复数三角形式与指数形式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,初等数学专题研究,第四讲 复数的三角形式与指数形式,4.1复数的三角形式,4.2复数的指数形式,4.3复数的应用,在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。,在大学数学中我们学习过建立在实数集合上的微积分称为实分析；同样，在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题，这就是大学数学本科（或研究生）专业里一门必修课,复变函数,因此我们有必要对复数了解得更多些。,本讲讲三个问题,1,4.1、复数的三角形式,一、复数的幅角与模,我们知道,复数,a,+,bi,对应着复平面上的,点(,a,b,),，也对应复平面上一个,向量,（如右图所示）,这个向量的长度叫做复数,a,+,b,i的,模,，记为|,a,+,b,i|，一般情况下，复数的模用字母r表示。,x,y,同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为,幅角,，记为arg(,a,+,b,i)，幅角一般情形下用希腊字母,表示。,显然,把它们代入复数的代数形式得：,2,4.1、复数的三角形式,这样，我们把 叫做复数,a,+,bi,的,三角形式,二、复数三角形式的运算法则,引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。,所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。,1、复数的乘法,设,那么,3,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,1、复数的乘法,这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,即,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,将向量z,1,的模扩大为原来的r,2,倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角,2,，就得到z,1,z,2,。,4,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2、复数的除法,5,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2、复数的除法,即,这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,将向量z,1,的模缩小为原来的r,2,分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角,2,，就得到z,1,z,2,。,3、复数的乘方。,利用复数的乘法不难得到,这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。,6,4、复数的开方,对于复数 ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。,将向量z,1,的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角n，就得到z,n,。,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,3、复数的乘方。,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,设 的一个n次方根为,7,4、复数的开方,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,那么,所以,即,显然，当k从0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。,因此，复数z的n个n次方根为,8,4、复数的开方,4.1、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差,所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的n次算术根为半径的圆周上。,因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行：,先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边,以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。,9,4.2、复数的指数形式,在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加）,这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：,对数函数与指数函数,前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。,从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切,些：,10,4.2、复数的指数形式,根据这个特点，复数 应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成 的形式,这里有三个问题需要解决：,（1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角、虚数单位,i,应各自摆放在什么位置？,（2）在这些位置上它们应呈现什么形态？,（3）作为指数形式的底应该用什么常数？,先来研究第一个问题.,11,4.2、复数的指数形式,再重新观察下面的等式,首先，显然模r应该占据 中系数y的位置,其次，幅角应该占据 中指数x的位置,对于虚数单位,i,，如果放到系数y的位置会怎样？,由于,等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。,因此幅角也应该占据指数的位置。,这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）,12,4.2、复数的指数形式,幅角与虚数单位,i,是相加的关系会怎样？,先考察模为1的复数,如果写成 的形式,一方面，由于,与 的形式差别不是很大，,其次,在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系,现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合,13,4.2、复数的指数形式,乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征,下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？,我们暂时将 形式化地看做r与的“二元函数”,数学是“形式化的科学”，因此，一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。,下面我们将 等式两边对形式化地求“偏微分”,14,4.2、复数的指数形式,于是由,这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式指数式,从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读,复数的指数形式的证明,15,的证明,：,泰勒级数,法,写成泰勒级数形式：,将,代入可得：,e,iz,=,cos z+ i sin z,（,欧拉公式,）,z,R,将函数,16,4.2、复数的指数形式,由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：,这两个公式被统称为欧拉公式,在复数的指数形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,或,17,数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看着它但却不能理解它。,它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起：两个超越数自然对数的底e，圆周率；三个单位虚数单位i、自然数的乘法单位1和加法单位0。,或,4.2、复数的指数形式,关于自然对数的底e和圆周率，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！,令人不可思议的是，它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。,在复数的指数形式中，令r=1,=，就得到下面的等式,18,4.3、复数的应用,利用复数的三角形式，我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点，我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。,例1：三角级数求和,解：,令,那么对任何自然数k，有,于是,19,4.3、复数的应用,例1：三角级数求和,解：,另一方面,20,4.3、复数的应用,例1：三角级数求和,解：,21,4.3、复数的应用,例1：三角级数求和,即,所以,22,4.3、复数的应用,例2：设M是单位圆周,x,2,+,y,2,= 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且MNAM成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。,分析：此题若用一般解析几何的方法寻找点M与N之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。,设M、N、A对应的复数依次为：,那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到,用复数运算来实现这个变换就是,23,4.3、复数的应用,例2：设M是单位圆周,x,2,+,y,2,= 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且MNAM成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。,即,所以,但,24,故,4.3、复数的应用,例2：设M是单位圆周,x,2,+,y,2,= 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且MNAM成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。,整理得：,或,25,思考与练习,2：设M是单位圆周,x,2,+,y,2,= 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且MNAM成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。,1、利用复数推导三倍角公式,3、设z,1,、z,2,、z,3,是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是,26,