回归分析与matlab实现

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学建模与数学实验,回归分析,2024/9/20,1,实验目的,实验内容,2,、掌握用数学软件求解回归分析问题。,1,、直观了解回归分析基本内容。,1,、,回归分析的基本理论,。,3,、,实验作业。,2,、,用数学软件求解回归分析问题。,2,一元线性回归,多元线性回归,回归分析,数学模型及定义,*,模型参数估计,*,检验、预测与控制,可线性化的一元非线,性回归（曲线回归,）,数学模型及定义,*,模型参数估计,*,多元线性回归中的,检验与预测,逐步回归分析,2024/9/20,3,一、数学模型,例,1,测,16,名成年女子的身高与腿长所得数据如下：,以身高,x,为横坐标，以腿长,y,为纵坐标将这些数据点（,x,I,，,y,i,）在平面直角坐标系上标出,.,散点图,解答,2024/9/20,4,一元线性回归分析的,主要任务,是：,返回,2024/9/20,5,二、模型参数估计,1,、回归系数的最小二乘估计,2024/9/20,6,2024/9/20,7,返回,2024/9/20,8,三、检验、预测与控制,1,、回归方程的显著性检验,2024/9/20,9,（,）,F,检验法,（,）,t,检验法,2024/9/20,10,（,）,r,检验法,2024/9/20,11,2,、回归系数的置信区间,2024/9/20,12,3,、预测与控制,（,1,）预测,2024/9/20,13,（,2,）控制,返回,2024/9/20,14,四、可线性化的一元非线性回归,（曲线回归）,例,2,出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，,容积不断增大,.,我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关,系,.,对一钢包作试验，测得的数据列于下表：,解答,2024/9/20,15,散,点,图,此即,非线性回归,或,曲线回归,问题,（,需要配曲线,）,配曲线的一般方法是：,2024/9/20,16,通常选择的六类曲线如下：,返回,2024/9/20,17,一、数学模型及定义,返回,2024/9/20,18,二、模型参数估计,2024/9/20,19,返回,2024/9/20,20,三、多元线性回归中的检验与预测,（,）,F,检验法,（,）,r,检验法,(,残差平方和）,2024/9/20,21,2,、预测,（,1,）点预测,（,2,）区间预测,返回,2024/9/20,22,四、逐步回归分析,（,4,）“有进有出”的逐步回归分析。,（,1,）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；,（,2,）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；,（,3,）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；,选择“最优”的回归方程有以下几种方法：,“,最优”的回归方程,就是包含所有对,Y,有影响的变量,而不包含对,Y,影响不显著的变量回归方程。,以第四种方法，即,逐步回归分析法,在筛选变量方面较为理想,.,2024/9/20,23,这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。,逐步回归分析法,的思想：,从一个自变量开始，视自变量,Y,作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程。,当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。,引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。,对于每一步都要进行,Y,值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对,Y,作用显著的变量。,返回,2024/9/20,24,统计工具箱中的回归分析命令,1,、多元线性回归,2,、多项式回归,3,、非线性回归,4,、逐步回归,返回,2024/9/20,25,多元线性回归,b=regress( Y, X ),1,、,确定回归系数的点估计值：,2024/9/20,26,3,、,画出残差及其置信区间：,rcoplot,（,r,，,rint,）,2,、,求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：,b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),回归系数的区间估计,残差,用于检验回归模型的统计量，,有三个数值：相关系数,r,2,、,F,值、与,F,对应的概率,p,置信区间,显著性水平,（缺省时为,0.05,）,2024/9/20,27,例,1,解：,1,、,输入数据：,x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159,160 162 164;,X=ones(16,1) x;,Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;,2,、,回归分析及检验：,b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X),b,bint,stats,To,MATLAB(liti11),题目,2024/9/20,28,3,、残差分析，作残差图：,rcoplot(r,rint),从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型,y=-16.073+0.7194x,能较好的符合原始数据，而第二个,数据可视为异常点,.,4,、预测及作图：,z=b(1)+b(2)*x,plot(x,Y,k+,x,z,r),返回,To,MATLAB(liti12),2024/9/20,29,多 项 式 回 归,（一）一元多项式回归,（,1,）,确定多项式系数的命令：,p,，,S=polyfit,（,x,，,y,，,m,）,（,2,）,一元多项式回归命令：,polytool,（,x,，,y,，,m,）,1,、回归：,y=a,1,x,m,+a,2,x,m-1,+a,m,x+a,m+1,2,、预测和预测误差估计：,（,1,）,Y=polyval,（,p,，,x,）求,polyfit,所得的回归多项式在,x,处 的预,测值,Y,；,（,2,）,Y,，,DELTA=polyconf,（,p,，,x,，,S,，,alpha,）求,polyfit,所得,的回归多项式在,x,处的预测值,Y,及预测值的显著性为,1-,alpha,的置信区间,Y DELTA,；,alpha,缺省时为,0.5.,2024/9/20,30,法一,直接作二次多项式回归：,t=1/30:1/30:14/30;,s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90,85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;,p,S=polyfit(t,s,2),To,MATLAB,（,liti21,）,得回归模型为 ：,2024/9/20,31,法二,化为多元线性回归：,t=1/30:1/30:14/30;,s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90,85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;,T=ones(14,1) t (t.2);,b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);,b,stats,To,MATLAB(liti22),得回归模型为 ：,Y=polyconf(p,t,S),plot(t,s,k+,t,Y,r),预测及作图,To,MATLAB(liti23),2024/9/20,32,（二）多元二项式回归,命令：,rstool,（,x,，,y,，,model, alpha,）,n,m,矩阵,显著性水平,（缺省时为,0.05,）,n,维列向量,2024/9/20,33,例,3,设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数,据如下，建立回归模型，预测平均收入为,1000,、价格为,6,时,的商品需求量,.,法一,直接用多元二项式回归：,x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;,x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;,y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;,x=x1 x2;,rstool(x,y,purequadratic),2024/9/20,34,在画面左下方的下拉式菜单中选”,all”,则,beta,、,rmse,和,residuals,都传送到,Matlab,工作区中,.,在左边图形下方的方框中输入,1000,，右边图形下方的方框中输入,6,。,则画面左边的“,Predicted Y”,下方的数据变为,88.47981,，即预测出平均收入为,1000,、价格为,6,时的商品需求量为,88.4791.,2024/9/20,35,在,Matlab,工作区中输入命令：,beta, rmse,To,MATLAB(liti31),2024/9/20,36,结果为,: b =,110.5313,0.1464,-26.5709,-0.0001,1.8475,stats =,0.9702 40.6656 0.0005,法二,To,MATLAB(liti32),返回,将,化为多元线性回归：,2024/9/20,37,非线性回 归,（,1,）,确定回归系数的命令：,beta,，,r,，,J=nlinfit,（,x,，,y,，,model, beta0,）,（,2,）,非线性回归命令：,nlintool,（,x,，,y,，,model, beta0,，,alpha,）,1,、回归：,残差,Jacobian,矩阵,回归系数的初值,是事先用,m-,文件定义的非线性函数,估计出的回归系数,输入数据,x,、,y,分别为,矩阵和,n,维列向量，对一元非线性回归，,x,为,n,维列向量。,2,、预测和预测误差估计：,Y,，,DELTA=nlpredci,（,model, x,，,beta,，,r,，,J,）,求,nlinfit,或,nlintool,所得的回归函数在,x,处的预测值,Y,及预测值的显著性为,1-alpha,的置信区间,Y DELTA.,2024/9/20,38,例,4,对第一节例,2,，求解如下：,2,、输入数据：,x=2:16;,y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60,10.90 10.76;,beta0=8 2;,3,、,求回归系数：,beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0),；,beta,得结果：,beta =,11.6036,-1.0641,即得回归模型为：,To,MATLAB(liti41),题目,2024/9/20,39,4,、预测及作图：,YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J),；,plot(x,y,k+,x,YY,r),To,MATLAB(liti42),2024/9/20,40,例,5,财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。,下表列出了,1952-1981,年的原始数据,，试构造预测模型。,解,设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,、,x,5,、,x,6,，财政收入为,y,，设变量之间的关系为：,y= ax,1,+bx,2,+cx,3,+dx,4,+ex,5,+fx,6,使用非线性回归方法求解。,2024/9/20,41,1,对回归模型建立,M,文件,model.m,如下,:,function yy=model(beta0,X),a=beta0(1);,b=beta0(2);,c=beta0(3);,d=beta0(4);,e=beta0(5);,f=beta0(6);,x1=X(:,1);,x2=X(:,2);,x3=X(:,3);,x4=X(:,4);,x5=X(:,5);,x6=X(:,6);,yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;,2024/9/20,42,2.,主程序,liti6.m,如下,:,X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00,.,2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;,y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 .,271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 .,564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 .,890.00 826.00 810.0;,beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;,betafit = nlinfit(X,y,model,beta0),To,MATLAB(liti6,）,2024/9/20,43,betafit =,0.5243,-0.0294,-0.6304,0.0112,-0.0230,0.3658,即,y= 0.5243x,1,-0.0294x,2,-0.6304x,3,+0.0112x,4,-0.0230x,5,+0.3658x,6,结果为,:,返 回,2024/9/20,44,逐 步 回 归,逐步回归的命令是：,stepwise,（,x,，,y,，,inmodel,，,alpha,）,运行,stepwise,命令时产生三个图形窗口：,Stepwise Plot,，,Stepwise Table,，,Stepwise History.,在,Stepwise Plot,窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间,.,Stepwise Table,窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（,RMSE,）、相关系数（,R-square,）、,F,值、与,F,对应的概率,P.,矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）,显著性水平（缺省时为,0.5,）,自变量数据,阶矩阵,因变量数据，,阶矩阵,2024/9/20,45,例,6,水泥凝固时放出的热量,y,与水泥中,4,种化学成分,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模,型,.,1,、数据输入：,x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;,x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;,x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;,x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;,y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3,109.4;,x=x1 x2 x3 x4;,2024/9/20,46,2,、逐步回归：,（,1,）先在初始模型中取全部自变量：,stepwise(x,y),得图,Stepwise Plot,和表,Stepwise Table,图,Stepwise Plot,中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好,从表,Stepwise Table,中看出变量,x,3,和,x,4,的显著性最差,.,2024/9/20,47,（,2,）在图,Stepwise Plot,中点击直线,3,和直线,4,，移去变量,x,3,和,x,4,移去变量,x,3,和,x,4,后模型具有显著性,.,虽然剩余标准差（,RMSE,）没有太大的变化，但是统计量,F,的,值明显增大，因此新的回归模型更好,.,To,MATLAB(liti51,）,2024/9/20,48,（,3,）对变量,y,和,x,1,、,x,2,作线性回归：,X=ones(13,1) x1 x2;,b=regress(y,X),得结果：,b =,52.5773,1.4683,0.6623,故最终模型为：,y=52.5773+1.4683x,1,+0.6623x,2,To,MATLAB(liti52,）,返回,2024/9/20,49,作 业,1,、考察温度,x,对产量,y,的影响，测得下列,10,组数据：,求,y,关于,x,的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测,x=42,时产量的估值及预测区间（置信度,95%,）,.,2,、某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标,x,i,处测得纵坐标,y,i,共,11,对数据如下：,求这段曲线的纵坐标,y,关于横坐标,x,的二次多项式回归方程,.,2024/9/20,50,2024/9/20,51,4,、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成,12,个试块，记录了养护日期,x,（日）及抗压强度,y,（,kg/cm,2,）的数据：,2024/9/20,52,谢谢大家,53,