,下页,上页,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线,MN,为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点,K,的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点,位于平面上，在前；点,位于,MN,上，在后。故,k,2,为不可见。,1,(2,),k,2,1,作图,用面上取点法,返回,下页,上页,两平面相交,两平面相交其交线为直线，,交线是两平面的共有线，,同时,交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求,两平面的,交线,方法：, 确定两平面的,两个共有点。, 确定,一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。,返回,下页,上页,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(n,),空间及投影分析,平面,ABC,与,DEF,都为,正垂面,，它们的正面投影都积聚成直线。,交线必为一条正垂线,，,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面,ABC,在上，其水平投影可见。,n,m,能否不用重影点判别？,能,!,如何判别？,例：求两平面的交线,MN,并判别可见性。,返回,下页,上页,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a,b,与,e,f,的交点m,、 b,c,与f,h,的交点n,即为两个共有点的正面投影，故,m,n,即MN的正面投影,。, 求交线, 判别可见性,点,在,FH,上，点,在,BC,上，,点,在上，点,在下，故,fh,可见，,n2,不可见。,作 图,m,n,2,n,m,1,返回,下页,上页,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N,点的水平投影,n,位于,def,的外面，说明点,N,位于,DEF,所确定的平面内，但不位于,DEF,这个图形内。,所以,ABC,和,DEF,的交线应为,MK,。,n,n,m,k,m,k,互交,返回,下页,上页,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面,内的,两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是,两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是,如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，,尤其是特殊位置平面的,投影特性。,返回,下页,上页,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形,类似性,。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线,积聚性,。,另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形,实形性,。,另外两个投影积聚为直线。,返回,下页,上页,二、平面上的点与直线, 平面上的点,一定位于平面内的某条直线上, 平面上的直线, 过平面上的两个点。, 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,三、平行问题, 直线与平面平行,直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行,必须是一个平面上的一对相交直线对应平行,于另一个平面上的一对相交直线。,返回,下页,上页,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用,交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用,交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上,取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，,有时可找出两平面的一个共有点，根据交线,的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用,特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共,有点，求出交线。,返回,下页,上页,2.4,换面法,一、问题的提出,如何求一般位置直线的实长？,如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法：,物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使,物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,返回,下页,上页,V,H,A,B,a,b,a,b,二、新投影面的选择原则,1.,新投影面必须对空间物体处于,最有利的解,题位置。,平行于新的投影面,垂直于新的投影面,2.,新投影面必须,垂直于,某,一保留的原投影面，,以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,P,a,1,b,1,返回,下页,上页,V,H,A,a,a,a,x,X, 更换一次投影面,旧投影体系,X ,V,H,新投影体系,P,1,H,X,1,A,点的两个投影：,a,，,a,A,点的两个投影：,a,，,a,1, 新投影体系的建立,三、点的投影变换规律,X,1,P,1,a,1,a,x1,V,H,X,P,1,H,X,1,a,a,a,1,a,x,a,x1,.,返回,下页,上页,a,x1,V,H,X,P,1,H,X,1,a,a,a,1,V,H,A,a,a,x,X,X,1,P,1,a,1,a,x1, 新旧投影之间的关系,aa,1, X,1,a,1,a,x1,= a,a,x,点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影,到原投影轴的距离。,a,x,a,一般规律：,点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直,于新投影轴。,.,返回,下页,上页,X,V,H,a,a,a,x,更换,H,面, 求新投影的作图方法,V,H,X,P,1,H,X,1,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,X,1,P,1,V,a,1,a,x,a,x1,a,x1,更换,V,面,a,1,作图规律：,.,.,返回,下页,上页, 更换两次投影面,先把,V,面换成平面,P,1,，,P,1,H,，得到中间新投影体系,:,P,1,H,X,1,再把,H,面换成平面,P,2,，,P,2,P,1,，得到新投影体系,:,X,2,P,1,P,2, 新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,a,x,X,X,1,P,1,a,1,a,x1,P,2,X,2,a,x2,a,2,返回,下页,上页,a,x2,a,a,X,V,H, 求新投影的作图方法,a,2,X,1,H,P,1,X,2,P,1,P,2,作图规律,a,2,a,1, X,2,轴,a,2,a,x2,= aa,x1,a,1,a,x,a,x1,.,.,返回,下页,上页,V,H,A,B,a,b,a,b,四、换面法的四个基本问题,1.,把一般位置直线变换成投影面平行线,用,P1,面代替,V,面，在,P1/H,投影体系中，,AB/P1,。,X,1,H,P,1,P1,a,1,b,1,空间分析,：,换,H,面行吗？,不行！,作图：,例：求直线,AB,的实长及与,H,面的夹角。,a,b,a,b,X,V,H,新投影轴的位置？,a,1,b,1,与,ab,平行。,.,返回,下页,上页,a,1,b,1,V,H,a,a,X,B,b,b,A,2.,把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,X,1,H,1,P,1,P,1,P,2,X,2,作图：,X,1,P,1,a,1,b,1,X,2,P,2,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线,。,X,2,轴的位置？,a,2,b,2,a,x2,a,2,b,2,.,与,a,1,b,1,垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,返回,下页,上页,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,a,b,c,a,b,c,d,V,H,A,B,C,D,X,d,3.,把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,P,1,X,1,c,1,b,1,a,1,d,1,空间分析：,在平面内,取一条投影面平行线,，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,两平面垂直需满足什么条件？,能否只进行一次变换？,思考：,若变换,H,面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,返回,下页,上页,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把,三角形,ABC,变,换,成投影面垂直面。,H,P,1,X,1,作 图 过 程：, 在平面内取一条水平,线,AD,。,d,d, 将,AD,变换成新投影,面的垂直线。,d,1,a,1,d,1,c,1,反映平面对哪个投影面的夹角？,.,返回,下页,上页,a,1,b,1,需经几次变换？,一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；,二次换面，再变换成新投影面的平行面。,X,2,P,1,P,2,4.,把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB,是水平线,空间分析：,a,2,c,2,b,2,c,1,X,2,轴,的位置？,平面的实形,.,X,1,H,P,1,.,与其平行,返回,下页,上页,b,1,距离,d,d,1,X,1,H,P,1,X,2,P,1,P,2,c,2,d,例,1,：求点,C,到直线,AB,的距离，并求垂足,D。,c,c,b,a,a,b,X,V,H,五、换面法的应用,如下图：当直线,AB,垂直于投影面时，,CD,平行于投影面，其投影反映实长。,A,P,B,D,C,c,a,b,d,作图,:,求,C,点到直线,AB,的距离，就是求垂线,CD,的实长。,空间及投影分析：,c,1,a,1,a,2,b,2,d,2,过,c,1,作线平行于,x,2,轴。,.,.,.,如何确定,d,1,点的位置？,返回,下页,上页,b,a,a,b,c,d,c,例,2,：已知两交叉直线,AB,和,CD,的公垂线的长度 为,MN,，,且,AB,为水平线，求,CD,及,MN,的投影。,M,N,m,d,a,1,b,1,m,1,n,1,c,1,d,1,n,空间及投影分析：,V,H,X,H,P,1,X,1,圆半径,=MN,n,m,当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m,1,n,1,=MN,且,m,1,n,1,c,1,d,1,。,P,1,A,C,D,N,M,c,1,d,1,a,1,m,1,b,1,n,1,B,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求,m,点是难点。,.,.,返回,下页,上页,空间及投影分析,：,AB,与,CD,都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（,60,），因此需将,AB,与,C,点所确定的平面变换成投影面平行面。,例,3:,过,C,点作直线,CD,与,AB,相交成,60,角。,d,X,1,H,P,1,X,1,P,1,P,2,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,c,2,c,1,a,1,b,1,a,2,d,2,d,b,2,几个解？,两个解！,已知点,C,是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线,AB,上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,60,D,点的投影如何返回？,.,.,返回,下页,上页,P,2,P,1,X,2,H,P,1,X,1,c,d,b,a,d,a,c,b,d,1,c,1,a,1,d,2,b,1,c,2,a,2,b,2,V,H,X,例,4,：求平面,ABC,和,ABD,的两面角。,空间及投影分析,：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。,.,.,返回,下页,上页,小 结,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法,换面法,。,一、 换面法就是,改变投影面的位置,，使它与所给物,体或其几何元素处于,解题所需的特殊位置,。,二、 换面法的关键是要注意,新投影面的选择条件,，,即必须使,新投影面与某一原投面保持垂直关系,，,同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规,律继续有效。,三、,点的变换规律是换面法的作图基础,，四个基本,问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,返回,下页,上页,换面法的四个基本问题：,2.,把一般位置直线变成投影面垂直线,1.,把一般位置直线变成投影面平行线,3.,把一般位置平面变成投影面垂直面,4.,把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,返回,下页,上页,四、解题时一般要注意下面几个问题：, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中,物体与原投影面的相对位置,，并把这些条件,抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元,素,对新投影面应处于什么样的特殊位置,（垂,直或平行），据此选择正确的解题思路与方,法。,在具体作图过程中，要注意新投影与原投影,在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正,确无误地求得结果，又能将结果,返回到原投,影体系中去。,返回,下页,上页,V,W,H,2.5.1,体的投影及三视图,一、体的投影,体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。,返回,下页,上页,二、三面投影与三视图,1.,视图的概念,主视图,(,front view),体的正面投影,俯视图,(,vertical view),体的水平投影,左视图,(,left view),体的侧面投影,2.,三视图之间的度量对应关系,三等关系,主视俯视长相等且对正,主视左视高相等且平齐,俯视左视宽相等且对应,长,高,宽,宽,长对正,宽相等,高平齐,视图就是将物体向投影面投射所得的图形。,返回,下页,上页,3.,三视图之间的方位对应关系,主视图反映：上、下 、左、右,俯视图反映：前、后 、左、右,左视图反映：上、下 、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,返回,下页,上页,2.5.2,基本体的形成及其三视图,常见的基本几何体,平面基本体,曲面基本体,返回,下页,上页,点的可见性规定：,若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,一、平面基本体,1.,棱柱, 棱柱的三视图, 棱柱面上取点,a,a,a,(,b,),b, 棱柱的组成,b,由,两个底面和几个侧棱面,组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，,侧棱线相互平行,。,在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。,返回,下页,上页,( ),s,s,2.,棱锥, 棱锥的三视图, 在棱锥面上取点,k,k,k,b,a,c,a,b,c,a,(,c,),b,s,n,n, 棱锥的组成,n,由,一个底面和几个侧棱面,组成。,侧棱线交于有限远的一点,锥顶,。,同样采用平面上取点法。,棱锥处于图示位置时，其底面,ABC,是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面,SAC,为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平。,返回,下页,上页,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。,二、回转体,1.,圆柱体, 圆柱体的三视图, 轮廓线素线的投影与曲面的,可见性的判断, 圆柱面上取点,a,a,a,圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的,素线,。, 圆柱体的组成,由,圆柱面和两底面,组成。,圆柱面是由直线,AA,1,绕与它平行的轴线,OO,1,旋转而成。,A,1,A,O,O,1,直线,AA,1,称为母线。,利用投影的积聚性,返回,下页,上页,在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,圆锥面是由直线,SA,绕与它相交的轴线,OO,1,旋转而成。,S,称为,锥顶,，,直线,SA,称为母线,。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的,素线,。,O,1,O, 圆锥体的组成,s,s,2.,圆锥体,圆锥体的三视图, 轮廓线素线的投影与,曲面的可见性的判断, 圆锥面上取点,k,辅助直线法,辅助圆法,(,n,),s,n,k,(,n,),k,由,圆锥面和底面,组成。,S,A,如何在圆锥面上作直线？,过锥顶作一条素线。,圆的半径？,返回,下页,上页,三个视图分别为三,个和圆球的直径相等的,圆，它们分别是圆球三,个方向轮廓线的投影。,3.,圆球,圆母线以它的直径为轴旋转而成。, 圆球的三视图, 轮廓线的投影与曲,面可见性的判断,圆球面上取点,k,辅助圆法,k,k, 圆球的形成,圆的半径？,返回,下页,上页,2.6,平面体及回转体的截切,截切：,用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。, 截平面,用以截切物体的平面。, 截交线,截平面与物体表面的交线。, 截断面,因截平面的截切，在物体上形,成的平面。,讨论的问题：截交线的分析和作图 。,返回,下页,上页,2.6.1,平面体的截切,一、平面截切的基本形式, 截交线是一个由直线组成的,封闭的平面多边形,，其,形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切,位置。, 截交线的每条边是,截平面与棱面的交线,。,求,截交线的实质是求两平面的交线,截交线的性质：,返回,下页,上页,二、平面截切体的画图, 求截交线的两种方法：, 求各棱线与截平面的交点,棱线法,。, 求各棱面与截平面的交线,棱面法,。,关键是正确地画出截交线的投影,。,求截交线的步骤：, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对位置,确定截交线,的投影特性,确定截交,线的形状,空间及投影分析, 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,返回,下页,上页,例,1,：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,3,2,1,(4,),1,2,4,3,1,2,4, 空间分析,交线的形状？,3, 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查,尤其注意检查截,交线投影的类似性,截平面与体的几个棱面相交？,截交线在俯、左视图上的形状？,返回,下页,上页,立体,例,1,：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,我们采用的是哪种解题方法？,棱线法！,返回,下页,上页,例,2,：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,1,2,1,(2,),、,两点分别同时位于三个面上。,三面共点：,2,1,注意：,要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。,返回,下页,上页,例,2,：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,返回,下页,上页,例,3:,求八棱柱被平面,P,截切后的俯视图。,P,截交线的形状？,1,5,4,3,2,8,7,6,截交线的投影特性？,2,3,6,7,1,8,4,5,求截交线,1,5,4,7,6,3,2,8,分析棱线的投影,检查截交线的投影,返回,下页,上页,例,3:,求八棱柱被平面,P,截切后的俯视图。,返回,下页,上页,2.6.2,回转体的截切,一、回转体截切的基本形式,截交线的性质：, 截交线是截平面与回转体表面的,共有线,。, 截交线的形状取决于回转体表面的形状及,截平面与回转体轴线的相对位置,。, 截交线都是,封闭的平面图形,。,返回,下页,上页,二、求平面与回转体的截交线的一般步骤,空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线,的相对位置，以便,确定截交线的形状,。, 分析截平面与投影面的相对位置，,明确,截交,线的投影特性,，如积聚性、类似性等。,找出,截交线的,已知,投影，,予见未知,投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可,见性。,先找特殊点，补充中间点,。,返回,下页,上页, 圆柱体的截切,截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置,垂直,圆,椭圆,平行,两平行直线,倾斜,P,V,P,P,V,P,P,V,P,返回,下页,上页,例,1,：求左视图,空间及投影分析,求截交线,分析圆柱体轮廓素线的投影,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,解题步骤：,同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。,返回,下页,上页,例,1,：求左视图,空间及投影分析,求截交线,分析圆柱体轮廓素线的投影,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,解题步骤：,返回,下页,上页,立体,例,2,：求左视图,返回,下页,上页,立体,例,2,：求左视图,返回,下页,上页,例,3,：求俯视图,返回,下页,上页,立体,例,3,：求俯视图,返回,下页,上页,截交线的已知投影？,例,4,：求左视图,找特殊点,补充中间点,光滑连接各点,分析轮廓素线的投影,截交线的侧面投影是什么形状？,截交线的空间形状？,返回,下页,上页,例,4,：求左视图,找特殊点,找中间点,光滑连接各点,分析轮廓素线的投影,返回,下页,上页,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。,45,什么情况下投影为圆呢？,截平面与圆柱轴线成,45,时。,返回,下页,上页,例,5,：求左视图,例,5,：求左视图,虚实分界点,返回,下页,上页, 圆锥体的截切,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,过锥顶,两相交直线,P,V,圆,P,V,= 90,P,V,椭圆,抛物线,P,V,=,双曲线,P,V,= 0,返回,下页,上页,例,:,圆锥被正垂面截切，求,截交线，并完成三视图。,截交线的空间形状？,截交线的投影特性？,找特殊点,如何找椭圆另一根轴的端点？,补充中间点,光滑连接各点,分析轮廓线的,投影,返回,下页,上页,例,:,圆锥被正垂面截切，求,截交线，并完成三视图。,返回,下页,上页, 球体的截切,平面与圆球相交，,截交线的形状都是圆,，但根据截平面与投影面的相对位置不同，,其,截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线,。,返回,下页,上页,例：求半球体截切后的俯视图和左视图。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,返回,下页,上页,例：求半球体截切后的俯视图和左视图。,返回,下页,上页, 复合回转体的截切,首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，,然后,分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,例：求作顶尖的俯视图,返回,下页,上页,小 结,一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成,的封闭的平面多边形，多边形的边是,截平,面与棱面的交线,。,求截交线的方法：,棱线法 棱面法,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截,平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的,共有线,。,返回,下页,上页,当截交线的投影为非圆曲线时，,要,先找特殊点，再补充中间点,，最后光滑连接各点。,注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。, 分析截平面与被截立体对投影面的相对,位置，以,确定截交线的投影特性,。, 求截交线,三、解题方法与步骤, 空间及投影分析, 分析截平面与被截立体的相对位置，以,确定截交线的形状,。,返回,下页,上页, 当单体被多个截平面截切时，要,逐个,截,平面,进行截交线的分析与作图,。当只有,局部被截切,时，先,按整体被截切求出截,交线,，然后,再取局部,。, 求,复合回转体,的截交线，应首先分析复,合回转体由哪些基本回转体组成以及它,们的连接关系，然后,分别求出,这些,基本,回转体的截交线,，并依,次将其连接,。,返回,下页,上页,平面体与回转体相贯,回转体与回转体相贯,多体相贯,2.7.1,概 述,1.,相贯的形式,两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做,相贯线,。,本章主要讨论常用不同立体相交时其,表面相贯线的投影特性及画法。,返回,下页,上页,2.,相贯线的主要性质,其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干,共有点,的投影。, 共有性, 表面性,相贯线位于两立体的表面上。,相贯线是,两立体表面的共有线,。, 封闭性,相贯线一般是,封闭的空间折线,（通常由直线和曲线组成）,或空间曲线,。,返回,下页,上页,1.,相贯线的性质,相贯线是,由若干段平面曲线（或直线）所组成的,空间折线,，,每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线,。,2.7.2,平面体与回转体相贯,2.,作图方法, 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确,定交线的形状。, 求出各棱面与回转体表面的截交线。, 连接各段交线，并判断可见性。,求交线的实质是,求各棱面与回转面的截交线,。,返回,下页,上页,例,1,：,补全主视图,空间分析：,四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。,投影分析：,由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。,返回,下页,上页,例,1,：,补全主视图,返回,下页,上页,例,2,：求作主视图,返回,下页,上页,例,2,：求作主视图,返回,下页,上页,1.,相贯线的性质,相贯线一般为,光滑封闭的空间曲线,，,它是两回转体表面的共有线,。,2.7.3,回转体与回转体相贯,2.,作图方法,利用投影的积聚性直接找点,。, 用辅助平面法。, 先找特殊点。, 作图过程, 补充中间点。,确定交线的,弯曲趋势,确定交线,的范围,返回,下页,上页,例,1,：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。,空间及投影分析：,小圆柱轴线
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