多维随机变量的数字特征

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章 随机变量的数字特征,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特,性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的,某些特征，因而不需要求出它的分布函数.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业,人均赢利水平,；,例如,：,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的,及每粒的；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的,度,，又要注意,纤维长度与平均长度的偏离程度,，,平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,1,考察一射手的水平，既要看他的,平均环数,是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即,数,据的波动,是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些,数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰,地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些,数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性,都可用,数字,来描写,2,3,随机变量的平均取值,数学,期望,随机变量取值平均偏离平均值的,情况,方差,描述两个随机变量之间的某种关,系的数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,4,定义,设离散型随机变量,X,的分布列为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量,X,的,数学期望,记为,1. 数学期望的定义,4.1 数学期望,5,设连续型随机变量,X,的概率密度为,若积分,绝对收敛，则称此积分的值为随机变量,X,的,数学期望,，记为,数学期望简称,期望,，又称,均值,注意:,数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种,加权平均,6,解,例1,7,例2,解,例3,解,8,例4,解,9,例5,解,10,例6,解,11,常见随机变量的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),12,分布,期望,概率密度,区间(,a,b,)上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),13,2. 数学期望的性质,14,证明,：,仅就,证性质（4）,15,解,引入随机变量,则有,例7,16,故,（次）,17,例8,18,解,19,20,3. 随机变量函数的数学期望,21,22,X 1 3,P 3/4 1/4,Y 0 1 2 3,P 1/8 3/8 3/8 1/8,X,1 0 3/8 3/8 0,3 1/8 0 0 1/8,Y 0 1 2 3,例9,解,23,解,例10,24,例11,解,25,解,例12,设二维连续随机变量 的概率密度为,26,数学期望的性质,注意:,27,3. 数学期望的简单应用,市场上对某种产品每年的需求量为,X,吨 ，,X U, 2000,4000 , 每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问,应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润,最大？,例13,28,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,，2000 ,y ,4000,29,故,y =,3500 时，,EY,最大，,EY,= 8250万元,30,为普查某种疾病,n,个人需验血, 可采用两种,方法验血：,分别化验每个人的血,共需化验,n,次；,将,k,个人的血混合在一起化验，若化验结,果为阴性,则此,k,个人的血只需化验一次；,若为阳性,则对,k,个人的血逐个化验，找,出有病者,这时,k,个人的血需化验,k +,1,次,.,设某地区化验呈阳性的概率为,p,，且每个,人是否为阳性是相互独立的,.,试说明选择哪一,种方法可以减少化验次数,.,验血方案的选择,31,解,为简单计，设,n,是,k,的倍数，,设共分成,n / k,组,第,i,组需化验的次数为,X,i,X,i,P,1,k +,1,32,若,则,EX,n,例如，,33,4.2,34,35,36,例1,解,例2,37,解,38,4.3 方差,引例,检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下:,A: 2000 1500 1000 500 1000,B: 1500 1500 1000 1000 1000,试比较这两批灯泡质量的好坏,计算得:,平均寿命,分别为:A:1200 B:1200,观察得:A中,使用寿命偏离,较大,B中使用寿命 偏离较小,所以,B产品质量较好,数学期望,方差,39,1.,方差的定义,(,X - EX,),2, 随机变量,X,的取值偏离平均值的 情况, 是,X,的函数, 也是随机变量,E,(,X - EX,),2, 随机变量,X,的取值偏离平均值的平均偏离程度 数,注:,方差反映了随机变量相对其均值的,偏离程度,40,若,X,为离散型随机变量，概率分布为,若,X,为连续型随机变量，概率密度为,f,(,x,),常用的计算方差的公式：,41,2.,方差的性质,42,例1,设,X P,(,), 求,DX,解,3.,方差的计算,43,例2,设,X B,(,n , p,)，求,DX,解一,仿照上例求,DX,解二,引入随机变量,相互独立，,故,44,解,例3,设,X U,(,a , b,)，求,DX,45,例4,设,X N,(, , ,2,), 求,DX,解,46,常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,(,1-p,),B,(,n,p,),np,(1-,p,),P,(,),47,分布,方差,概率密度,区间(,a,b,)上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),48,f(x),x,0,若固定,改变,则越大,曲线越平坦,越小,曲线越陡峭,小,大,方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同,2,的密度曲线反映出来:,49,解,例5,50,证,例6,51,例7,已知,X ,Y,相互独立，且都服从,N,(0,0.5),求,E,( |,X Y,| ),解,故,52,例8,设,X,表示独立射击直到击中目标,n,次为止,所需射击的次数，已知每次射击中靶的概,率为,p,，求,EX,DX,解,令,X,i,表示击中目标,i -,1 次后到第,i,次击中,目标所需射击的次数，,i,= 1,2,n,相互独立 ,且,53,54,故,55,例9,求,EY,DY,解,56,57,标准化随机变量,为,X,的标准化随机变量. 显然，,58,仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：,P,-1 0 1,0.1 0.8 0.1,P,-2 0 2,0.025 0.95 0.025,与,它们有相同,的期望,方差,但是分布,却不同,59,但若已知分布的类型及期望和方差，常能,确定分布,例10,已知,X,服从正态分布,EX,= 1.7,DX,= 3,Y =,1,2,X, 求,Y,的密度函数,解,60,例11,已知,X,的密度函数为,其中,A ,B,是常数，且,EX,= 0.5,求,A ,B,设,Y = X,2,求,EY,DY,61,解,(1),62,(2),63, 4.4,协方差及相关系数,问题,对于二维随机变量(,X ,Y,):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个,随机变量各自的概率特性以外，相互之间,可能还有某种联系. 问题是用一个什么样,的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量,X ,Y,之间的某种关系,64,定义,称,为,X ,Y,的,协方差,，记为,1. 协方差和相关系数的定义,为,X ,Y,的,相关系数,若,称,X ,Y,不相关,称,65,因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系,可以证明,若(X,Y)服从二维正态分布, 即,则,66,若 (,X ,Y,) 为离散型，,若 (,X ,Y,) 为连续型，,67,计算协方差的常用公式,68,注:,69,注:,显然,相关,不相关,正相关,负相关,完全正相关,完全负相关,70,求 Cov (,X ,Y,),XY,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,例1,已知,X ,Y,的联合分布为,X,Y,1 0,1,0,p,0,0,q,0 ,p ,1,p + q =,1,解,1 0,p q,X Y,P,71,72,例2,设 (,X ,Y,) ,N,(,1,1,2,2,2,2,), 求,XY,解,73,若 (,X ,Y,) ,N,(,1,1,2,2,2,2,),则,X ,Y,相互独立,X ,Y,不相关,74,例3,设 (,X ,Y,) ,N,( 1,4; 1,4; 0.5 ),Z = X + Y ,求,XZ,解,75,例4,解,76,77,78,例5,解,79,80,81,82,