抽样与抽样分布(5)

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 抽样及抽样组织形式,第二节 常见的概率分布,第三节 抽样分布,第5章,抽样和抽样分布,1,第5章 抽样和抽样分布,STAT,本章重点,1、简单随机抽样,2、 的抽样分布,3、 的抽样分布,4、其他组织形式的抽样,本章难点,1、抽样分布原理,2、中心极限定理,2,指样本单位的抽取不受主观因素及其他系统性因素的影响，每个总体单位都有均等的被抽中机会,抽样推断,按照,随机原则,从全部研究对象中抽取一部分单位进行调查，并以调查结果对总体数量特征作出具有一定可靠程度的估计与推断，从而认识总体的一种统计方法。,3,不可能,进行全面调查时,不必要,进行全面调查时,来不及,进行全面调查时,对全面调查资料进行,补充修正,时,抽样推断的应用,4,第一节 抽样及抽样组织形式,一、抽样的几个基本概念,（一）全及总体和样本总体,（二）总体参数和样本统计量,（三）重置抽样与不重置抽样,二、抽样组织形式,（一）简单随机抽样,（二）分层随机抽样,（三）整群抽样,（四）等距抽样,（五）多阶段抽样,STAT,5,一、抽样的几个基本概念,（一）全及总体和样本总体,STAT,全及总体,样本总体,又称总体或母体，是统计抽样中所要了解的研究对象整体。具有唯一性。,又称样本或子样，是指在统计抽样中按照“等机会原则”从全及总体中抽出的部分单位。样本不具唯一性。,例如：,在100万户居民中，随机抽取1000户居民进行家庭收支情况调查，其中的100万户居民就是全及总体，而被抽中的1000户居民则构成样本总体。,n30,称为大样本,n30,称为小样本.,n/N,称为抽样比.,6,（二）总体参数和样本统计量,根据全及总体各单位变量值计算的反映全及总体某数量特征的综合指标，由于全及总体唯一确定，故称总体参数。,根据样本总体各单位变量值计算的反映样本总体某数量特征的综合指标，由于样本总体不具唯一性，故称为样本统计量，它是一个随机变量。,STAT,7,总体参数和样本统计量符号,STAT,8,统计推断,全及总体,参数（未知量）,样本总体,统计量（已知量,）,抽样推断,STAT,9,（三）重置抽样与不重置抽样,STAT,重置抽样,又被称作重复抽样、放回抽样,抽出,个体,登记,特征,放回,总体,继续,抽取,特点,同一总体单位有可能被重复抽中，而且每次抽取都是独立进行。,10,（三）重置抽样与不重置抽样,STAT,不重置抽样,又被称作不重复抽样、不放回抽样,抽出,个体,登记,特征,继续,抽取,特点,总体单位数减少，同一单位只可能被抽中一次。在连续抽取时，每次抽取都不是独立进行。,是最为常用的抽样方法，用于无限总,体和许多有限总体样本单位的抽样。,11,二、抽样组织形式,STAT,（一）简单随机抽样（单纯随机抽样）,对总体单位逐一编号，然后按随机原则直接从总体中抽出若干单位构成样本,应用,仅适用于规模不大、内部各单位标志值差异较小的总体,是最简单、最基本、最符合随机原则,12,随机原则的实现,抽签法,是将总体中每个单位的,编号,写在外形完全一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽选，签上的号码所对应的单位就是样本单位。,随机数表法,将总体中每个单位,编上号码,，然后使用随机数表，查出所要抽取的调查单位。,计算机模拟法,是将随机数字编制为程序存储在,计算机,中，需要时将总体中各单位编上号码，启用,随机数字发生器,输出随机数字，然后从总体中找到相应总体单位形成样本。,13,随机数字表,14,二、抽样组织形式,STAT,（二）分层随机抽样（类型抽样）,将总体全部单位分类，形成若干个类型组，然后从各类型中分别抽取样本单位组成样本,总体,N,样本,n,等额抽取,等比例抽取,能使样本结构更接近于总体结构，提高样本的代表性；能同时推断总体指标和各子总体的指标,15,二、抽样组织形式,STAT,（三）整群抽样（集团抽样）, 将总体全部单位分为若干“群”，然后随机抽取一部分“群”，被抽中群体的所有单位构成样本,例：总体群数R=16 样本群数r=4,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,L,H,P,D,样本容量,简单、方便，能节省人力、物力、财,力和时间，但其样本代表性可能较差,16,二、抽样组织形式,STAT,（四）等距抽样（机械抽样或系统抽样）,将总体单位按某一标志排序，而后按一定的间隔抽取样本单位。,随机起点,半距起点,对称起点,（总体单位按某一标志排序）,按无关标志排队，其抽样效果相当于,简单随机抽样,；按有关标志排队，其抽样效果相当于,类型抽样,。,17,二、抽样组织形式,STAT,（五）多阶段抽样, 指分两个或两个以上的阶段来完成抽取样本单位的过程,例：在某省100多万农户抽取1000户调查农户生产性投资情况。,第一阶段：从该省所有县中抽取5个县,第二阶段：从被抽中的5个县中各抽4个乡,第三阶段：从被抽中的20个乡中各抽5个村,第四阶段：从被抽中的100个村中各抽10户,样本n=10010=1000(户),18,第二节 常见的概率分布,一、正态分布,二、二项分布,三、,t,分布,四、卡方分布,五、,F,分布,STAT,19,一、正态分布,（一）正态分布的定义及其特征,STAT,x,f,(,x,),f,(,x,) =,随机变量,X,的概率分布密度函数,=,总体均值,=,总体方差,=3.1416; e = 2.7183,20,正态分布的特征,概率密度函数在,x,的上方，即,f,(,x,)0,。,正态曲线的最高点在均值,，它也是分布的中位数和众数。,正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值,的标准差,来区分。,曲线,f,(,x,),相对于均值,对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交。,正态曲线下的总面积等于,1,。,随机变量的概率由曲线下的面积给出。,STAT,21,和 对,正态曲线的影响,x,f,(,x,),C,A,B,22,正态分布的概率,a,b,x,f,(,x,),概率是曲线下的面积!,23,（二）标准正态分布,标准正态分布的概率密度函数,标准正态分布的分布函数,STAT,24,（二）标准正态分布,STAT,x,m,s,一般正态分布,=1,Z,标准正态分布, ,25,（三）正态分布的概率计算,计算概率时,，查标准正态概率分布表,对于负的,x,，可由,(-,x,),x,得到,对于标准正态分布，即,X,N,(0,1),，有,P,(,a, X ,b,),b, ,a,P,(|X| ,a,) 2,a, 1,对于一般正态分布，即,X,N,(, ),，有,STAT,26,【例】设,X,N,(0，1)，求以下概率：,(1),P,(,X,2)； (3),P,(-1,X,3) ； (4),P,(|,X,|,2),解,：(1),P,(,X,2)=1-,P,(2,X,)=1-0.9973=0.0227,(3),P,(-1,X,3)=,P,(,X,3)-,P,(,X,-1),=,(3)-,(-1)=,(3) 1-,(1),= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354,(4),P,(|,X,|,2) =,P,(-2,X,|,2)=,(2)-,(-2),=,(2)- 1-,(2)=2,(2)- 1=0.9545,27,【例】设,X,N,(5，3,2,)，求以下概率,(1),P,(,X,10) ； (2),P,(2,X,2,当,n,充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.,t,分布的密度函数关于,x,=0对称，且,31,32,不难看到，当,n,充分大时，,t,分布近似,N,(0,1)分布. 但对于较小的,n,，,t,分布与,N,(0,1)分布相差很大.,33,四、卡方分布,STAT,记为,定义: 设 相互独立, 都服从正态,分布,N,(0,1), 则称随机变量：,所服从的分布为自由度为,n,的 分布,.,分布是由正态分布派生出来的一种分布,34,2,分布的特点,分布的变量值始终为正,分布的形状取决于其自由度,n,的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称,期望为：,E(,2,)=n,，方差为：,D(,2,)=2n,(,n,为自由度,),可加性：若,U,和,V,为两个独立的,2,分布随机变量，,U,2,(n,1,),，,V,2,(,n,2,),则,U,+,V,这一随机变量服从自由度为,n,1,+,n,2,的,2,分布,STAT,35,c,2,分布,选择容量为,n,的,简单随机样本,计算样本方差,S,2,计算卡方值,2,= (,n,-1),S,2,/,2,计算出所有的,2,值,不同容量样本的抽样分布,c,2,n,=1,n,=4,n,=10,n,=20,m,s,总体,36,由 分布的定义，不难得到：,1.,设 相互独立, 都服从正态分布,则,2. 设 且,X,1,X,2,相互,独立，则,这个性质叫 分布的可加性.,37,应用中心极限定理可得，若,，则当,n,充分大时，,若,的分布近似正态分布,N,(0,1).,则,可以求得，,E,(,X,)=,n,D,(,X,)=2,n,若,38,由统计学家费舍,(,R.A.Fisher,),提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则,设若,U,为服从自由度为,n,1,的,2,分布，即,U,2,(n,1,),，,V,为服从自由度为,n,2,的,2,分布，即,V,2,(,n,2,),且,U,和,V,相互独立，则,称,F,为服从自由度,n,1,和,n,2,的,F,分布，记为,五、F分布,STAT,39,F,分布,不同自由度的,F,分布,F,(1,10),(5,10),(10,10),40,即它的数学期望并不依赖于第一自由度,n,1.,X,的数学期望为:,若,n,2,2,若,X,F,(,n,1,n,2,)，,X,的概率密度为,41,42,第三节 抽样分布,一、抽样推断的理论基础,二、单一总体样本均值、样本比例的抽样分布,三、两个总体均值之差、比例之差的抽样分布,STAT,43,一、抽样推断的理论基础,大数定律（大数法则）,如果随机变量总体存在着有限的平均数和方差，则对于充分大的抽样单位数n，可以以几乎趋近于1的概率，使抽样平均数与总体平均数的绝对离差的期望为任意小，即对于任意的正数有：,STAT,44,【例】,设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数,N,=4。4 个个体分别为,X,1,=1、,X,2,=2、,X,3,=3 、,X,4,=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,45,现从总体中抽取,n,2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有4,2,=16个样本。所有样本的结果如下表,3,4,3,3,3,2,3,1,3,2,4,2,3,2,2,2,1,2,4,4,4,3,4,2,4,1,4,1,4,4,1,3,3,2,1,1,2,1,1,1,第二个观察值,第一个,观察值,所有可能的,n,= 2 的样本（共16个）,46,计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,3.5,3.0,2.5,2.0,3,3.0,2.5,2.0,1.5,2,4.0,3.5,3.0,2.5,4,2.5,4,2.0,3,2,1,1.5,1.0,1,第二个观察值,第一个,观察值,16个样本的均值（,x,）,样本均值的抽样分布,1.0,0,.1,.2,.3,P,(,x,),1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,x,47,所有样本均值的均值和方差,式中：,M,为样本数目,比较及结论,：,1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值,2. 样本均值的方差等于总体方差的1/,n,48,样本均值的分布与总体分布的比较,抽样分布,= 2.5,2,=1.25,总体分布,1,4,2,3,0,.1,.2,.3,P,(,x,),1.0,0,.1,.2,.3,1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,x,49,中心极限定理,定理：设X是具有期望值为 ，方差为 的任意总体，则样本平均数的抽样分布，将随着n的增大而趋于正态分布，分布形式（参数）为,STAT,50,中心极限定理,当样本容量足够大时(,n,30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布,中心极限定理：设从均值为,，方差为,2,的一个任意总体中抽取容量为,n,的样本，当,n,充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为,、方差为,2,/,n,的正态分布,一个任意分布的总体,X,51,52,二、单一总体样本均值、样本比例的抽样分布,STAT,样本抽样分布,原总体分布,53,样本均值的数学期望,样本均值的方差,重复抽样,不重复抽样,样本均值的抽样分布,STAT,54,样本比例的数学期望,样本比例的方差,重复抽样,不重复抽样,样本比例的抽样分布,STAT,55,例3：假定某统计人员在填写的报表中有2%至少会,有一处错误，如果我们检查了一个有600份报表组,成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所组,成的比例在0.0250.070之间的概率有多大？,56,三、两个总体均值之差、比例之差的抽样分布,57,两个总体都为正态分布，即,两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差,方差为各自的方差之和,两个总体均值之差的抽样分布,STAT,58,两个总体均值之差的抽样分布,m,1,s,1,总体1,s,2,m,2,总体2,抽取简单随机样样本容量 n,1,计算X,1,抽取简单随机样样本容量 n,2,计算X,2,计算每一对样本,的X,1,-X,2,所有可能样本,的X,1,-X,2,m,1-,m,2,抽样分布,STAT,59,例1。设有甲、乙两所著名高校在某年新生录取时，甲,校的平均分为655分，且服从正态分布，标准差为20分，,乙校的平均分为625分，也服从正态分布，标准差为25,分。现从甲、乙两校随机抽取8名新生计算其平均分，,出现甲校比乙校的平均分低的可能性有多大？,这表明出现甲校平均分比乙校低可能性很小，不到1%,60,分别从两个总体中抽取容量为,n,1,和,n,2,的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似,分布的数学期望为,方差为各自的方差之和,两个总体比例之差的抽样分布,STAT,61,