抽屉原理教师讲解及练习

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,抽屉原理,子页,一、,知识点介绍,抽屉原理,有时也被称为,鸽笼原理,，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为,狄利克雷原则,子页,子页,二,、抽屉原理的定义,（,1,）举例,把,这十个苹果放到九个抽屉里,，至少一,个抽屉里面至少放两个苹果,。,（,2,）定义,把,n,1,或多于,n,1,个苹果放到,n,个抽屉,里,，,至少,有一个抽屉,里,不少于,两,个,苹果,。,这种现象,叫,抽屉,原理,。,公式,表示,：,将,m,个元素放入,n,个抽屉，则在其中一个抽屉里至少会有,(m-1)/n+1,个元素,。,子页,子页,三、抽屉原理的解题方案,（一）利用公式进行解题,苹果,抽屉商,余数,（,1,）余数,1,， 结论：至少有（商,1,）个苹果在同一个抽屉里,（,2,）余数,x,（,1xn-1,），结论：至少有（商,1,）个苹果在同一个抽屉里,（,3,）余数,0,，结论：至少有,“,商,”,个苹果在同一个抽屉里,子页,子页,（二）利用最值原理解题,将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想,“,任我意,”,方法、特殊值方法,1,模块一、利用抽屉原理公式,解题,（一,）直接,利用公式进行解题,（,1,）求结论,【,例,1】 6,只鸽子要飞进,5,个笼子，每个笼子里都必须有,1,只，一定有一个笼子里有,2,只鸽子对吗？,【,解析,】,把鸽笼看作,“,抽屉,”,，把鸽子看作,“,苹果,”,，,6/5=1,1,，,1+1=2,（只），也就是一定有一个笼子里有,2,只鸽子,1,【,例,2】,五年级数学小组共有,20,名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多,【,解析,】,每个同学至少有,1,个朋友，最多有,19,个朋友。所以，这,20,名同学中，每个同学的朋友数只有,19,种可能。,把这,20,名同学看作,20,个,“,苹果,”,，把同学的朋友数目看作,19,个,“,抽屉,”,，根据抽屉原理，至少有,2,名同学，他们的朋友人数一样多,子页,子页,【,例,3】,在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被,3,整除？,【,解析,】,任何整数除以,3,，其余数只可能是,0,，,1,，,2,三种情形,我们将余数的这三种情形看成是三个,“,抽屉,”,将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以,3,的余数相同，所以这两个数的差必能被,3,整除,子页,子页,【,例,4】,假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？,【,解析,】,从这,6,个点中任取一点,A,，从,A,点引出的,5,条线段，根据抽屉原理，必有,3,条的颜色相同，不妨设有,3,条线段为红色，它们另外一个端点分别为,B,、,C,、,D,，那么这三点中只要有两点比如说,B,、,C,之间的线段是红色，那么,A,、,B,、,C 3,点组成红色三角形；如果,B,、,C,、,D,三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样,B,、,C,、,D3,点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立,子页,子页,（,2,）求抽屉,【,例,5】,把,125,本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少,4,本书，那么，这个班最多有多少人？,【,解析,】,本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最,“,坏,”,情况的结合。,最坏的情况是只有,1,个人分到,4,本书，而其他同学都只分到,3,本书，则（,125-4,）,/3=40,1,，因此这个班最多有：,40+1=41(,人）,子页,子页,（,3,）求苹果,【,例,6】,班上有,50,名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？,【,解析,】,把,50,名小朋友当作,50,个,“,抽屉,”,，把书放在,50,个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于,50,，而大于,50,的最小整数是,50+1=51,，所以至少要拿,51,本书,子页,子页,【,例,7】,海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在,140,厘米到,150,厘米之间（包括,140,厘米到,150,厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到,4,个人的身高相同？,【,解析,】,有,11,个抽屉，每个抽屉中放,3,个整厘米数，就要,11,*,3=33,，至少找出,33+1=34,个学生，才能找到,4,个人的身高相同,子页,子页,【,例,8】,一次数学竞赛出了,10,道选择题，评分标准为：基础分,10,分，每道题答对得,3,分，答错扣,1,分，不答不得分。问：要保证至少有,4,人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？,【,解析,】,竞赛得分从,0,分到,40,分，,39,、,38,、,35,这,3,个分数是不可能得到的，要保证至少有,4,人得分相同，至少需要,3,（,41-3,）,+1=115,人,.,子页,子页,（二）构造抽屉利用公式进行解题,【,例,9】,在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出,2,个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样为什么？,【,解析,】,可能情况有,6,种，把,6,种搭配方式当作,6,个,“,抽屉,”,，把,7,个小朋友当作,7,个,“,苹果,”,，根据抽屉原理，至少有两个人挑选的颜色完全一样,子页,子页,【,例,10】,从,2,、,4,、,6,、,8,、,50,这,25,个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有,2,个数的和是,52,？,【,解析,】,构造抽屉：,2,50,，,4,48,，,6,46,，,8,44,，,24,28,，,26,，共,13,种搭配，即,13,个抽屉，所以任意取出,14,个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为,52,，所以应取出,14,个数,子页,子页,模块二、最不利原则,【,例,11】,有一个布袋中有,40,个相同的小球，其中编上号码,1,、,2,、,3,、,4,的各有,10,个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有,3,个小球的号码相同？,【,解析,】,将四种号码看作,4,个抽屉，要保证一个抽屉中至少有,3,个苹果，最,“,坏,”,的情况是每个抽屉里有,2,个,“,苹果,”,，共有,4,*,2=8(,个,),，再取,1,个就能满足要求，所以一次至少要取出,9,个小球,。,子页,子页,【,巩固,】,有红、黄、蓝、白,4,色的小球各,10,个，混合放在一个布袋里一次摸出小球,8,个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？,【,解析,】,从最不利的情况考虑，摸出的,8,个小球中有,4,个小球的颜色各不相同，那么余下的,4,个小球无论各是什么颜色，都必与之前的,4,个小球中的某一个颜色相同即这,8,个小球中至少有,2,个小球的颜色是相同的,子页,子页,练习,1.,一幅扑克牌有,54,张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有,2,张牌有相同的点数？,【,解析,】,点数为,1(A),、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,9,、,10,、,11(J),、,12(Q),、,13(K),的牌各取,1,张，再取大王、小王各,1,张，一共,15,张，即,15,个抽屉。这样，如果任意再取,1,张的话，它的点数必为,1,13,中的一个，于是有,2,张点数相同,子页,子页,2.,（,2008,年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）在,100,张卡片上不重复地编写上,1100,，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被,4,整除？,【,解析,】,当抽出,50,个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出,2,张偶数，乘积即可被,4,整除，也就是抽出,52,个数可以保证乘积能被,4,整除,子页,子页,3.,有苹果和桔子若干个，任意分成,5,堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？,【,解析,】,每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有,4,种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），,将,4,种情形看成,4,个抽屉，现有,5,堆水果，由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，,所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数,子页,子页,4.100,个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于,12,个,.,【,解析,】,本题,需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最,“,坏,”,情况的结合,。,最坏,的情况是只有,1,个人分,到,12,苹果,，,而其他同学都只分,到,11,苹果,，,则（,100-12,）,/11=8,，最多分：,8+1=9(,人）,子页,子页,5.,证明：任取,8,个自然数，必有两个数的差是,7,的倍数,【,解析,】,在与整除有关的问题中有这样的性质，以余数进行分类。,本题只需证明这,8,个自然数中有,2,个自然数，它们除以,7,的余数相同,.,我们可以把所有自然数按被,7,除所得的,7,种不同的余数,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,分成七类,.,也就是,7,个抽屉,.,任取,8,个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以,7,的余数相同，因此这两个数的差一定是,7,的倍数,子页,子页,6.,“,六一,”,儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等。,【,解析,】,把小朋友看做,“,苹果,”,，遇到熟人的每种情况看做抽屉。,两种情况： 如果在这,n,个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他,小朋友最多只能遇上,n-2,个熟人，这样熟人数目只有,n-1,种可能：,0,，,1,，,2,，,，,n-2,根据,抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等,子页,子页,如果在这,n,个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有,n-1,种可能：,1,，,2,，,3,，,，,n-1,，也是,n-1,种情况。根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等 总之，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等,PPT,模板下载：,