一、柯西（Cauchy）中值定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一 、柯西,(Cauchy),中值定理,1,几何解释,:,证,作辅助函数,2,证,分析,:,结论可变形为,例,1,3,二 、小结,Rolle,定理,Lagrange,中值定理,Cauchy,中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,.,4,在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小,或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能,不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”,这一运算法则。这种极限称为未定式,本节我们就利用,Cauchy,中值定理来建立求未定式,极限的,L.Hospital,法则，利用这一法则，可以直接求,这两种基本未定式的极限，也可间接求出,等其它类型的未定式的极限,5,定义,例如,6,定理,定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,.,7,注,定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母,都可导，且分母的导数不等于,0,；导数之比的,极限存在或为,定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的,极限,8,仍有类似的结论,如：,定理,9,例,1,解,例,2,注,在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为,未定式，若不是未定式，不可使用法则。,10,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好,.,例,3,解,11,关于,型的极限,，有下述定理,定理,结论仍成立,12,例,4,解,直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则,13,例,5,证明,证,分两种情况,则连续使用,次法则，得,则连续使用,次法则，得,14,本例说明：,但它们趋于,+,的速度有快有慢,由慢到快依次是：,对数函数、幂函数、指数函数,这一点从图上即可看出,o,x,y,15,例,6,分母,1,，分子振荡而没有极限,L.Hospital,法则“,失效,”,注,分子分母中出现,不可使用,L.Hospital,法则,16,例7,解,关键,:,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,.,步骤,:,17,例8,解,步骤,:,18,步骤,:,例9,解,19,例10,解,例11,解,20,解,21,解,注：不能在数列形式下直接用洛比达法则,22,五、小结,洛必达法则,23,思考题,24,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,25,