第三节幂级数

*,第三节 幂级数,一、概念,二、幂级数的收敛半径与收敛区间,1、定 理,2、定 义,3、求法,三、幂级数的运算,1、逐项相加减,2、逐项求导,3、逐项积分,1,第三节 幂级数,一、概念,函数项级数,收敛域,发散域,.,幂级数:,其中常数,称为,幂级数的系数,。,只需做变量代换,t,=,x,-,x,0,即可, 故以后只讨论前一种形式.,在收敛域上,级数的和是,x,的函数,s,(,x,),称,s,(,x,)为和函数,，,收敛域为,发散域为,和函数为,s,(,x,),2,则适合不等式,的一切,x,使这幂级数绝对收敛.,反之,如果级数,当,时发散,则适合不等式,的一切,x,使这幂级数发散.,1、定理,当,时收敛,二、幂级数的收敛半径与收敛区间,证,于是存在一个常数,M, 使得,时收敛,收敛,定理的第二部分可用反证法证明.,绝对收敛.,3,时,幂级数绝对收敛;,时,幂级数发散;,时,幂级数可能收敛也可能发散.,2、定义,必定有一个常数,R,存在,使得当:,正数,R,通常叫做幂级数的,收敛半径,.,的收敛性就可以决定它在区间(-,R,R,)、-,R,R)、,敛,这区间叫做幂级数的,收敛区间,.,由幂级数在,x=,R,处,(-,R,R,或-,R,R,上收,如果,3、求法,则,4,因为,对于端点,x,=1, 级数成为交错级数,收敛.,对于端点,x,=-1,级数成为,发散.,故级数的收敛区间是(-1,1.,例1,求幂级数,的收敛半径与,收敛区间.,解,5,例2,求幂级数,的收敛区间.,解,因为,其收敛区间为,(-,+).,例3,求幂级数,的收敛半径.,解,因为,所以收敛半径,R,=0,即级数仅在,x,=0处收敛.,6,例4,求幂级数,的收敛半径.,因为级数缺少奇次幂的项,定理不能直接应用.可根据,比值审敛法来求收敛半径:,所以收敛半径为,解,7,例5,求幂级数,的收敛半径与收敛区间.,对于端点,t,=-2,级数成为交错级数,收敛.,对于端点,t,=2,级数成为,发散.,故原级数的收敛区间是 -1,3).,解,令,t,=,x,-1, 上述级数变为,得,又当,8,三.幂级数的运算,1、逐项相加减,2、逐项求导,3、逐项积分,9,设和函数为s(,x,),则,例6,在区间(-1,1)内求幂级数,的和函数.,对上式从0到,x,积分,得,解,10,例7,求幂级数,的和函数.,设和函数为s(,x,),则,解,11,