微积分医学

微积分,微 积 分,第一章 函数,集合,函数概念,函数的几种特性,反函数,复合函数,初等函数,函数,-,集合,集合是指具有特定性质的一些事物的总体,.,组成这个集合的事物称为该集合的元素,.,通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素,.,a,是集合,M,的元素,记作,a,M,(,读作,a,属于,M),；,a,不是集合,M,的元素,记作,a,M,(,读作,a,不属于,M).,集合定义,函数,-,集合,例子,1. 1990,年,10,月,1,日在南宁市出生的人。,2.,彩电、电冰箱、,VCD,。,3. x,2,-5x+6=0,的根。,集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。,由有限个元素构成的集合,，称为有限集合。,由无限多个元素构成的集合,，称为无限集合；,4.,全体偶数。,函数,-,集合,集合的表示法,1.,列举法,：,按任意顺序列出集合的所有元素,并用,括起来。,例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所构成的集合,A,，可表示为：,A=2,3,注,：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。,函数,-,集合,2.,描述法,：,设,P(a),为某个与,a,有关的条件或法则，,A,为满足,P(a),的一切,a,构成的集合,，记为：,A=a|P(a),例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所构成的集合,A,，表示为：,A=x|x,2,-5x+6=0,例,：全体实数组成的集合通常记作,R,，即：,R=x|x,为实数,函数,-,集合,子集,如果集合,A,的元素都是集合,B,的元素，即若,x,A,则必,x,B,，就说,A,是,B,的子集，记作,A,B(,读作,A,包含于,B),或,B,A(,读作,B,包含,A),如果,A,B,且或,A,B,，则称,A,与,B,相等。,A,A,即集合,A,是其自己的子集。,传递性,A,B,、,B,C,则,A,C,。, ,A,，即空集是任何集合,A,的子集。,函数,-,集合,全集与空集,所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为,:,U,。,不含任何元素的集合称为空集，记为：,。,例,1,：,x,2,+1=0,实数根集合为空集。,例,2,：平面上两条平行线的交点集合为空集。,注：,0,及,都不是空集，前者有元素,0,，后者有元素,。,函数,-,集合,集合的运算,集合的并：,A,B=x|x,A,或,x,B,集合的交：,A,B=x|x,A,且,x,B,集合的差：,A,-,B=x|x,A,且,x,B,函数,-,集合,区间,在一条直线上指定了一点作为,原点,O,，再指定了,正向,，此外又规定了,单位长度,，这条直线就称为数轴。,数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把,数,x,称为点,x,，就是指数轴上与数,x,对应的那个点。,1,-1,0,O,x,函数,-,集合,闭区间：,a,b=x|axb,开区间：,(a,b)=x|axb,左闭右开区间：,a,b)=x|axb,左开右闭区间：,(a,b=x|axb,有限区间,O,x,a,b,O,x,a,b,O,x,a,b,O,x,a,b,函数,-,集合,a, +,)=x|ax,(-,b=x|xb,(-,b)=x|xb,无限区间,实数集,(-,+,)=x | -,x+,O,x,a,O,x,b,(a, +,)=x|ax,O,x,b,O,x,a,函数,-,集合,邻域,(,a,),=,x| |x-a| ,=,x|a-xa+,=(,a-,a+,),称为点,a,的,邻域,。,a,称为邻域的中心，,称为邻域的半径。,x,a,a- ,a+ ,例,：,(,2 ,1,)=,x | |x-2|1,=,x | 1x3,=(,1, 3,),x,2,1,3,=1,=1,函数,-,集合,空心邻域,( a ,)=,x | 0|x-a|,=,x | a- xa,或,axa+,=,(,a- ,a,)U(,a , a+ ,),称为点,a,的,空心邻域,。,x,a,a- ,a+ ,例,：,U,(,2,1,)=,x|0|x-2|1,=,x|1x2,或,2x0,3,x,-2 1,x,2/3,x, 1,D=(2/3,1),(1,+,),例,2,：,确定函数,y=arcsin,的定义域。,25-,x,2,1,x-,1,5,+,解：,解：,x-,1,5,1,25-,x,2,0,25-,x,2,0,-,4,x,6,|x-,1|,5,25-,x,2,0,-,5,x0,tgx ,0,tg,x,1,x,(,k, k,+ ),解：,x,k,+,2,2,x,(,k,+ , k,+ ),4,2,x,(,k,+ , k,+ ), k=0,1,2,3,为所求的定义域,4,2,函数,-,函数的性质,1,函数的有界性,:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,无界,存在,任意,函数,-,函数的性质,例,1:f(,x,)=sin,x,在,(,-,+,),内是有界的。,因为,|,sin,x,|,1,。,例,2:f(,x,)=1/,x,在,(,0 ,1,),内是无界的。在,1,+,),内有界。,例,3:,函数,-,函数的性质,2,函数的单调性,:,x,y,o,函数,-,函数的性质,x,y,o,例如,函数,y,=,x,3,在,(,-,+,),内单调增加。,而函数,y,=,x,2,在区间,(,-, 0),内单调减少；在区间,(0,+,),内单调增加。,函数,-,函数的性质,例,1:,判断函数,y=,x,3,的单调性。,解：,对于任意的,x,l,、,x,2,，设,x,l,x,2,x,2,3,-x,1,3,0,所以,x,2,3,x,1,3,，故,y=,x,3,在,(,-,+,),是单调增加的。,当,x,1,x,2,0,时,x,1,2,+,x,1,x,2,+,x,2,2,0,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)0,f(,x,2,),-,f(,x,1,)=,x,2,3,-,x,1,3,=,(,x,2,-,x,1,)(,x,1,2,+,x,1,x,2,+,x,2,2,),当,x,1,x,2,0,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)0,函数,-,函数的性质,例,2:,判断函数,y=2,x,2,+1,的单调性。,解：,x,l,、,x,2,R,，设,x,l,x,2,(,x,1,+x,2,)0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),单调减少,(,x,1,+x,2,)0,当,x,l,、,x,2,0,+,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)0,f,(,x,1,)1,时，函数单调增加；,当,0,a,1,时,函数单调增加；,当,0,a,0,a,1),对数函数,y=,log,a,x,(,a,是常数,a,0,a,1),三角函数,y=,sin,x, y=,cos,x, y=,tg,x, y=,ctg,x,y=,sec,x, y=,csc,x;,反三角函数,y=,arcsin,x, y=,arccos,x, y=,arctg,x, y=,arcctg,x .,0,过,(0,0),(1,1),在,(0, +),递增,1,递增,0,a,1,递增,0,a,1,递减,由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫,初等函数,。,函数,-,初等函数,三角函数,y=,sin,x, y=,cos,x, y=,tg,x, y=,ctg,x,y=,sec,x, y=,csc,x;,函数,-,初等函数,y=,csc,x,y=,sec,x,y=,ctg,x,y=tgx,y=,cosx,y=,sin,x,函数,-,初等函数,y=,arcsin,x,y=,arccos,x,y=,arcctg,x,y=,arctg,x,由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为,初等函数,.,二、初等函数,例如，,等等。,本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数,.,例,1,是初等函数吗？,利用对数恒等式,解,是初等函数。,一般地，,幂指函数,也是初等函数：,例,2,分段函数是初等函数吗？,解,不是初等函数；,符号函数,是初等函数，因为,分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只是一种形式，不是函数的新类型。,习题选讲,例,设,f,(,x,)=,1 |,x,|1,g,(,x,)=e,x,求,fg(,x,),和,gf(,x,),并画图。,D,f,=(-,+),W,f,=-1,0,1,D,g,=(-,+),W,g,=(0, +),D,f,W,g,=,W,g,=(0, +),所以定义域为：,D=D,g,=(-, +),1 |g(,x,)|1 i.e,x,1 i.e,x,0,fg(,x,)=,D,g,W,f,=,W,f,=-1,0,1,所以定义域为：,D=D,f,=(-, +),e,1,|,x,|1,gf(,x,)=,e,f(,x,),=,e,|,x,|1,gf(,x,)=,e,f(,x,),=,