排列组合公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,排列组合公式,排列组合公式,非降路径问题,组合恒等式,排列与组合,从五个候选人中,选出,两个代表,把,5,本不同的书,安排,在书架上,从五个候选人中选出两个代表时，有,10,种可能的结果。,把,5,本不同的书安排在书架上有,120,种方法,选出,-,组合；安排,-,排列,一、,排列,组合,公式,排列问题：从某个集合中,有序,地选取若干个元素的问题,组合问题：从某个集合中,无序,地选取若干个元素的问题,注意：可以重复 不能重复,排列,无重排列,可重排列,从,1,2,9,中选取数字构成四位数，使得每位数字都不同，有多少个？,从,1,2,9,中选取数字构成四位数，使得不同数位上的数字可以相同，有多少个？,1,、 无重排列,n,个元素的,r-,无重排列,数：,排列的长度,r,计算（一般情形）：乘法原理,r=n,时,n,个元素的全排列,r=0,时,rn,时,2,、可重排列,n,个元素的,r-,可重排列,数,计算（乘法原理）,例题,在,1,和,10,000,000,000,之间的一百亿个数中，有多少个数含有数码,1,？又有多少个数不含数码,1,？,不含,1:9,10,含,1:10,10,-9,10,+1,例题,一个二元序列是由一些,0,和,1,所组成的序列。,n,码二元序列指该序列中数码的个数为,n,。试问，含有偶数个,0,的,n,码二元序列的个数是多少？,2,n-1,考虑,n,码四元序列，即以,0,1,2,和,3,为其数码的序列。则含,0,和,1,的总个数为偶数的序列有多少个？,4,n,/2,例题,求,n,码四元序列中含有偶数个,0,的个数？,放球问题,设,nr,，把,r,个不同的球放入,n,个不同的盒子，这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放球的方法数为多少？,第一个球有,n,种选法，第二个球有,n-1,种，等等，乘法原理,P(n,r,),放球问题,把,r,个不同的球放入,n,个不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法数为多少？,第一个球有,n,种选法，第二个球有,n,种，等等，乘法原理,n,r,这里,n,和,r,的大小没有限制,例子,将,3,封信向,2,个信箱投寄，有多少种投寄方法？,2,3,=8,无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序,放球问题,把,r,个不同的球放入,n,个不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。考虑每个盒子中球的次序。放球的方法数为多少？,有序占位模型,有,n,种方法放第一个球，第一个球放入一个盒后，可以把这个球当成是一个添加的隔板，它把该盒分成两个盒，因此放第二个球有,n+1,种方法。等等,n(n+1)(n+2),(n+r-1)=,n,r,F(n,r)r,!,例子,某车站有,6,个进站口，今有,9,人进站，有多少种不同的进站方法？,6,9,=67,14,七部汽车通过五间收费亭的方式数？,今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？,放球问题,另解：把这样一个方法设想为,r,个不同的球和,n-1,个相同的盒间板的一个有序安排。,组合,无重组合,可重组合,从,a,b,c,中选取,2,个不同元素，选法数是多少？,从,a,b,c,中选取,5,个元素，元素可以相同，选法数是多少？,3,、无重组合（,Combination,）,n,个元素的,r-,无重组合,数,无重组合数与无重排列数的关系,计算,r=0,时,r=n,时,rn,时,组合数的推广,几个记号,下阶乘函数,上阶乘函数,计算,例题,如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成多少条线段？,多边形,例题,对角线的条数为,C(10,2)-10=45-10=35,任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边形外）,任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成两段,每个对角线是一段,35+C(10,4) 2=455,例题,C(5,2)-5+C(5,4) 2=15,C(10,2)-10+C(10,4) 2=455,C(4,2)-4+C(4,4) 2=4,4,、可重组合,n,个元素的,r-,可重组合,例子,计算,一一对应的思想,推论,方程,x,1,+x,2,+,x,n,=r,的非负整数解的个数。,n,r,时，此方程的正整数解的个数,n,元集合的,r-,可重组合数，要求每个元素至少出现一次。,正整数,r,的,n-,长有序分拆的个数,求,x,1,+x,2,+x,3,+x,4,=20,的整数解的数目，其中,x,1,3, x,2,1,x,3,0,x,4,5,。,例题,从为数众多的一分币、二分币、一角币和二角币中，可以有多少种方法选出六枚来？,F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84,例题,某糕点厂将,8,种糕点装盒，若每盒有一打糕点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？,某糕点厂将,8,种糕点装盒，若每盒有一打糕点，且要求每种糕点至少放一块。求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？,例题,摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多少？,6,3,=216,。,如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数是多少？,从,1,2,3,4,5,6,这六个数中允许重复地选出三个数。,F(6,3)=C(6+3-1,3)=56,将,r,个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？,F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5),有约束条件的排列：引例,用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？,5,、有约束条件的排列,设有,k,个元素,a,1,，,a,2,，,，,a,k,，由它们组成一个,n-,长的排列，其中对,1,i,k,，,a,i,出现的次数为,n,i,，,n,1,+n,2,+,+,n,k,=n,，求排列的总数。,求解方法,1,求解方法,2,例题,五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方式？,如果只用这十三个短划和点中的七个，则有多少种不同的方式？,例题,证明对任意正整数,k,(k,!)!,能被,(k!),(k-1)!,整除。,提示：,k!,个物体，其中,k,个物体属于第一类，,k,个物体属于第二类，,，,k,个物体属于第,(k-1)!,类。,推论,多项式,(x,1,+x,2,+,+,x,n,),r,的展开式中有,项，其中项 的系数为,。,例题,数,1400,有多少个正因数？,1400=2,3,5,2,7,(3+1)(2+1)(1+1)=24,放球问题,设,nr,，把,r,个相同的球放入,n,个不同的盒子使得每盒至多装一个球，方法数？,选盒子即可,C(n,r,),放球问题,把,r,个相同的球放入,n,个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？,放这,r,个球，等价于从,n,个盒中选出,r,个来装这,r,个球而允许诸盒重复选取。,F(n,r,)=C(n+r-1,r),放球问题,把,r,个相同的球放入,n,个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？,另解：把分配这,r,个球入,n,个盒子设想为这,r,个球和,n-1,个隔板的一个排列。球是相同的，隔板也是相同的。,C(n+r-1,r),放球问题,设,r n,，把,r,个相同的球放入,n,个不同的盒子中，盒子中可以放入任意多个球，但不允许空盒，方法数？,现在每个盒中放入一个球，再放剩下的,r-n,个球,C(r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1),放球问题,设,r n,，把,r,个相同的球放入,n,个不同的盒子中，要求每一盒至少包含,q,个球，方法数？,现在每个盒中放入,q,个球，再放剩下的,r-qn,个球,C(r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)= C(n-nq+r-1,n-1),放球问题：例题,今有五封不同的信要经由一个讯道传送。又有总共,15,个空白要插在这些信之间而使得每两封信之间至少有三个空白。有多少种方法安排这些信和空白？,信的安排,5,！,对一种信的安排，有,4,个信件位置，安排,15,个空白，要求每个信件位置至少有三个空白。,5,！,C(4-4 3+15-1,4-1)=5!C(6,3),放球问题,有,n,个球，其中第一种颜色,n,1,个，第二种颜色,n,2,个，,，第,k,种颜色,n,k,个。将这,n,个球放入,n,个不同的盒中，每一个盒装一个球。问分配方案数？,等价于这,n,个球的排列数。,另解：选盒子装每种颜色的球。,放球问题,有,r,个球，其中第一种颜色,n,1,个，第二种颜色,n,2,个，,，第,k,种颜色,n,k,个。将这,r,个球放入,n,个不同的盒中，每一个盒装一个球（,rn,）。问分配方案数？,方法一：先选盒子，再分配球。,方法二：针对每种颜色的球选盒子。,多重集合,通常的“集合”具有无重性。,在多重集中，同一个元素可以出现多次。,1,2,3,是一个集合，而,1,1,1,2,2,3,不是一个集合，而是一个多重集，简记为,31,22,13,。,计算多重集的势时，出现多次的元素则需要按出现的次数计算。上面多重集的势为,6,。,可重组合与可重排列可以看作是多重集的组合与排列问题。,可重排列与可重组合,n,个元素,a,1,a,2,a,n,的,r-,无重组合,(,排列,),可以看做多重集,1a,1, 1 a,2, 1 a,n,的,r-,组合,(,排列,),。,n,个元素,a,1,a,2,a,n,的,r-,可重组合,(,排列,),可以看做多重集,a,1, a,2, a,n,的,r-,组合,(,排列,),。,有限制的排列问题可以看做多重集,n,1,a,1, n,2, a,2,n,k,a,k,的全排列。,分组与分堆,区分：固定分组,将,12,本,(,不同的,),书平均分给,A,B,C,D,四个学生，每人三本，有多少种分法？,将,12,本书分给四个学生，使得,A,B,各得四本，,C,D,各得,2,本，有多少种分法？,将,12,本书分给四个学生，,A,得,5,本，,B,得,4,本，,C,得,2,本，,D,得,1,本，有多少种分法？,区分：分堆,将,12,本书平均分成四堆有多少种分法？,将,12,本书分成四堆，有两堆各,4,本，另外两堆各,2,本，有多少种分法？,将,12,本书分成四堆，其本数分别为,5,4,2,1,，有多少种分法？,区分：不固定分组,将,12,本书平均分给,A,B,C,D,四个学生，使得每人各得三本，有多少种分法？,将,12,本书分给,A,B,C,D,四个学生，使得有两个学生各得,4,本，有两个学生各得,2,本，有多少种分法？,将,12,本书分给,A,B,C,D,四个学生，使得有,1,人得,5,本，有一人得,4,本，有,1,人得两本，有,1,人得,1,本，有多少种分法？,分组与分堆,固定分组：,无序分组：分堆,不定分组,固定分组与分堆的区别是讲不讲组间的次序，只在各组元素个数相等时有区别,固定分组与不定分组的区别是每个组的元素个数是不是确定，只在各组元素个数不等时才有区别。,区分（一）,将,12,本书分给四个学生，使得,A,B,各得四本，,C,D,各得,2,本，有多少种分法？,将,12,本书分成四堆，有两堆各,4,本，另外两堆各,2,本，有多少种分法？,将,12,本书分给,A,B,C,D,四个学生，使得有两个学生各得,4,本，有两个学生各得,2,本，有多少种分法？,区分（二）,将,12,本书分给四个学生，,A,得,5,本，,B,得,4,本，,C,得,2,本，,D,得,1,本，有多少种分法？,将,12,本书分成四堆，其本数分别为,5,4,2,1,，有多少种分法？,将,12,本书分给,A,B,C,D,四个学生，使得有,1,人得,5,本，有一人得,4,本，有,1,人得两本，有,1,人得,1,本，有多少种分法？,区分（三）,将,12,本书平均分给,A,B,C,D,四个学生，每人三本，有多少种分法？,将,12,本书平均分成四堆有多少种分法？,将,12,本书平均分给,A,B,C,D,四个学生，使得每人各得三本，有多少种分法？,限距组合：引例,书架上有,1-24,共,24,卷百科全书，从其中选,5,卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？,6,、限距组合,设,A=1,2,n,，它的任一,r-,无重组合均可以依自然顺序排出,a,1,a,2,a,r,，其中,a,1,a,2,a,r,。设,k,是非负整数，用,f(k,n,r,),表示,A,的一切满足条件,a,i+1,-a,i,k+1(1,i,r-1),的,r-,无重组合数，求,f(k,n,r,),。,求解思想：一一对应,k=0,时,例题,书架上有,1-24,共,24,卷百科全书，从其中选,5,卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？,7,、圆排列,n,个元素的,r-,无重圆排列数,圆排列与线排列的区别,计算,例题,例,1,把,20,个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式有,种。,例,2,把,20,个不同的珍珠串成项链，串项链的方式有,种。,项链问题,例 从,1,到,300,间取出,3,个不同的数，使它们的和被,3,整除，有多少种取法？,提示：将,1,到,300,这,300,个整数按照除以,3,的余数分成,3,组，考虑选出的,3,个数属于哪些组。,例 下图中有多少个矩形？,映射的个数,n,元集,X,到,m,元集,A,的映射的个数,将,X,看作物件的集合，,A,看作盒子的集合。则一个映射表示把物件放入盒子的一种安排。,要求,(1),每个物体都要放入某个盒子；,(2),一个物体不得放入两个盒子；,(3),允许多个物体放入同一盒子；,(4),可以剩有空盒子。,若将,X,看作有标号的位置的集合，,A,看作排在这些位置的字母的组合，则一个映射对应一个长为,n,的字。,则,(1),字长必须为,n,；,(2),一个位置只能放一个字母；,(3),多个位置可以重复出现同一字母；,(4),有些字母有可能不出现。,例题,n,元集合,X,到,m,元集合,A,的映射的个数？,将,n,个物体放在,m,个的盒子中的不同放法？,n,元集合,X,到,m,元集合,A,的单射的个数？,把,n,个物体放入,m,个盒子，每个盒子至多放一个物体的安排有多少种？,3,个物体分放到,4,个不同的盒子中，要求每个盒子至多放一个物体的放法数？,映射,设映射,f,：,1,2,n,1,2,m(n,m,),(1),若,f,是严格递增的，则不同的,f,有多少个？,(2),若,f,是不减的，则不同的,f,有多少个？,例题,1,、从,A=,a,b,c,中任取两个不同的字母构成的字共有多少个？,2,、,m,元集合的,n,元子集的个数？,3,、平面上任三点都不共线的,25,个点，可形成多少条直线？可形成多少个三角形？,例题,用,26,个英文字母能构成多少个含有,3,个、,4,个或,5,个元音的长为,8,位的单词？（其中，一个字母出现在单词中的次数不限）,例题,从一副,52,张扑克牌中任取,13,张得一手牌，在每一手牌中不考虑这,13,张牌的次序，则总共有多少手不同的牌？,把一副,52,张扑克牌分给,4,个人，每人得,13,张，则总共有多少种不同的牌局？,例题,用,4,个,a,，,4,个,b,，,2,个,c,和,2,个,d,这,12,个字母能组成多少个具有,12,个字母的字？,用字母,a,，,b,，,c,组成,5,个字母的字，每个字中,a,至多出现,2,次，,b,至多出现,1,次，,c,至多出现,3,次。这种字的个数是多少？,例题,单词,mississippi,中字母的排列数为？,求多重集,3a,2b,4c,的,8,排列的个数？,例题,求,26,个英文字母的全排列中，任意两个元音字母都不相邻的方案数？,例题,Banach,火柴盒问题：某数学家随身携带,A,B,两盒火柴，要用火柴时就随意从其中一盒中取出一根。假定开始两个火柴盒各放有,n,根火柴，问在某一次当数学家发现拿出的那一个火柴盒变空时，另一盒中尚剩,p(p,n),根火柴的概率是多少？,例题,10,个人排成一排，其中有,2,个人不愿彼此挨着，求所有不同的排列的数目。,10,！,-2,9,！或,8,！,A(9,2)=2903040,10,个人围一圆桌入座，其中有,2,个人不愿彼此挨着就座，求所有不同的圆排列的数目。,9!-2,8!,或,7,！,A(8,2)=282240,例题,安排,10,个男生和,5,个女生排成一排，使任意,2,个女生都不相邻的排法有多少种？,A(10,10)A(11,5),安排,10,个男生和,5,个女生围成圆圈入座，使任意,2,个女生都不相邻的坐法有多少种？,例 从给定的,6,种不同的颜色中选不同的颜色将一个正方体的六个面染色，要求每个面染一种颜色，具有相同棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案有多少种？,分析：,一种颜色？,两种颜色？,三种颜色？,相对的面染成相同的颜色,只有一种方式,C(6,3),四种颜色：,五种颜色：,六种颜色：,C(6,4),C(4,2),C(6,5),C(5,1)3,！,/2,C(6,6),C(5,1)3,！,例 试求由,1,3,5,7,组成的数字不重复出现的整数的总和。,分析：,一位数,1,，,3,，,5,，,7,两位数,个,(,十,),位数为,1,的两位数的个数,三位数,个,(,十、百,),位数为,1,的三位数的个数,四位数,个,(,十、百、千,),位数为,1,的四位数的个数,例 假定把全部的,5,码数印刷在纸条上，而一张纸条上印一个数。所谓,5,码数是由,0,1,2,9,这十个数字中的,5,个数字组成的数，开头的一个或者几个可以为,0,，例如,00102,00000,都是,5,码数，显然有,100000,个这样的,5,码数。然而由于数字,0,1,6,8,9,被倒过来就成了,0,1,9,8,6,。而一张纸条可以从上下两个方向正看和倒看，所以有些,5,码数可以共用一张纸条，如,89166,与,99168,。于是我们的问题是要用多少个不同的纸条才能做出这些,5,码数？,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0,1,0,1,倒过来,8,8,6,9,9,6,13578,13578,倒过来,89166,68189,89166,68189,不是,5,码数,仍是,5,码数,仍是,5,码数,但不是自己,而且是自己,5,码数,共,10,5,个,倒过来仍,是,5,码数,的有,5,5,个,倒过来不,再是,5,码,数的有,10,5,5,5,个,一个数,一张纸条,倒过来是自己的有,3x5,2,个,倒过来不是自己的有,5,5,3x5,2,个,一个数,一张纸条,两个数共用一张纸条,所以纸条的个数为,(10,5,5,5,)+,3x5,2,+,(5,5,3x5,2,)/2,10,5,(5,5,3x5,2,)/2,=98475,例 甲、乙两方各有,7,名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先由,1,号参加比赛，负者被淘汰，胜者再与对方,2,号队员比赛，,，直到有一方全部被淘汰，另一方获得胜利，形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为多少？,甲,乙,箭头指向谁，表示谁负,甲方赢：,这是,的一个,7-,可重组合,甲,乙,甲,乙,甲,乙,例 某车站有,6,个进站口，今有,9,人进站，有多少种不同的进站方法？,进站口,人,2,A,B,C,D,E,F,1,3,4,5,6,7,8,9,任务：,给每个人选择进站口，选择进站的次序？,安排 ：,A,B,C,D,E,F,1,6,种方式,1,安排 ：,2,7,种方式,2,2,2,安排 ：,3,8,种方式,3,3,3,3,安排 ：,9,14,种方式,进站方式种数为,方法一：,1,2,3,4,5,6,取,2,1,3,4,5,6,7,8,9,的一个全排列，,和,5,个,2,1,3,4,5,6,7,8,9,对应的进站方式为：,9,1,3,4,5,6,8,7,2,方法二：,A,B,C,D,E,F,进站方式为：,9,1,3,4,5,6,8,7,2,2,1,3,4,5,6,7,8,9,对应的排列为：,进站方式种数为,2,1,3,4,5,6,7,8,9,的排列,5,个,或,14,个位置取,5,个放方框,(,不讲顺序,),，剩下的放人,(,将顺序,),方法三：,先选车站，,A,B,C,D,E,F,的,9-,可重组合,A,A,A,C,C,D,E,E,F,再排人，,2,1,3,4,5,6,7,8,9,的排列,2,1,3,4,5,6,7,8,9,对应的进站方式为：,A,B,C,D,E,F,9,1,3,4,5,6,8,7,2,对比,例 某车站有,6,个进站口，今有,9,人进站，有多少种不同的进站方法？,今欲在六根旗杆上悬挂九面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？,例,8,个人 两两配对分成,4,组有多少种方式？,方法一 给每个人配对,方法二 一对一对地选，注意会重复,推广：,2n,个人两两配对分成,n,组有多少种方式？,非降路径问题,从点 到达点 的,非降路径,非降路径数,由,(0,0),到,(,m,n,),的非降路径数为,。,由,(,a,b,),到,(,m,n,),的非降路径数为,。,由,(0,0),到,(,m,n,),再到,(,a,b,),的非降路径数,。,例题,从点,(0,0),到达点,(,m,n,),，其中,mn,，要求中间所经过的路程上的点,(,a,b,),都满足,ab,。问有多少种不同的路径？,分析,从,(0,0),到,(,m,n,),的非降路径,过对角线,必过对角线,一一对应：反射,(0,0),(0,1),(,m,n,),(0,0),(1,0),(,m,n,),不过对角线,反射：从上向下看，找路径与对角线交点的第一个点，关于对角线反射左下边路径，与右上的路径组合成一条路径。,例题,求从点,(0,0),到达点,(,n,n,),且不与直线,y=x,相交的非降路径数？,分析：上一例题的特殊情况,例题,一场音乐会的票价为,50,元,/,张，排队买票的顾客中有,n,位持有,50,元的钞票，,m,位持有,100,元的钞票，售票处没有准备,50,元的零钱。试问有多少种排队的方法，使购票能顺利进行，不出现找不开钱的状况，假定每位顾客限买一张，每位顾客仅买票一张，而且,n,m,。,例题,用,(,m+n,),维,0,1-,行向量,(a,1,a,2,a,m+n,),表示一种购票排队状态，其中,a,i,=1,表示第,i,位持,50,元的钞票，,a,i,=0,表示第,i,人持,100,元的钞票。,这样的行向量有,m,个,0,，,n,个,1,，所以这样的行向量共有,C(m+n,m,),个，每个行向量可以对应从点,(0,0),到点,(,m,n,),的非降路径。当,a,i,=1,时，对应路径中的第,i,步沿,y,轴向上走一格，当,a,i,=0,时，对应路径中的第,i,步沿,x,轴向右走一格。,为了使购票顺利进行，每个路径中的点,(,a,b,),应满足,a,b,。也就是每个路径在直线,y=x,的上方且不穿过直线,y=x,，可以有交点。,由于,n,m,，也就是在直线,y=x-1,上方的所有路径。,从,(0,0),到,(,m,n,),的在直线,y=x-1,上方的非降路径,从,(0,1),到,(m,n+1),的在直线,y=x,上方的非降路径,从,(0,0),到,(m,n+1),的在直线,y=x,上方的非降路径,第,n,个,Catalan,数,Catalan,数,第,n,个,Catalan,数,Catalan,数的组合学意义,例题,n,个,+1,和,n,个,-1,所组成的序列中所有其前,k,项,(k=1,2,2n),之和不小于,0,的序列的数目是多少？,满足条件的序列为好序列，不满足条件的为坏序列。,好序列数,=,序列总数,-,坏序列数。,n,个,+1,和,n,个,-1,所组成的坏序列与,n+1,个,+1,和,n-1,个,-1,所组成的序列一一对应。,例题,对每个坏序列，总可以找到最小的正奇数，使得,a,k,=-1,且,a,k,之前的,+1,和,-1,的个数相等。将这个坏序列中前,k,项的每一项取反号，其余部分保持不变。所得序列为,n+1,个,+1,和,n-1,个,-1,组成的序列。,-1,-1,1,1,-1,1,变为,1,-1,1,1,-1,1,反之， 对任一由,n+1,个,+1,和,n-1,个,-1,组成的序列，从左到右扫描，当,+1,的个数第一次比,-1,的个数多,1,时就把这些扫描到的项全部取反号，其余项不变，结果得到满足要求的坏序列。,1,-1,1,1,-1,1,变为,-1,-1,1,1,-1,1,二项式定理,组合恒等式,组合数,组合恒等式：由组合数构成的恒等式,组合数的大小关系,n,为奇数,n,为偶数,1.,证明一：,计算,证明二：,组合分析法,2.,杨辉三角形,计算,Pascal,三角形,证明一：,证明二：,组合分析法,3.,利用二项式代特殊值,证明一：,证明二：,一方面，按照子集的个数分类求和,n,元集合的所有子集的个数,另一方面，按照元素与集合的属于、不属于关系,4.,二项式定理代特殊值,证明一：,证明二：,组合分析法,5.,朱世杰恒等式,6.,应用：,7.,证明一：倒写，然后两式相加,证明二：计算，提出,n,证明三：求导数,证明四：组合分析法,证明五：数学归纳法,8.,证明一：积分,证明二：计算，分子分母同乘,n+1,证明一：组合分析法,证明二：利用多项式的系数,证明三：非降路径法,证明三：,非降路径法,从 到 的非降路径过且仅过直线 上线段,AB,的一个格点,证明一：计算,证明二：组合分析法,证明一：计算,证明二：组合分析法,证明一：数学归纳法,证明二：一般项,证明三：加减项,证明四：组合分析法,例 设集合,A=a,1,a,2,a,n,，,A,的,m,个子集,A,1,A,2,A,m,两两互不包含。试证：,(1),(2),例 给出 的个位数字和十位数字。,例,证明,r,个连续自然数的乘积可被,r,！整除。,例 如果,p,是素数，则,都能被,p,整除。,