极限的性质和运算法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 极限的性质和运算法则,复习：先进一步理解极限的概念：,1、数列的极限,变量Y以A为极限：不管你事先指定的一个数多么小，（刻画Y与A的接近程度）在Y的变化过程中，总能找到一个时刻，自这个时刻以后，Y与A的接近程度比你事先指定的那个数还要小。,显然，你指定的数越小，总能找到的N就越向后面去（越大）,所有极限概念一律用下面一段话来理解：,1,你事先指定的 越小，你找到的 也越大,M,-M,A,M,A,-M,A,2,0,X,Y,A,你事先指定的 越小，你找到的 也越小,（ ）,3,二、收敛数列的性质,性质,1(,极限的唯一性,),如果数列,x,n,收敛,那么它的极限唯一,性质,2(,收敛数列的有界性,),如果数列,x,n,收敛,那么数列,x,n,一定有界,性质,3(,收敛数列的保号性,),如果数列,x,n,收敛于,a,且,a,0(,或,a,0),那么存在正整数,N,当,n,N,时,有,x,n,0(,或,x,n,0),推论,如果数列,x,n,从某项起有,x,n,0(,或,x,n,0),且数列,x,n,收敛于,a,那么,a,0(,或,a,0,),4,性质,1(,函数极限的唯一性,),性质,2(,函数极限的局部有界性,),如果,f,(,x,),A,(,x,x,0,),那么,f,(,x,)在,x,0,的某一去心邻域内有界,性质,3(,函数极限的局部保号性,),如果,f,(,x,),A,(,x,x,0,),而且,A,0(或,A,0),那么在,x,0,的某一去心邻域内,有,f,(,x,),0(或,f,(,x,),0),如果当,x,x,0,时,f,(,x,)的极限存在,那么这极限是唯一的,如果在,x,0,的某一去心邻域内,f,(,x,),0(或,f,(,x,),0),而且,f,(,x,),A,(,x,x,0,),那么,A,0(或,A,0),推论,函数极限的性质,5,(2)lim,f,(,x,),g,(,x,),=,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,),=,A,B,推论,1,如果,lim,f,(,x,),存在,而,c,为常数,则,lim,c,f,(,x,),=,c,lim,f,(,x,),推论,2,如果,lim,f,(,x,),存在,而,n,是正整数,则,lim,f,(,x,),n,=,lim,f,(,x,),n,法则一,如果 lim,f,(,x,),=,A,lim,g,(,x,),=,B,那么,极限的四则运算法则,(1)lim,f,(,x,),g,(,x,),=,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,),=,A,B,6,数列极限的四则运算法则,推论,4,：如果,j,(,x,),y,(,x,),而,lim,j,(,x,),=,a,lim,y,(,x,),=,b,那么,a,b,不等式,推论,3,：设有数列,x,n,和,y,n,如果,那么,7,求,极限举例,例1,解,例2,解,8,解,例3,解,例4,消去“零”因子,极限不存在,9,讨论,提示,当,Q,(,x,0,),P,(,x,0,),0时,约去分子分母的公因式(,x,x,0,),10,先用,x,3,去除分子及分母,然后取极限,解,先用,x,3,去除分子及分母,然后取极限,例5,解,:,例6,11,讨论,提示,例7,解,12,定理,6,(,复合函数的极限运算法则,),说明,设函数,y,f,g,(,x,)是由函数,y,f,(,u,)与函数,u,g,(,x,)复合而成,f,g,(,x,)在点,x,0,的某去心邻域内有定义,若,g,(,x,),u,0,(,x,x,0,),f,(,u,),A,(,u,u,0,),且在,x,0,的某去心邻域内,g,(,x,),u,0,则,把定理中,g,(,x,),u,0,(,x,x,0,)换成,g,(,x,),(,x,x,0,或,x,),而把,f,(,u,),A,(,u,u,0,)换成,f,(,u,),A,(,u,)可类似结果,13,定理,6,(,复合函数的极限运算法则,),设函数,y,f,g,(,x,)是由函数,y,f,(,u,)与函数,u,g,(,x,)复合而成,f,g,(,x,)在点,x,0,的某去心邻域内有定义,若,g,(,x,),u,0,(,x,x,0,),f,(,u,),A,(,u,u,0,),且在,x,0,的某去心邻域内,g,(,x,),u,0,则,例9,解,14,作业：P25 习题13,1： （2）（4）、（5）、（6）。,2,：（3）、（6）。,15,