1.3简谐运动的图像和公式

3,简谐运动的图像和公式,一、简谐运动的图像,1.,图像特点,:,简谐运动的图像是一条,_,曲线,如图所示。,正弦,(,或余弦,),2.,图像的意义,:,表示做简谐运动的物体在,_,时刻相对于平衡位置的,_,。即表示做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移随时间的变化,关系。,3.,图像信息,:,从图像上可知,_,和,_,还可知道任一时刻位移的,_,和,_,。,任意,位移,振幅,周期,大小,方向,【,判一判,】,(1),简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹。,(,),(2),由简谐运动的图像可以知道振动的周期和振幅。,(,),(3),简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。,(,),提示,:,(1),。简谐运动的图像描述的是振动物体的位移随时间变化的规律,并不是物体运动的轨迹。,(2),。图像在纵轴方向上的最大值等于振幅,相邻两个相同状态的时间间隔等于周期。,(3),。图像反映出简谐振动的物体位移随时间做周期性的变化。,二、简谐运动的表达式,1.,表达式,:x=_,或,x=Asin(2ft+,),。,2.,表达式中各量的意义,:,(1),“,A,”,表示简谐运动的,_,。,(2),“,T,”,表示简谐运动的,_,“,f,”,表示简谐运动的频率,它们之间,的关系为,T=_,。,(3),“,t+,”,或,“,2ft+,”,表示简谐运动的,_,。,(4),“,”,表示简谐运动的,_,简称,_,。,振幅,周期,相位,初相位,初相,【,想一想,】,有两个简谐运动,:x,1,=3asin(4bt+ ),和,x,2,=9asin(8bt+ ),它们的振幅之比是多少,?,频率各是多少,?,提示,:,它们的振幅分别为,3a,和,9a,比值为,1,3;,频率分别为,2b,和,4b,。,一、简谐运动的图像的应用,思考探究,:,如图,在小塑料瓶底部穿一小孔,并装满墨水悬挂,在支架上,使其在支架所在竖直平面内摆动,操作,者沿,v,方向水平匀速拉动白纸,分析在白纸上留下,的图像。,(1),白纸上留下的图像是不是振动物体运动的轨迹,?,(2),由图像可以得到描述振动的哪个物理量,?,提示,:,(1),振动物体在竖直平面内来回摆动,所以图像不是振动物体运动的轨迹,但反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的规律。,(2),由图像可测得振动物体偏离平衡位置的最大距离即振幅。,【,归纳总结,】,1.,图像的意义,:,图像反映了做简谐运动的质点位移随时间的变化规律,并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线,但其,x-t,图像是一条正弦,(,或余弦,),曲线。,2.,由图像可以得出的量,:,简谐运动的图像如图所示,由此可以得出,:,(1),由图像可以直接读取振幅,A,。,(2),由图像可以直接读取周期,T,进而求出频率,f,。,(3),由图像可知质点在不同时刻的位移。,(4)x-t,图像上某一点的斜率表示该时刻的速度,斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向。所以,图中,t,1,时刻质点的速度比,t,2,时刻质点的速度小,t,1,时刻速度方向为负,t,2,时刻速度方向也为负。,(5),从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。,(6),由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向。例如,在上图中,t,1,时刻振动的位移,x,1,为正,则加速度,a,1,为负,t,2,时刻,x,2,为负,则加速度,a,2,为正,又因为,|x,1,|x,2,|,所以,|a,1,|a,2,|,。,3.,对称性,:,(1),空间的对称性,:,经过平衡位置两侧的对称点时位移的大小相等,方向相反,;,速度的大小相等,方向有时相同,有时相反。,(2),时间的对称性,:,不论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间都相等。,4.,周期性,:,做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就,是说其运动具有周期性。不同的简谐运动,其周期一般是不同的。根,据简谐运动的周期性可作出判断,:,(1),若,t,2,-t,1,=,nT,则,t,1,、,t,2,两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。,(2),若,t,2,-t,1,=,nT,+ T,则,t,1,、,t,2,两时刻振动物体所处的位置关于平衡位,置对称,描述运动的物理量,(x,、,F,、,a),大小相等,方向相反。,(3),若,t,2,-t,1,=,nT,+ T,或,t,2,-t,1,=,nT,+ T,则当,t,1,时刻物体到达最大位移处时,t,2,时刻物体到达平衡位置,;,当,t,1,时刻物体在平衡位置时,t,2,时刻物体到达最大位移处,;,若,t,1,时刻物体在其他位置,t,2,时刻物体到达何处就要视具体情况而定。,【,特别提醒,】,(1),简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性,图像随时间的增加将逐渐延伸,过去的时刻图像永远不变。,(2),在简谐运动的图像上位移相同的点加速度一定相同,;,其速度大小相等,但方向可能相同,也可能相反。,【,典例示范,】,(,多选,)(2015,东城区高二检测,),一质点做简谐运动,其相对平衡位置的位移,x,随时间,t,变化的图像如图所示,由此可知,(,),A.,质点振动的振幅是,2cm,B.,质点振动的频率是,4Hz,C.t,=2s,时质点的速度最大,且方向向下,D.t,=5s,时质点所受的合外力为零,【,解题探究,】,(1),怎样判断速度的大小和方向,?,提示,:,x,-,t,图像上某一点切线的斜率表示速度,其大小表示速度的大小,正负表示速度的方向。,(2),怎样判断合外力的大小和方向,?,提示,:,F=-,kx,其大小与位移大小成正比,方向和位移方向相反。,【,正确解答,】,选,A,、,C,。观察图像可知,振幅,A=2cm,周期,T=4s,频率,f=,=0.25Hz,A,对,B,错,;t=2s,时质点在平衡位置,速度最大,t=3s,时质点到达最低点,可判断,t=2s,时质点在向下运动,C,对,;t=5s,时质点在最高点,离平衡位置最远,合外力最大,D,错。,【,过关训练,】,1.(2015,池州高二检测,),一质点做简谐运动,其位移,-,时间图像如图所示,由图像可知,(,),A.t,=1s,时,质点速度为正的最大值,加速度为零,B.t,=2s,时,质点速度为零,加速度为负的最大值,C.t,=3s,时,质点速度为正的最大值,加速度为零,D.t,=4s,时,质点速度为零,加速度为正的最大值,【,解析,】,选,C,。,t=1s,时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为负,即速度为负,选项,A,错误,;t=2s,时,位移为负的最大值,加速度为正的最大值,速度为零,选项,B,错误,;t=3s,时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为正,即速度为正,选项,C,正确,;t=4s,时,质点位移为正的最大值,加速度为负的最大值,速度为零,选项,D,错误。,2.(,多选,)(2015,温州高二检测,),一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法中正确的是,(,),A.,质点的振动周期为,4s,B.,在,8s,内质点经过的路程是,16cm,C.,在,5s,末,速度为零,加速度为正向最大,D.t,=1.5s,和,4.5s,末的两时刻质点的位移大小不相等,【,解析,】,选,A,、,B,。由题图可知周期为,4s,A,正确,;,振幅,A=2cm,8s,为,2,个,周期,一个周期通过的路程为,4A=8cm,故,8s,通过的路程为,2,8cm=16cm,B,正确,;,在,5s,末,位移正向最大,速度为零,加速度负向最大,C,错误,;,根,据图像的对称性,t=1.5s,和,4.5s,末的两时刻质点的位移大小相同,D,错,误。,【,补偿训练,】,1.(,多选,)(2015,泸州高二检测,),如图所示为某质点做简谐运动的图像,若,t=0,时,质点正经过,O,点向,b,运动,则下列说法正确的是,(,),A.,质点在,0.7s,时,正在远离平衡位置运动,B.,质点在,1.5s,时的位移最大,C.1.2s,到,1.4s,质点的位移在增大,D.1.6s,到,1.8s,质点的位移在增大,【,解析,】,选,B,、,C,。由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段,故质点在,0.7s,时的位移方向向右,且正在向平衡位置运动,所以,A,项错误,;,质点在,1.5s,时的位移达到最大,故,B,正确,;,质点在,1.2s,到,1.4s,过程中,正在远离平衡位置,所以其位移在增加,故,C,正确,;1.6s,到,1.8s,时间内,质点正向平衡位置运动,所以其位移正在减小,故,D,项错误。,2.,一质点做简谐运动时,其振动图像如图所示。由图可知,在,t,1,和,t,2,时刻,质点运动的,(,),A.,位移相同,B.,回复力相同,C.,速度相同,D.,加速度相同,【,解析,】,选,C,。从题图中可以看出,在,t,1,和,t,2,时刻,质点的位移大小相等、方向相反。由公式,F=-,kx,可知,在,t,1,和,t,2,时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反,加速度大小相等、方向相反,A,、,B,、,D,错误,;,在,t,1,和,t,2,时刻,质点速度方向相同,由于位移大小相等,所以速度大小相等,C,正确。,【,规律方法,】,简谐运动图像的应用技巧,(1),判断质点任意时刻的位移大小和方向,:,质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。,(2),判断质点任意时刻的加速度,(,回复力,),大小和方向,:,由于加速度,(,回复力,),的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。,二、对简谐运动表达式,x= Asin(t+,0,),的理解,思考探究,:,我们借用匀速圆周运动来推导简谐运动的公式,:,如图,小球,P,在绕,O,点以角速度,做圆周运动,小球在,x,轴上,的投影的运动等效为振动,以小球,P,在顶点的时刻作为,计时零点,A,为小球到圆心的竖直距离。,(1),小球在,x,轴上投影的最大距离可等效为描述振动的哪个物理量,大小是多少,?,(2),经过时间,t,小球投影的位移大小是多少,?,【,归纳总结,】,1.,式中,x,表示振动质点相对于平衡位置的位移,t,表示质点振动的时间。,2.,式中,A,表示振幅,描述的是振动的强弱。,3.,式中,叫作圆频率,它与周期、频率的关系为,= =2f,可见,、,T,、,f,相当于一个量,描述的都是振动的快慢。,4.,式中,(t+,0,),表示相位,描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加,2,意味着物体又多完成了一次全振动。,5.,由公式,x=,Asint,及振动图像可以看出,简谐运动具有周期性,由此可能产生振动问题的多解性。,【,特别提醒,】,(1),写振动方程首先要确定三个量,振幅,A,、圆频率,=,和初相位,0,。,(2),由于振动具有周期性,振动问题往往具有多解性,解决有关振动问题时,要注意多解问题,避免漏解。,【,典例示范,】,(,多选,)(2015,山东高考,),如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为,y=0.1sin(2.5t)m,。,t=0,时刻,一小球从距物块,h,高处自由落下,;t=0.6s,时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小,g=10m/s,2,。以下判断正确的是,(,),A.h,=1.7m,B.,简谐运动的周期是,0.8s,C.0.6s,内物块运动的路程是,0.2m,D.t,=0.4s,时,物块与小球运动方向相反,【,解题探究,】,(1),怎样根据简谐运动的公式求振动频率,?,提示,:,根据简谐运动的公式直接读出圆频率,再根据,= =2,f,求出周期或频率。,(2),怎样判断振动物体的速度,?,提示,:,将,t=0.4s,代入位移表达式,通过分析物体的位置来判断速度大小和方向。,【,正确解答,】,选,A,、,B,。,t=0.6s,时,物块的位移为,y=0.1sin(2.5,0.6)m,=-0.1m;,则对小球,h+|y,|= gt,2,解得,h=1.7m,选项,A,正确,;,简谐运动的周期,是,T= =0.8s,选项,B,正确,;0.6 s,内物块运动的路程是,3A=0.3m,选项,C,错误,;t=0.4s= ,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小,球运动方向相同,选项,D,错误。,【,过关训练,】,1.(,多选,),有两个振动,其表达式分别是,x,1,=3sin(100t+ )cm,=6sin(100t+ )cm,下列说法正确的是,(,),A.,它们的振幅相同,B.,它们的周期相同,C.,它们的相位差恒定,D.,它们的振动步调一致,【,解析,】,选,B,、,C,。由简谐运动的公式可以看出,振幅分别是,3cm,和,6cm,选项,A,错误,;,角速度,=100,rad/s,相同,周期,T=,也相同,选项,B,正确,;,相位差,=,为定值,故相位差恒定,选项,C,正确,D,错误。,2.(,2015,怀柔,高二检测,),简谐运动的表达式是,x=,Asin(t+,),其中简谐运动的相位是,(,),A.A,B.,C.,D.t+,【,解析,】,选,D,。在,x=,Asin(,t+,),中,A,为振幅,为圆频率,t+,为相位,为初相位,故选,D,。,【,补偿训练,】,1.,两个简谐运动的表达式分别为,x,1,=4sin4t(cm),和,x,2,=2sin2t(cm),它们的振幅之比、各自的频率之比是,(,),A.21,21B.12,12,C.21,12D.12,21,【,解析,】,选,A,。由题意知,A,1,=4cm,A,2,=2cm,1,=4,rad/s,2,=2,rad/s,则,A,1,A,2,=2,1,f,1,f,2,=,1,2,=2,1,。故,A,正确,B,、,C,、,D,错误。,2.,物体,A,做简谐运动的振动位移为,x,A,=3cos(100t+ )m,物体,B,做简谐运,动的振动位移为,x,B,=5cos(100t+ )m,。比较,A,、,B,的运动可知,(,),A.,振幅是矢量,A,的振幅是,6m,B,的振幅是,10m,B.,周期是标量,A,、,B,的周期相等,均为,100s,C.A,振动的频率,f,A,等于,B,振动的频率,f,B,D.A,振动的频率,f,A,大于,B,振动的频率,f,B,【,解析,】,选,C,。振幅是标量,A,、,B,的振动范围分别是,6m,、,10m,但振幅分别,是,3m,、,5m,选项,A,错误,;,周期是标量,A,、,B,的周期,T= =6.28,10,-2,s,选项,B,错误,;,因为,T,A,=T,B,故,f,A,=,f,B,选项,C,正确,选项,D,错误。,【,规律方法,】,利用表达式,x=,Asin(t+,),解题的方法技巧,(1),首先明确表达式中各物理量的意义,:,A,表示简谐运动的振幅。,表示做简谐运动的圆频率。,t+,表示简谐运动的相位,表示初相位。,(2),根据公式,= =2f,确定三个描述振动快慢的物理量。,(3),根据表达式求解某时刻的位移。,(4),对于同一质点的振动,不同形式的位移表达式初相位不同。,【,拓展例题,】,考查内容,:,简谐运动的图像和公式的综合,【,典例示范,】,如图所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题,:,(1),振幅、周期各是多大,?,(2),写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。,【,正确解答,】,(1),质点离开平衡位置的最大位移,x=20cm,所以振幅,A=20cm;,质点完成一次全振动的时间为,4s,所以周期,T=4s,。,(2),由图像可知振幅,A=20cm,周期,T=4s,rad/s,t,=0,时,x=0,所以初相位,=0,由此可知位移随时间的变化关系式为,x=,Asin,(,t+,)=20sin t cm,。,答案,:,(1)20cm,4s,(2)x=20sin t cm,